蓝田日暖 发表于 2014-11-18 11:06 static/image/common/back.gif
兴趣很重要，但要考虑兴趣的程度。如果兴趣很强烈，那么这个兴趣就很容易引起强烈的学习和钻研动力，并且很 ...
我的英语在自己感兴趣的那个领域里，听说读写都没有问题，但在其他领域里就不一定了，碰到某些非常陌生的领域，恐怕看个文章理解意思都很有难度，因为不同领域有不同的词汇甚至一些字典上都查不到的自创词汇。
我的感觉是，是不是在任何一个有兴趣的领域如果你感到自己没有得心应手，有困难有障碍，达不到随心所欲自由自在的程度，想做的事却做不到，你就会觉得这是人生的遗憾，自己的不足，需要去继续进步充实自我呢？但是我是觉得，人不需要做个百科全书，陌生领域有陌生的好处，不一样的感觉，不一样的收获，不一样的享受，做不到有做不到的乐趣，低级有低级的独特眼光，空白有空白的自由思路。如果能够接受自己现有的知识结构，对不懂的领域也享受作为一个菜鸟的更多乐趣，对自己产生了强烈兴趣的东西就忘情去探索，那在每一刻我们都是圆满的，没有什么东西是需要逼着自己去学的。这是我自己的感受，跟你探讨。
最近沉迷看帖子，已经逼得泡兜都能自己做饭吃了{:18:}，今天早上又享用了她们精心准备的早餐，体会到被人催的感觉了，泡泡还不断抱怨因为我的拖延没有品尝到她精心达到的最佳口感，哼知道平时你妈的感觉了吧{:11:}
想休息一下可是又忍不住上来了，可是我的身体咋办啊{:26:}，我还有一堆正事咋办啊{:26:}。。。好吧我要断网三天！！再会啦盆友们，你们先聊着，别忘记我，我还会回来的{:2_173:}
汐岩 发表于 2014-11-18 11:42 static/image/common/back.gif
可能接触一个不同的理念，会有矫枉过正的过程吧，像昨天讨论的塑料袋怎么跟孩子解释。。。我觉得成人只要 ...
谢谢你的真诚回复。注意身体，期待你归来。
本帖最后由 容宝爸爸 于 2014-11-18 13:40 编辑
蓝田日暖 发表于 2014-11-18 11:06 static/image/common/back.gif
兴趣很重要，但要考虑兴趣的程度。如果兴趣很强烈，那么这个兴趣就很容易引起强烈的学习和钻研动力，并且很 ...
想说的好多话，都被您说了。再顺便展开一下哈。
1. 老外认为，兴趣(interest)是学习的内在驱动力，与hobby稍有不同，与killtime差别更大。
比如merriam-webster learner's dictionary关于interest的解释：
INTEREST: a quality that attracts your attention and makes you want to learn more about something or to be involved in something.
EXAMPLE: He expressed an interest in learning more about photography.
似乎同义词hobby还有些许不同，强调本职工作外的业余偏好，当然也有愉悦感伴随。
HOBBY: an activity that a person does for pleasure when not working.
EXAMPLE: He has many hobbies, including photography and gardening.
至于killtime，就完全是消磨时间了，只要打发无聊即可。
2. 学习行为的内在价值(intrinsic value)和外在价值(extrinsic value)。
以兴趣驱动的学习带来的愉悦和自我满足，是最强烈，持久和深刻，这一点属于康德伦理范畴学中的内在价值。康德认为，外在价值是由其他有价值的物品反映的结果，比如金钱和社会地位属于外在价值，金钱本身不能吃也不能穿，但是可以通过买到的吃和穿来体现其价值；而内在价值是本身就具备价值，比如快乐，是发自内心的自我陶醉。
3. 自发(instinctive)学习和自主(autonomous)学习。
这里姑且可以认为：
自发学习，是从本能角度出发的自我认知和探索过程，有很大程度上的随意性和盲目性，如没有任何目标导向，很少有边界约束，基本不接受外界正向和负向干扰等等，前面大家讨论得比较多了；
自主学习，是这样的理想学习过程：从明确的自我需求出发，自己有意识的制定学习目标和学习计划，选择适合自身特点的学习资料和学习方法，准确评估学习效果进行及时调整学习策略，准确识别学习过程中的问题并想办法解决（比如求助他人还是自己死磕？），完成学习过程中的所有心理辅导（比如我是不是真的很猪头，还是方法不对？我需要放弃还是坚持？为什么别人可以，我也可以/却不可以？还是说，我他妈的不能再憋着了，我得找人谈谈？），而学习过程则以批判性思维主导，尊重权威但不盲从，认同经典绝不放弃创新，关键是有独立的思考能力和判断能力，而且具备对自主学习产生的任何不可预测后果，都有绝对的个人担当。
两者有很大区别，但也有很多联系，这里也不过多展开了。
4. 延伸话题。
大家说了很多关于学习的话题都很好，我其实还想说，学习不仅体现为某个结果，更是一种能力，也是一种习惯，甚至是一种信仰。记得《英雄本色》里，豪哥问小马“你相信神吗”，小马回答“我信——我就是神，神也是人”。聆听上帝神谕，为自己指点迷津的人，最终来看，不是父母，不是老师，也不是其他任何人，而是自己。
后话：其实自主学习说是理想过程，但绝非理想，在一定时期内实施起来肯定会走弯路，交学费， 肯定会给人以事倍功半、简单问题复杂化的印象，但是这个过程可贵之处也在于此，长久来看，我们学到了很多，也变得更善于学，更喜欢学。
丁丁妈，我不在原帖点评了，我接着发新的。我的意思是，孩子学习的顺序，她的思维习惯和学校设定的课程进度课程体系可能完全不同，所以在这一点上，自由学校的学习方式更有优势。
容容的数学弱不弱看参照物是什么了呵呵。，我可以确定的是她不是数学上天分很高的那类，比起她的其他方面，数学不是强项，就是这个意思。{:1:}
本帖最后由 汐岩 于 2014-11-22 12:37 编辑
还想起来补充一点，除了"孩子往往是对的这种信任"之外，还有一个界限的问题，就是说学习是我自己的事情，当然是理念上来讲的，我想学什么，我想怎么去学，我是不是需要参考资料，是不是需要找老师，找哪种老师，是应该让孩子去自己决定的，父母可以提供选择和建议，但是最终是否合适要去观察孩子的状态，当然这种观察往往就会带着每个人不同的目的性，不一定能够真正以孩子生命发展的需要为标准，也不一定能看到表面无用下的有用，但是这种对真相探索不断深入与进步就是教育学研究的使命吧。孩子不是每次都对，每次都华丽丽，正因如此探索才如此有趣，她们应该享有独自探索的权利，有犯各种低级错误的权利 ，有重复犯错误的权利，只要没有伤害到别人，都是可以的，伤害到了 ，也可以彼此均衡解决，比如房间的凌乱，就是孩子思维与成人思维的一种差别，只要双方平等承担责任，不认为谁一定对一定错，那么孩子是非常乐于为自己的权利承担责任的。
好了，这次真的断网，请相信，我说的肯定不算数:)))
谢谢小宇妈妈!
