我发现自己那时候还是挺痴迷蒙和华的。
泡泡从1数到100的能力，我觉得她可能是操作蒙氏的一百板起了一些作用，发现了数彼此的规律。现在这些教具我都不是太赞成了。
泡的数学（之二）(2012-03-21 08:10:28)
泡现在6岁2个月了，这几天很巧有好几个妈妈提到以前写的那个《泡的数学》，我就又回去看了下，看完才发现泡的数学又进展了，就是进展得好像有点慢，呵呵。。。
泡现在的水平呢，10以内的加法都问题不大了，比如3+4现在已经很容易了，但是超过10的还是搞不太清楚；而减法呢则基本不会，玩卖东西游戏时，我买6元的东西，给她10元，她问“妈妈我应该找给你多少呢？是3块吗？”我说：“不是”，泡说“那是4块？”我说“嗯，是的。”呵呵，继续发扬了“瞎蒙”的良好传统。
不过说起来，我觉得按加减的体系评价泡的数学能力好像不太合适，因为她对数学的理解好像跟我们并不一样。
另外泡终于明白10个100才是1000了。。。
前一阵有个小事，我觉得很有意思，值得记下来。是1月份的时候，泡过生日，送给泡泡的礼物里有那个韩式的海苔，后来只剩下最后一包了，我说你和兜兜分开每人一半吧，泡说好，就开始数海苔的片数：“一、二、三、四、五、六、七”，数完泡泡就愣了说：“这怎么分啊？。。。。。要不。。你吃一片吧？”我觉得意外的是泡怎么会数完立刻就知道没法分呢，这是个除法问题，但泡连减法都还不会呢，所以我感觉按照她目前的数学水平，即使能得出来，也应该会有一个思考的过程，比如“一共七片，三加三是六，四加四是八，呃，那这七片怎么分呢？”但是泡没有这些中间过程，数完立刻就难住了，而且还得出了一个“你吃一片吧”这个在数学上完全正确的解决方式。。。
后来我想，她应该是通过对7这个数字的理解来得到的，比如她在操作教具的时候，发现有的数字可以分成一样的两堆，有的数字却怎么也分不成，7就是分不成一样的两堆的数字；或者，她是通过2倍数的概念，因为泡泡最近还是总说2倍数的问题，“妈妈，4加4等于8是吗？。。。5＋5等于10是吗？。。。。6加6等于12对吗？”我问她怎么知道的，她说我就是觉得是这样。我说那5加4等于几？她说“5加4。。。。我不知道。。。。”知道泡的数学水平了吧？所以我才觉得泡分海苔的那个反应很出乎意外，我不理解为什么连5加4都不会算的泡泡却会立刻得出“7除以2得不到整数”——也就是7是奇数呢。我也从中明白她并不是按照我们所用的数学模式来思考的，在她那里，加减乘除都是相通的，并没有绝对的界限，它们都在对某一个数量本质的理解上得到统一。也就是说如果对这个数字完全理解了，那么有关它的加减乘除奇数偶数余数就会全都清楚了。。。。
还有个小后续，当时我听了泡的为难之后，说，“要不我把这一片给你们掰开吧”，结果泡立刻说“奥对”，泡说这个“奥对”的时候，表情很可爱，有点恍然大悟又有点不好意思，可能觉得刚才只能让我吃一片才能解决问题的办法有点笨吧。。。然后我掰开一片以后，泡就数“一，二，三”，然后放在一堆，再放上半片，又“四、五、六”，放在另一堆，放上半片。从这里我因此知道她不但知道7是奇数，而且还清楚地知道7是由两个3和一个1组成的，这个已经成为自然的感觉，并不需要一片一片来分了。。。
这就是蒙氏孩子对数字的理解。从我个人来说，我觉得这个理解才是对数字真正本质的理解，这个感觉才是真正的数学感觉。华德福可能觉得这种本质太庸俗了，但是华德福的那些对数字的本质理解却解决不了真正数学的问题，还是必须借助加法表、乘法表才能得到答案。
真正的感觉是什么呢？我觉得就是一边哼着歌一边还能听懂英语新闻里说的什么事，就是不需要借助记忆或者公式或者歌谣而本能地知道答案是什么。知道一个数字带来什么感觉，那个是艺术感，而不是数学感。
泡快要上小学了，我在纠结让不让泡去华德福的小学，因为我对蒙和华痴迷这么多年了，上华德福小学当然是n久的梦想，可是临近选择了，我又开始焦虑了，除了担心华无处不在的“红歌”，另外的一个担心就是华德福的数学，我不想泡的这种数学感觉受到干扰，因为破坏永远都比建立要容易得多。其实如果我们不去干扰孩子，她们就会慢慢迎来自己的敏感期，然后在成人恰当而谨慎的共鸣与回应的协助下，饱满地完成这一方面的感觉积累，拥有自己完整的建构曲线——不管是道德感，还是数学感——但是如果旁边有个吵人的钟声总是不断地在干扰孩子，那孩子真正内在的建构活动就会受到抑制。
前几天去春之谷，听到老师讲怎么教给孩子数字“真正的本质”：1代表整体，2代表天地，3代表天、地、海洋。。。当时我就觉得太受打击了；但是去日日新呢，又要放弃华德福那么诱人的教学体系而且还要每天读《大学》和《中庸》。。。要做出一个合适的选择真是太考验人的承受能力了。。。