关于教还是不教，看这里争论还蛮大的，我觉得其实并不矛盾，引起争议的只是度的问题。关于度，我比较赞成尹建莉的提法：教的目的是为了有一天能够不教。所以如何教、怎样不教，有很大的学问。
@容宝妈妈，我娃这方面跟容容比较像，不喜欢被教，喜欢自己想出来的成就感，我感觉这一点有利有弊，太过自主了有时候会阻碍她进步。我觉得你说得对，跟爹妈的养育方式有很大关系。我通常很少直接教丁丁，即使她主动来问我问题，只要我能反问回去，都会优先用启发式提问引导她自己想出答案。她有不认识的字来问我，我没啥可启发的会直接告诉她答案，但只要她认识其中一个偏旁，我也会先问她那个偏旁读什么，然后再告诉她答案，让她想想其中的关联。类似的，我会尽最大可能多启发她自己想。想起有一次她还在几个月大婴儿期的时候，爬到沙发旁边扶着站起来伸手去够沙发上的一个玩具，怎么也够不着，我在旁边观察等待了一会儿，假装无意中碰了一下她，悄悄挪动了沙发上垫着的凉席，让她以为是自己无意中碰动的，然后很快她就自己发现可以拖动凉席让玩具靠近自己，后来我在书上看到还真有小婴儿会想出这样的办法，我很庆幸当时没有直接帮她。
大李推崇的皮亚杰确实很杰出，花了毕生精力观察和总结出儿童认知发展的规律，认为儿童的认知发展有固定的阶段和模式，基本很难逾越。但是还有一个维果斯基也很牛，他提出的“最近发展区”跟教的主张很合拍。百度出来供大家参考：
维果斯基的“最近发展区理论”，认为学生的发展有两种水平：一种是学生的现有水平，指独立活动时所能达到的解决问题的水平；另一种是学生可能的发展水平，也就是通过教学所获得的潜力。两者之间的差异就是最近发展区。教学应着眼于学生的最近发展区，为学生提供带有难度的内容，调动学生的积极性，发挥其潜能，超越其最近发展区而达到下一发展阶段的水平，然后在此基础上进行下一个发展区的发展。
如果让孩子完全自发自生自灭地学习，那这个“最近发展区”就毫无用处了是不？{:10:}
另外还有班杜拉的社会学习理论也强调间接经验学习的重要性。我在孩子小的时候会尽量让她获取直接经验，但大了还是会给她增加间接经验的学习，而且，也不可避免。
丁丁姑娘 发表于 2014-11-18 14:05 static/image/common/back.gif
关于教还是不教，看这里争论还蛮大的，我觉得其实并不矛盾，引起争议的只是度的问题。关于度，我比较赞成尹 ...
呃，我又要说我们目的不同了，我主要是对孩子学到什么程度没有期待，觉得那是他自己的事情，他愿意学到什么程度或者说他需要学到什么程度为止，这个应该由他自己决定。
你们所说的如何达到学习效果的最佳化，这个最佳的评价标准跟我们不一样，所以前面敬听说了，这没法儿见分晓，哈哈！
教育孩子的方法不同，说到底是人生观不同。
譬如我说“生命就是拿来浪费的”，泡妈会会心大笑，敬听肯定就会痛心疾首了！{:10:}
丁丁姑娘 发表于 2014-11-18 14:05 static/image/common/back.gif
关于教还是不教，看这里争论还蛮大的，我觉得其实并不矛盾，引起争议的只是度的问题。关于度，我比较赞成尹 ...
维果斯基最近发展区理论对心理学、教育学影响深远。那么什么是最近发展区，最近发展区理论的基本思想是什么？最近发展区对教育界的启示是什么呢？
前苏联心理学家维果斯基认为，对于儿童而言，存在着一个介于儿童自己实力所能达到的水平（如学业成就）与经过别人的帮助之后所能达到的水平之间的差距，这一差距被称作最近发展区，我们也可以将它理解为它是一个人的最大潜力。最近发展区是只有给予帮助才可能完成从实际发展水平到最近发展区的提高，只靠儿童自己是无法独立完成的。找出其最近发展区，就可以通过成人帮助使儿童的认知能力得以最充分的发展。因此，在教育过程中，应当充分开发青少年的最近发展区，除了带领学生在已有知识的基础上学到新知识之外，更应该在面对新知识时有新的认知思维方式，从而启发学生的智力。
教学最理想的效果只有在最近发展区内才会产生。例如，人们常说的“跳起来摘桃子”就是既要给学生一定的施展空间，又不能超过学生的最近发展区，这样才能真正发挥他们的学习积极性。当然，最近发展区概念只能是原则而不是方法。在最近发展区内辅导学生，是把辅导学生学习看成是必要条件。如果只是将学生置于最近发展区内让他独自学习，则会使学生在面对新知识的困难时退缩不前。
确实和我内心的想法不谋而合，小宇妈明眼人
一不小心溜进来了，学到不少知识{:e163:}
容易吗 我也觉得很奇怪，五爷说说对华德福数学的看法呗
首先，来一段免责声明。
我不是数学老师，也不是数学专业。
我就是一个业余人士，连爱好者都算不上，纯粹焦虑感驱动。
我研究数学的目的，完全和泡妈一样，就是为了保护孩子的领悟力和形象思维。
所以，我对泡妈提到的细节，极为感兴趣。
泡妈记录的孩子的这些思维过程，具有非常高的价值。
从意义上来讲，不输于皮亚杰的观察结论。
只是，记录的内容还是太少了。
关于华德福教育家。
有些食古不化，原教旨主义。
有些与时俱进，不断创新。
Active Arithmetic -
Movement and Mathematics Teaching in the Lower Grades of a Waldorf School
这本书的书名很长。
我的个人翻译（免责）：
主动数学——
华德福学校低年级的“动作和数学教学”
这本书，我没有看过。
只看过一些摘录。
关于华德福的数学教育。
我把以前写过的内容，粘贴过来。
各种“成功”案例说明，提高小学生的学习效率，是完全可能而且可行的。
只是，我骨子里是个保守主义者，我一直秉承“安全第一，效率第二”的原则。
我内心一直无法免除一种深切的忧虑——这种多快好省的教学进度，符合儿童的思维发展规律吗？
会不会拔苗助长，竭泽而渔，过度透支儿童的思维发展潜力？
根据著名儿童发展学家皮亚杰的理论，从小学开始，少年儿童的数学思维发展分为两个阶段。
第一个阶段是基本运算阶段，大致在七周岁到十二周岁之间，对应小学阶段。
“基本运算”的主要意思是“基于具体数字和数量的运算”。
在这个阶段，小学生主要发展形象思维能力。
第二个阶段是形式运算阶段，十二周岁以上，对应中学、大学阶段。
“形式运算”的主要意思是“抽象字母符号的代数形式运算”。
在这个阶段，中学生主要发展抽象思维能力。
根据上述理论，我有了一个基本的认识。
十二周岁之后，加快学习进度，比较安全；安全问题主要集中在十二周岁之前的小学阶段。
前苏联儿童发展学家维果茨基也观察到了类似的现象。
维果茨基发现，尽管很多儿童已经掌握了“因为”、“所以”这样的表达因果关系的词汇，
但是，他们实际上并不真正清楚原因和结果之间的因果关系，他们只是模仿了这些词汇的表达而已。
维果茨基比皮亚杰稍微激进一些。
维果茨基认为，经过适当的科学训练，可以适度加快儿童的认知过程。
美国的儿童发展学家，普遍都激进一些。
皮亚杰曾经微讽地提到：如果你研究出儿童的基本运算阶段从七周岁开始，
美国人立刻就会去研究，这个年龄能不能提前到六岁？五岁？四岁？
正是美国的研究风格，带动了全世界的“早教”、“快教”潮流。
即使我最欣赏的华德福教育方法也不能免俗。
华德福教育方法讲求艺术教学手法、整体学习、节律学习、身体运动韵律学习等，反对过早过度开发孩子的抽象思维。
华德福的课程设计着眼于运用学生的所有感官、全部身心来体验学习的内容。
比如，华德福的几何课讲到“圆”，可能会先让学生在操场上去跑几个圈子，
然后，回到课堂，用“形线画”的方法，把刚才跑过的“圆”形路径画出来。
华德福小学生在初次接触奇数偶数概念的时候，会在“晨圈”的时候，一边走圈子，一边根据自己的落脚大声数数。
比如，落左脚，数奇数，落右脚，数偶数。
华德福小学生背乘法表也是如此，一边走圈，一边大声背诵乘法表。
这是华德福教学的特色，将身体运动的节律和背诵结合起来，运用全身心记忆。
我非常欣赏这种理念，参阅了不少相关华德福著作。
结果，我吃惊地发现，一些现代华德福教育已经与时俱进了，在小学一年级就引入了“字母代数”形式。
其理论依据是，华德福重视语言学习，“字母代数形式”也不过是一种数学语言，和其他语言没什么区别。
这种说法，和我对华德福教学方法的理解完全不同。
据我理解，华德福重视语言，是重视口语，重视听说，重视声音符号的语言形式。
对于文字符号，华德福建议先从形线画过渡到写字之后，再开始阅读。
具体数字符号，对于具体的物体数量来说，已经是一级抽象了。
字母代数形式，对于具体数字符号来说，又是更高一级的抽象了。
那些现代的华德福教育家，对这么重大的区别，如此轻描淡写，令我难以适从。
当然，我只是一个华德福教育的门外汉。
我一直被华德福的核心理念《人智学》“障”在了堂奥之外，我对华德福教学方法只有皮毛上的理解。
每个人都有固执的一面，我还是坚持自己的保守主义。
我旨在保护小学生的形象思维。
华德福还有一种背诵乘法表的方式，就是“按行”背诵，一行一行的背诵。
按照华德福的说法，叫做背诵“某个数的倍数”。
比如，第二行就是2的倍数——1倍、2倍、3倍......9倍，也就是2、4、6......18。
比如，第三行就是3的倍数——1倍、2倍、3倍......9倍，也就是3、6、9......27。
“按行”背诵的好处是，每行数字构成一个等差数列，相邻数字之间存在很强的规律，方便记忆。
敬听 发表于 2014-11-18 10:25 static/image/common/back.gif
这点大家没有异议，我的异议在于仅凭兴趣就可以自悟自学成才，就是“不被教”就能达到一定程度。你自己的 ...