另外再记一下泡（目前我感觉到的）数学水平：泡对数字的理解，非常清晰的好像暂时只到7或者8，对加法的感觉胜于减法，给10元买6元的东西该找多少搞不太清，不过给10元买8元的东西泡知道应该找2元。。。另外泡最近超级喜欢玩卖东西的游戏，加上泡从春节前开始每天赚“5元加小费不定”的工资，所以目前有一个热点是钱的换算找零，泡对各个币种从1毛到100间的换算都基本明白了，经常会用各种形式跟我们换钱。不过，如果她需要数出25元钱来还给我，还是数不清楚，泡知道5元加5元是10元，两个10元是20，但是当给我数25元的时候，她就把这些忘了，会先数两个1元的“一，二”，然后再拿一个5元的自己空数“三，四，五，六。。七”，然后再拿个5元的继续空数“八，九，十，十一。。。十二。。十三。。”结果就数乱了。。。不过最后的结果误差也就2、3元，所以我觉得还是挺不错的。。
泡的老师向我推荐大富翁的游戏，说，到这个年龄的孩子都会对钱和交易感兴趣，因此开始疯狂地迷恋大富翁。。看来这也是孙园孩子的一个传统了。。。我打算去找找。。。另外昨天拿到泡去年下半年的工作观察记录，看到泡除了原来熟悉的二倍体之外，开始比较多地操作二项式、三项式、纺锤棒箱。。。我问泡纺锤棒箱是什么，泡说不知道。。。如果泡和兜入华德福，那我就要开始补教具的课了。。。
另外，我看到上次有妈妈问我蒙氏教具的问题，今天想起来这个帖子，可以看一下，关于数学教具的
http://bbs.liyueer.com/viewthread.php?tid=46435&page=1&authorid=4366
本帖最后由 汐岩 于 2014-11-23 10:59 编辑
大富翁那个，后来也找过，感觉太难了，泡在水学苑跟同学玩过，没有太大兴趣，所以至今也还没买。
“华德福诱人的学科体系”，也体验过了{:18:}
本帖最后由 汐岩 于 2014-11-22 18:41 编辑
再说除以3的问题，非常感谢学父把这个问题提出来，让我又发现了惊喜。
泡泡之前算的是12/4，但是我文章里写错了，写成12/3。学父很好奇泡泡怎么解决这种问题。之前我还给泡泡出过两道题，发现跟200/5那种题比较起来，乘法表内的除法她反而会算得更慢些。
周三，兜兜上幼儿园了，只有我和泡享受二人世界，泡让我给她出题算，我就出了12/3。当时我自己认为，这个题目可能看不出泡泡的思维模式，因为对她有些简单了，她可能一下就想出来了。果然，泡泡拿到题目后，就画了12条线，然后数，过了1、2分钟，告诉我是4对吗？我说对的。
然后我又出了一题：27/3。泡泡拿到题目之后，又画了27条线，我心想，这次你就数一阵吧{:24:}。泡数了一遍，问我：“妈妈，你给我出的题目里面有点吗？”她是说小数点，我说没有，泡说：“你先不要给我出带点的，那样太复杂了，我还算不了。”我同意。于是泡继续数了：“一二三四五，一二三四五。。。。”过了一两分钟，泡泡问我：是9对吗？这次我觉得很意外，因为把27条线分成3份还是没有那么容易分开的，我问她怎么算的，泡说：
“我用8数，数完刚好剩下3条线，所以答案就是9了。”
我说，你怎么知道要用8来数呢？
“我先试了5，发现太小了，然后。。。又试了7，发现还是太小，又试了8，用8 数完之后，刚好就剩3条线了，所以我就知道答案是9。”
我又问：你怎么知道那些数都太小了呢？
泡说：“因为要刚好分成3组才行，如果组数比3大，就说明这个数太小了，要换成更大的数。如果数完发现分成的组数比3还小，就说明这个数太大了，要换成小点的数再数。”
我觉得这个思路很高级，原来泡泡并不是机械地数，她是一边数一边不断推理确定答案的范围的，所以试了三次就得到答案了。
听完泡泡的阐述，我立刻做出一个决定，收藏泡泡的草稿纸{:24:}
我又回头看了12/3，问她也是这么算的吗？她说也是的，而且那个她试了很多次，很费事。我问她的思路顺序，但是她已经不记得了，我们分辨了半天上面的记号，还是没法确定到底都依次试了哪些商。于是，这问题就不幸成了一个迷了{:30:}
本帖最后由 汐岩 于 2014-11-23 11:19 编辑
我们又继续算了几道题，她对数字的感觉好像更加准确了，因此速度也更快
35/5
试8,6，推出答案为7
32/4
试9,7，推出答案为8
18/3
试5，推出答案为6
后来我又给她出了一个大数的：56/8
泡泡拿到了就开始画线，“1,2.。。不行，这个不能画线，太多了。。。只能用脑筋想了。。。。。。嗯。。。不行，想不出来，画线试一下吧。。。12345678。。。”过了3分钟，泡得到答案，是7。我问她怎么算的，她说先用9，再用7，但是9数错了一次，7也数错了一次，我说你怎么能够知道数错了呢？她跟我解释了半天，我还是没听懂，大体就说因为她非常想得到这个答案，但是9不对，8也不对，不会那么巧的，那就是7，可是7数完了还多出2个，然后她就觉得，不对啊，7应该很像了啊，所以又数了一遍，发现答案确实就是7。