泡妈可能暗含了一个前提：
孩子需要的时候，恰好就能找到趁手的适度的自学资料或求助对象。
在资源丰富的环境中，这个前提条件有可能达到。
另一方面，我认为，如果一个环境中，只能提供掏鸟窝、摘野花，那学习资源可能就不够丰富多元。
不过，即使这样，也不输于传统小学环境。
因为传统小学环境，实在是太过单一了。
本帖最后由 学父五迁 于 2014-11-18 20:15 编辑
转帖一些华德福数学的资料。
就不转帖斯坦纳的原著了。
个人偏见，斯坦纳对数学的唯一贡献，就是贡献一个名词“从整体到部分”。
这个概念很好，如果斯坦纳不进行解释的话。
但是，斯坦纳解释了，一个人是一个整体，有两只手，云云。
我也有同感。
或者说，我也同样无感。
我感觉不到这是数学。
我只转帖一些有感觉的部分。
很想看下列书籍，但是，我没看过。
《Active Arithmetic》 By Henning Anderson
《The Extra Lesson》 By Audery McAllen
《Finding the Path》 By Bengt
《Geometry Lessons》 in the Waldorf School
以下内容引自《迈向自由的教育》
其中一些数字机械记忆的部分，省略了。
我认为，乘法表需要掌握熟练。
如果时间允许，当然可以慢悠悠一次次自行推导。
如果时间紧凑（比如，为了应试），背诵也无妨。
这已经是代价了。再背诵其他数字，那就是不必要的代价了。
3、形线画──从上学第一天开始
史代纳建议让孩子在会使用圆规和尺制图之前，先认识“几何学”。他甚至建议，以“直线”和“曲线”为上学的第一个钟头拉开序幕：老师可以和学生先谈论他们的双手，以及人们如何运用双手来工作。然后请学生在黑板上画一条直直的线，接着画半个圆形或弧形。老师可以先画给他们看，学生就会模仿着画。老师可以从学生走路的模样、观察和绘画的方式，就对他们有一份认识和了解。而在这个过程中，学生已完成他们的第一份“功课”：一个原始的几何图形。
然而“几何学”的练习不必只停留在“双手”上，它也可延伸至“双脚”。例如：让学生走出教室，到操场上跑一圈或是一螺旋形，然后走回教室内，把刚才跑的形状，画到自己的工作本上。又如：二年级“优律思美”的课程中，学生一起跑出重迭的“8”字形，这时他们必须练习一一在中间交叉跑开的动作与步伐。“几何学”可以成为具有一份潜在排列秩序功能的学问。
此时此刻，如果一位“优律思美”的老师能够试着不要用警告的方式来提醒某个学生，留在他自己的位子上跑，而是改用另一种口吻说：“你看，你在我们完美的图形中，跑出了一个一个‘洞洞’。”这不仅是学生，同时老师自己也会感到愉快。
渐渐地，“优律思美”的形状会越来越复杂。譬如：到了六年级，当“几何学课程”给学生带来新的刺激时，老师可以针对几何学课程，在“优律思美”大厅中，举行所谓的“动态之几何学”。
然而“形线画”却不只可以当成“动作的痕迹”来练习。它本身也是一个人物图像的练习，和对“非动态”事物的描绘方式。例如：我们可以让学生补充完成一个不完整的形状，让他们用自己的“形状感觉”画出一个“外在”或“内在”的线条，寻找相对称的图案，或一个倒映的人物图形。
（十八）几何学
一个十岁男孩和父母一起看一本几何艺术结构图。看到一半时，他突然跟父母说“你们看，这个图案到下一页会变成那个形状。”男孩说太没错，下一页的图形是由这一真的结构演变而来。他发现了，父母没看出来的“变化”。男孩那么有自信的原因之一，是因为他在华德福学校上学，而且从一年级开始就练习画各种图形。
史代纳学校的学生四或五年级时就能用尺和圆规来画美丽的几何图案。但使用这些工具来画真正的几何结构图却要到六年级才开始。
大多数的人都习惯把“几何”这个概念和一长串难懂的论证方程式联想在一起。华德福学校所上的“几何”却不太一样。在引用它来“论证”某些事物之前，我们可以先“体验”几何的存在。
要怎么画一个正十六角形，而且每个角的交叉点要彼此相连的结构图？在圆周在线以圆的半径为长度找出六个点，再以每个点和圆心的距离为直径在大圆内画出六个小圆，会产生行径样的图案？或者以相同的原理画十二个或更多的小圆，结果又会如何呢？或以一个大圆的半径为直径，用连续转动、更换圆心的方式，在大圆内画出相连的半圆，结果会产生那些图案？运用类似的原理一直画下去，将发现几何世界的图案之多，几乎是无穷的。
但是，应用何种方式才能将富有创造性的几何结构图转换成生硬的论证形式呢？华氏定理可以帮忙解决这个问题，而且可直接由实验证实这些定理。让小朋友画一个直角三角形，再由三角形的每一个边各画出一个正方形，或者各以以上所举的两个画圆的原理，各在三角形直角的两边画出正方形的面积。同学们也可依相同的结构，以大小不同的三角形再试试看所得的结果还是一样：直角两边所画出之正方形的面积总和等于第三边所画出之正方形面积。
这类的习题仍然是具体而图案式的，但可做为以后练习论证题的准备。只有当小朋友对因果关系的需求觉醒及对抽象的事物（如代数之类）有兴趣，也就是满十二岁之后，才进一步转换成练习真正的证明题。
学父注：过早尺规作图，可能会影响孩子的绘画风格。不过，十二周岁的时候，孩子已经可以学透视原理了。因此，十二周岁之前的一两年，进行尺规作图，应该问题不大。我同意这段的观点。尺规作图，对于几何学习有很大意义。
推荐一本书。
《带着铰链的方块：令人着迷的创意游戏》[美]伊万·莫斯科维奇
开篇就是一些有趣的尺规作图。正多边形，正多角形。等等。
有人建议美国中小学的物理课应该从组成物质的基本粒子，如电子、质子等开始上，一步一步地学生在课堂上就学会原子组成的原理（当然只在思维方式上）。然后，原子组成分子，最后再由这些分子组成一支粉笔或一块掉在地上的石头。
这种上课方式和我想积极提倡的正好相反。学习的出发点，应是学生能亲身体验到的现象，然后再透过实验来补充所观察到的情形。最后，才能谈到抽象。例如：化学中的‘原子’、‘分子’这类抽象的概念，应该最后才出现。”
1、第一堂物理课
一个气质冷静被动的十二岁女孩，平常并不喜欢做功课。有一天回家后，精力充沛地摆了一堆玻璃管在桌子上。她将每根院子灌进不同数量的水，用一根叉子在管子上敲敲，然后又将水倒来倒去、直到她调出一个小的音阶为止。家人问她：“今天你在学校上了什么课？”“物理课，我们第一次上物理！”她高兴地回答。
只有少数几个科目能像物理一般，唤起同学这么高的兴趣，同学通常都会迫不急待地等着上物理。第一堂物理课是在六年级，并以观察各种不同领域的现象开始。
开始时，先观察“声音”。首先，以小朋友所熟悉的各种乐器出发。然后再依状况将观察范围扩展到他们不认识的乐器。渐渐地，才由艺术性的“音”乐转换成观察成观察“声音”的原理。老师可以和同学一起做实验。譬如，将各种不同的物品挂在一条在线，在每个物品上敲一敲，再将所听到的声音和木头或所熟悉之金属片发出的声音做比较，然后按音阶高低将物品顺序排列出来。应该给每一个小朋友机会，自己去发现声音的奥秘。最后，在一块共鸣板上拉一条弦，利用木块当琴马，随意调出弦的长短松紧。
会拉小提琴的小朋友很快就会发现，弦的长短会改变音的高低。其他同学需要较长的时间，才能体会出其中的关系。但因为这是基础的体验，所以老师应耐心地等待同学找出结果。将弦的长度调紧成一半长时，音阶会相差八度；2/3长时会相差五度；3/4长时会相差四度；4/5时则相差六度等。暂让小朋友量弦的松紧和音高之间的关系就够了，他们目前尚无法直接感受到频率的问题，关于这方面以后再谈。
也可以将沙撒在一块中心以螺丝固定的轻金属转盘上，然后用小提琴的弓在转盘的边缘磨擦。那些跳动的沙粒就会变化各种壮观的“克拉德尼声振图形”（Chladnische klangfiguren）。小朋友可从事实中观察到，声音也可影响开头的变化。这种经验对他们很重要。尽可能准确地记录，哪种声音会产生什么样的图案。在这个阶段中，小朋友就能明确地体会，振动频率和振动图案之间的关系。
接下来探讨视觉所能观察到的现象之变化。哥德对颜色“原始现象”所发表的理论，是一则容易观察且能让人留下深刻印象的例子。老师可以哥德的理论为基础和同学一起做个实验。一个深色名淡色的物体，如果透过混浊的介质（如：有色的玻璃、液体或雨雾等）来观察，会有非常大的改变。下面所做的实验可以概括这种现象。将肥皂水滴进装水的器皿中，水会变得混浊。若将玻璃器皿后方的灯打开，水的颜色会很明亮。但若将灯移到玻璃的旁边，在阴暗的背景衬托之下，水中的颜色看起来会较深。这个实验在适当的照明及相对的混浊之下，我们可以各看见浅蓝色及红宝石的颜色。
参见165页图4-34
这时老师可以提醒学生，我们在日落的傍晚时分，也会观察到相同的景象。向下缓缓沉落的太阳是鲜红色，地平线的另一端则是深蓝色。透过深色的介质来看亮的颜色，所看到的是黄或红色，透过亮色的介质来看暗的颜色，所看到的是则是蓝色。用这种方式来描述这个规则，只是把感官所感受到的事实在思维中整理出来，而让“事实自己说明”一切。这种方法实现了哥德所说的，科学的真正目的：我们发现了“原始现象”。同学们所做的是，感官和思维的内在结合。哥德将此称为“直观的判断能力”。
2、化学
通往“化学”之路
开始上化学课时，可以让同学先观察各种天然物质各不相同的燃烧过程。为什么有些火焰烧起来很旺盛，而有些则很容易烧红？为何会产生雨雾？火为何会有煤烟？可以找时间做一系列的实验来比较，燃烧时所产生的各种现象。含树脂的木块烧起来会劈啪作响；木屑燃烧起来温度高且集中，但从外面几乎看不出来（木屑燃烧时所产生的热甚至可以用来烧陶）。烧旧蒲扇时很快就燃起的熊熊烈火，会令活泼气质的小朋友惊喜。有些同学则对缓慢爬行的蓝色火舌，一步一步地吞食和水混合的酒精较感兴趣。目的不是要让小朋友对那些伟大的科学实验成果感兴趣，而是尽可能让每一位小朋友体验，如何运用“思考”将各式各样，而且有时令人混淆不清的“感官印象”整理出来。譬如可将这些观察所得的燃烧现象，按精神财富的原则排列出来：
①猛烈而爆炸式的燃烧
②火光冲天，四处流窜的火舌
③缓慢爬行吞食般的火焰
④高温烧红，炭烧式的燃烧
实验过后的第一天，才继续思维方面的整理工作。小朋友会提出许多问题和同学一起讨论，而且提议继续做实验。透过共同的研究，自然而然地会探讨到空气在燃烧过程中所扮演的角色。如果继续追寻下去，就会发现氧气。日常生活当中，小朋友也有许多这方面的经验。大部分的小孩都玩过火。有些同学很清楚怎么灭火，或在潮湿的森林中如何起火。小朋友在日常生活当中也可以体验化学的存在，而且这些体验不容易忘记。从日常生活中所学习的化学也能搭起一座通向外面广大世界，或工业界的桥梁。
参见165页图4-35
渐渐地可将研究的领域扩展到大自然的变化之中，（如石灰和水在自然界的循环过程）或延伸至手工及工业的制造过程，如玻璃的制造，锅炉的燃烧以及金属在人类生活中的地位等。这是一个让学生离开教室到工厂实地观察的好机会。参观一些如肥皂的制造过程等，不是很复杂的化学技术。上化学课的内容主要以平常所接触的物质为主，但也应着重介绍学校附近已有的化学工业生产过程。这种上课方式不只适用于化学课，也应运用在物理和别的科目中。
八年级历史课谈到现代工业发展的历史时，同期的化学课中也应特别研究，一种除了黄金之外，在人类生活扮演最重要角色的金属──铁。
机械制造和现代工业发展只能跟随钢铁生产量和炼铁技术的脚步前进。倘若没有考特（Cort,1783/1784）年所发明的“火炉”，早期工业就不可能在英国发展。没有现代化的炼钢技术（1858年贝什摩过程，1865年西门子—马丁过程，1878年汤玛士过程）就不可能有海轮、广布世界各地的铁路网、汽车以及现代化的农业，也不可能建造能容纳如此众多人口的现代化大城。每个人都应至少原则上知道，人类如何利用钢炉将铁从铁矿中提炼出铁来。
数学与几何学
不同的多角形。按欧氏几何所绘成的多角形，限定在某个平面之内，再依投影几何所绘成的多角形会无限扩大。绘制这些几何图形需要花费很大的心力，但也会获得非常有趣的结果。
透过几何，可以让我们学习运用思考来看事物。为了达成这个目标，我们必须先改变看某些事物的习惯，如把点看成是针头，线看成杆子，平等线当做是二条铁轨等。只试着完全不透过“感官”来思考，我们才能理解真正的几何观。
《迈向自由的教育》
更多的高年级知识。
（四）数学与几何学
1、九年级
最迟在升到高年级时，多数的学生会自觉到，数学是多么重要。他们体会到许多理论和实务方面的职业培训，都要求有好的数学基础。现今的社会形态很重视数学。这或许可以重新唤起同学学习数学的兴趣。但老师也必须注意，不要太过于受这种时代潮流所左右。整个求学过程中，数学课应有助于学生人格之发展，因此数学本身是有其内在的价值。
柏拉图对数学的看法，也许最能完美地表达数学的意义。他在“共和国”一书写道，“透过数学能洗涤心灵的眼睛，这就像经验丰富火焰的提炼而重新唤醒生命力一般。然而人类的其他活动只是否定并且掠夺它的视力（心灵之眼）。而这种工具（指数学）却比千百个肉眼更值得保留下来，因为只有透过数学才能看见真理。”
然而这种想法对一个十六岁的年轻人来说，是多么的深奥。一个最典型的问题，是“数学有什么用处呢？”教室里坐着一群年轻人，他们的理解力刚被唤醒，也有一股想要去完成一件实务工作的行动。但是，倘若老师给的习题和同学们心灵发展的过程相配合的话，要他们去解决一个和实际生活并不相关的问题，也不是那么困难的事。
老师可以用“河内塔”（Hanoi-Turm）的结构原理为例，来当做一个习题，让学生练习。做这个习题时，首先必须用到推断能力，之后也需运用别的方面的能力。“河内塔”是一些中间穿孔的石头迭在一根竖立的杆子上，从最底下最大的石头开始，石头愈迭愈小，一直迭一最顶上。另外还有两枝空的杆子可以使用。这个教具外还有两支空的杆子可以使用。这个教具的学习主题，是需要移动几次，才能将不同数量的石头由大到小在另一根杆子上迭成一个塔？唯一的条件是大的石头不能迭在比它小的石头上。
假设我们有四个石头。试迭之后，学生很快就会发现，需要移动十五次才能将石头按大小迭在另一根杆子。班上的同学马上会自动提出这么一个问题：不同数量的石头需要移动的次数会是多少呢？
有些同学则用少于四个以下的石头试试看。结果他们发现，一个石头移动一次，二个移动三次，三个移动七次。从1、3、7、15这些数字中，是否可以找出一个规律，借着这个规律而能汇出一个适用的公式。但是，如果已经找出一个痕迹，这个痕迹会导向正确的路途吗？同学们试着用五个石头来做。结果他们所做的推测是正确的，但我们要如何证明。这个假设也适用于其他数量的石头？我们无法将石头愈迭愈多来证实这个论点。透过“感官”之尝试来拣出答案的方法，无法不断地持续下去。必须以“思考”的方式，一直在脑海中无限制地想象石头愈迭愈多。用心地去找出那关键性的一点。这个关键点在哪里呢？我们继续研究，每增加一个石头时，必须移动的数量会增加多少？迭a个石头塔时，必须将四个石头塔先迭在第二根杆子。然后将第五颗石头移到第三根杆子上。最后再将四个石头塔全部移到第三根杆子上。移动的次数为X5=X4+1+X1=15+1+15=31。这个公式适用于任何数量石头所迭成的高塔。我们可以将数目从4加到5，从5加到6，一直算下去。这个公式可以毫无限制地一直往下推。
愈是费心所得的结果也愈有价值。同学们会感受到，运用思考可以达到，即使透过科技的帮忙，也无法完成的结果。学习也学会“观察”自己的思维过程。他们学着去“感受”，什么时候“想”得对，什么时候“想”得不对。这是一个本质上的经验。如果让问题本身及相关的理念在我们心中“说话”，如果我们在心中发现问题的客观性，就会确切地意识到自己站在真理的土地上。
通常，九年级的学生无法有意识地感觉自己在思考；有些同学甚至到了十二年级仍未具有这种能力。最重要的一点是让学生依个人的能力，自己渐渐地去体会，如何清晰地思考。九年级的学生“独立”的需求渐渐增强。上课时应以“专业知识”为重心，老师渐居于辅导的地位。如何来上数学，才能免除同学对老师的依赖，因为每个必须靠自己去找出事实的真相。在学数学时，同学们资质的不同扮演了重要的角色。要如何使那些爱做梦，且天资较不倾向于理性思考的学生学好数学？老师必须自己整理出一系列由简单到复杂的数学问题。譬如做数学时所使用的术语，他必须“在班级的范围内区分各自的不同”。九年级时，重新练习“四则运算”。但不是用十进制，而是以别的进制来运算。由加法、开根号到各种除法，各式各样难易不同的习题。
排列、组合及其在机率换算方面的运用，能提供丰富的题材，去训练学生的思维能力。研究不同的几何曲线，也可以让同学脑力激荡。学习有限的曲线，如圆和椭圆，可以帮助我们解决无限延长的曲线，如抛物线和双曲线可研究走向的问题。研究这些问题时，会有许多惊奇，也可学到很多东西。同学们将体会到，运用解析几何及其方程式很快就能找到答案。纯几何的算法较费时间，但所获得的结果却较丰盛，而在解决问题的过程当中，常会有许多重要的发现，使这个过程变得有趣。
参见228页 图5-4
2、十至十二年级
十年级的教学计划中，安排了两项重要的课程。“三角几何”是平面几何的高潮。以前学生只以平面几何做一些特殊三角形和其他图形的练习，而现在可以运用三角几何的方法，透过图表或计算机（计算机），来画所有想象得到三角形。若能将这些方法直接运用在土地测量上，那学生将会感到很满意。在此课程范围，学生学习如何使用半圆仪（Theodolit）所量出的准确角度来画地图上的三角网，而这些三角网，能使地图保持稳定与精确。
第二项课程介绍“对数”。自乘法中学到负数、分数以及零的运用，并且提供了更新更广的习题。这段期间同学们将会不断地想到一个问题，那就是以前学过的数学是否仍然适用于这些新的范围？事实证明是可以的。而且我们还能以更广阔的视野去运用这些以前学过的方法；同时也学习到如何从纯技术的层面上，去解决一些平常需要花许多时间才能找到答案的问题。
学会使用较锐利的工具之喜悦，能提高同学研究数学“建构工程”中新领域的兴趣。这些新的领域是教学课程中所精心选出的。十年级学会平面的算法后，可以尝试将几何运用在凹凸不平的表面上。计算地球上的距离和面积。地球的到别的星球的航线图，以及将整个地球表面或其中某个部分投影在一个平面上，也就是画一张球面的地图。同学们现在所面对的是一个全新的状况。他们必须了解，将一个球形区域，完全按照大小，投射在平面上，不是不可能的。值得注意的是，例如一张航海地图不是球面的投影，而是一张经过详细计算而画出来的图片，上面画着准确的角度，所以可以在航海中找到正确的航线。
和“无限”这个概念有关的问题，也属于能影响学生人格发展的主题之一。可以用透视素描法，做一些和极限有关的习题，或以康托（Georg Cantor）集论中的原理来引导学生认识“无限”的观念。一条直线上的点会比数目字多吗？点如何“组成”一条直线？“极大”和“极小”的问题可回溯到二千五百年前埃里亚（Zenon von Elea）所提出的矛盾理论（Para-doxien）。
接下去的单元，可以练习和加强有关“无限”的函数概念，如利用函数找出事物间因果关系的思维方式。伽利略、牛顿、莱布尼兹和其他科学家，都曾阐明以及用数学证实这种思维方式。也应探讨速度与加速度方面的一些基本概念，使同学有机会学习，如何算出最高值与最低值。这种知识以后可以运用于技术方面的改进，以求近于完美。
研究“无限”的概念，以及函数，可以说明同学从感官直觉的层面中抽离出来，而以抽象的方式来思考问题。不可避免地，有些同学在这几个单元中，只求认识一般的方向和一些基本的概念，就感到满足了。也许有些同学甚至讨厌XYZ的方程式。可以给这些同学一些有趣的习题，例如投影几何方面一些结构性的习题，让他们重拾学习的乐趣。
十九世纪初，一群专门研究几何的法国数学家想证明，纯几何比解析几何非直观的方式式更有用。卡诺（Carnot）的目的是希望“把几何从解析的抽象符号中解放出来”。因而发展出投影几何。投影几何能提供教师非常好的教学题材，令人讶异的是一般中、小学，并未广泛地运用投影几何。不论透过图片或运用文字，投影几何都能提供学生很好的机会，以不现的角度来观察问题以及事物间的关系。
和一般通用的线和面是由点组成的原子论观点不同，投影几何将点看成是支撑平面或直线的物质。点和平面与直线一样，是一个基本元素。一般年轻人对事物的看法常以黑或白来区分，而且深信不疑。知道这种情形的人就能体会，学校教育的重要工作之一，是训练学生的判断能力。让学生以各种完全不同的角度来看问题或事物，而最好是能以几种极端对立的角度来观察。在这方面投影几何能提供所有的学生，许多很好而又有趣的练习机会。十七世纪法国人德沙果（Desargues）就是在研究艺术家所提出的一连串问题时，奠定了投影几何的基础。而当时的艺术家所要寻找的是严谨的绘画视点。茅利斯克莱（Morris Kline）在其所著的《西方文化中的数学》曾经这么写到：“德沙果所创建的这门科学是现今数学中最美的一部分，也许就是因为它是从艺术之中创造出来的。”
如果我们想避免，日常生活所常发生的许多误会，或努力地想去理解某些科学研究的成果，就必须让自己和别人明了，我们是以什么样的观点为基础，来建立我们的思维方式。科学界常会出现一个重要的问题，那就是研究人员以一些公理或原始现象为基础来探讨问题。我们尝试尽量客观地去理解、研究范围所观察到的现象，不论是大自然的过程，人为的实验，或者心理学的探讨，以及历史中所发生的事件都一样。
华德福学校十二年级学生可由不同的科目中获得广阔的视野。在数学课中，学生体会到，如何适当地选择基本定理来学习各种几何（欧氏几何、非欧氏几何、解析几何、综合几何等）以及各式各样的代数。也就是说，各自选择适合自己的研究工具，而他们学生也可从中认识到有些数学方面的杰作，在一段相当长的时间内，它只被当成一种参考文献，也许只有一些奇特的人会对它们有兴趣。但有一天它突然却变成许多研究领域所必须运用的工具，如博尔（Boole）代数在逻辑分析、或然率之计算及电网理论中的应用。
总而言之，数学课可分为练习与引导两种方式。两种方式相互配合运用得愈密切，学生学习的意愿也愈高。若只做练习，反而久之会变成死板的操练。然而一味地引导则疏忽了学生参与的欲望，也不是好的教学方式。在证明以及推论问题时，有一条黄金定律，那就是在严密讲究细节却是冗长的阐述方式中，和概括性、公式化但表达不出问题的特色思想之间，找出一条中庸之道。
与做习题中学习解决问题并行，引导式的对话能使同学认识到数学定律是和大自然，也和人本身联结在一起。数学最重要的意义，在于能引导做数学的人做纯思考的工作，以及让他信任这种思考的方式。也就是说，使我们同时以主观和客观的方式进行理解式的思考。
体操和几何学的关系，我印象中，有一段。
好像是说身体动作，和几何线条形线画之间的关系。
可惜找了半天，没找到。
只找到这么一段。
一位博特默尔的学生曾经生动地描写过，他对这些体操练习的经验：“在高年级的体操课中，我们感受到一种与几何学非常类似的关系。一股充满于四周空间的力量，在我们身上发生作用，我们则以身体动作与意志力来回应它……。另一种经验是身体对重力的感受”。 在所谓的‘坠落’练习中，我们可以清晰地感受到重力的降临，但一转眼它马上经由我们一个滚的动作，而产生了阻力，接着又透过一个有力的举高动作，这股阻力被迅速地克服了。这整个过程就像一个强烈的健康觉醒。
（二）七、八年级的“对比画”
十四至十五岁的学生处于一段“对比”的时期。开始练习素描时，学生起先将黑白两极看成两种不同的现象。之后，似乎自然而然地，就会将黑与白理解为阴暗和光明的象征。介绍各种不同光线的特性，如日光、月光、街道的灯光等，能引导学生去征服一个光和影的世界。这个学习过程的终点是画“人物肖像”。
1、空间练习与实际运用
其他的科目也可配合青春期的转变，以各自不同的方式来上。譬如：通常以流动的方式来衔接动作变化的“优律思美律动”课，老师可以在这段期间强调，严格的空间分配。学生在做棍棒练习时，要注意到空间分配的问题，但也要求类似体操所需要的灵巧。在那些有波特摩（Bothmer）体操课的学校在这个阶段则强调，能更深入地认识自己身体的练习。藉此，可使年轻人有机会意识到自己四肢新的韧性与强度，也可使四肢有目的地朝三度究空间的活动迈进。
还有重要的一点，几次都忘记说了。
泡泡在纸上划了很多线段（代表单位数量"1"），然后，试图用一个"隔板"插入这些“1”之间的空隙，进行分组。
这种思维方式，已经是"隔板法"的雏形了。
非常有领悟力。
再次赞泡妈的放手和观察。
看到这么多内容手痒想写，这会儿没空。{:29:}
點評沒有笑脸好不习惯，上面那句想调侃一下的:)今天没有电脑，用手机写点评试半天都写不上，，所以忍不住在这发问了:隔板法是说12/3吗還是200/5?還有前面说的加减法拆项速算是说的23楼和33楼是吗？刚才想最好我每写—段思维分解，五爷就能搜出—高大上名词帮我点评下哈哈:P
哈哈me too:)
汐岩 发表于 2014-11-19 08:04 static/image/common/back.gif
點評沒有笑脸好不习惯，上面那句想调侃一下的:)今天没有电脑，用手机写点评试半天都写不上，，所以忍不住在 ...
举个例子。有10个“1”。
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1
每两个"1"之间，有一个空隙。
共有九个空隙。
用一个隔板放入其中一个空隙。
就把这个数列分为前后两个部分。共有9种分法。
这实际上就是把10分成前后两个加数之后。
这是组合理论中的一种算法。
泡泡无意中就是用了隔板法来做除法。
不用说，效率肯定比不上"乘法表 + 除法竖式"，但是，更体现本质。
而且，泡泡在分100的时候，是把10作为基本单位来分的。
10， 10，10， 10， 10， 10， 10，10， 10， 10
我估计，泡泡也是用的隔板法。
另外，泡妈有空的话，能否说说 12 / 3 ?
我很好奇，泡泡是如何把一列基本单位，分为三份的。