我听得发晕，为什么能知道不对呢，为什么觉得很像了呢？于是我自己画线做了一次，还是没能体会到他说的应该很像了的感觉，而且我发现这个方法很考验脑筋，要看分出来有几组，这个组数是多了还是少了，而且还可能数错了，像泡泡数错了两次的话，就是做了4次分组，有4组分割线，这4组分割线把我彻底搞晕菜了，所以我只画了正确的7和9两组线，还要用不同颜色的笔来区分一下才能看明白
但是泡泡这个乱糟糟一堆，4组分割线完全分不清楚哪个哪个了，我觉得她能从这么乱一堆里面得出正确答案真是太奇怪了。
还有这个，当时算完了我想把这些纸整理起来，刚拿起来，泡泡发现这个答案的位置还空着，说：这个我做了吗？然后就用笔在立着的纸上画线分组，肯定画不出清楚的线了，只是象征性有点痕迹，我觉得她是在做无用功，可是发现她的思路是清晰的，先试了6，发现太小了，又试了8，于是得到答案9，就把纸放在桌上把9写在上面。她在上面画了6组分割线，然后还能分辨出第六次画的是哪一组，啊，我简直觉得小孩有特异功能了{:8:}。我问她怎么能分辨出哪一组是刚刚画的线呢？她说她每次的轻重都不一样，所以能看出来，可是我看着她画的线感觉都是一样的虚弱，我怎么分辨不出来呢，真是神奇，或许她们对图像的敏感度是我们很难体会到的吧。
本帖最后由 学父五迁 于 2014-11-22 21:16 编辑
我有一个想法。提供如下教具。
几张卡片，用作隔板。
棋子、或立方格，充当基本单位"1"。（或以后的"10", "100"等）
27 / 9
纸上画法，同泡泡的方法差不多。
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, / 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, / 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1
泡妈觉得这种教具利弊如何？
还有一个想法，是根据插板的位置折行。
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1
口口口口口口口口口
口口口口口口口口口
口口口口口口口口口
这样，更能体现除法和乘法之间的关系。
这算不算过度启发？
本帖最后由 汐岩 于 2014-11-23 11:11 编辑
汐岩 发表于 2014-11-22 20:02 static/image/common/back.gif
后来我又给她出了一个大数的：56/8
泡泡拿到了就开始画线，“1,2.。。不行，这个不能画线，太多了。。。 ...
学父五迁 看来，泡泡还不知道 56 / 8 = 56 / 2 / 2 /2 。可以从 28 / 4 和 56 / 4 开始试一下。
之前给泡泡出过一道36/4，泡泡是这样算：
把36分成30+ 6
先把36 “劈成两半” ：30/2=15, 6/2=3, 所以15+3 是18，
然后再把18 ”劈成两半”：10/2=5, 8/2=4, 所以5+4=9.
当时是要睡觉了，已经在床上了，她没有纸笔，凭脑袋想，错了好几次，才算对。所以我感觉她是会这些方法的，只是没有画线顺手，她还需要积累一些对数的感觉，然后再用这些会更加顺畅。
还出过一个120/5，
类似，把120分成100+20
先把100/5，等于20,
再把 20/5，等于4
所以20+4=24
也是没有纸笔，算错了几次，第一次得到的是122.5，我说不对，她说，可是需要把5分开呀。。。后来又得到6，我说我知道你为什么会得到6，但是不对{:1:}，后来她又仔细想了想，说，“哦，我明白了，我知道错在哪儿了。。。”然后得到24。
对100，她是按10为单位来算，对20，就要降到1为单位来算，这个转换她还不熟练，感觉100以上的还是会吃力些。
周五我们也算了题，同样有惊喜，其中也包括上面说的这个单位转换的问题，下回详解{:11:}
本帖最后由 汐岩 于 2014-11-23 22:58 编辑
学父五迁 发表于 2014-11-22 21:02 static/image/common/back.gif
我有一个想法。提供如下教具。
几张卡片，用作隔板。
棋子、或立方格，充当基本单位"1"。（或以后的"10", ...
以前我也想过一些如何引入数学的方案，包括，比如，不提供任何工具，让两个组的孩子去把一块矩形菜地平均分成两半，每组一块，以此来引入测量单位、测量方法，面积，乘法等等，然后做单位方块模具，用单位方块去排各种矩形，来引入乘法，那时候觉得一个学期能够把这些透彻搞明白就很好了。。。但是后来对泡泡的观察，我的感受是：成人和孩子的思维差别太大了，成人觉得做不到的事情孩子却很容易，成人觉得容易的孩子可能觉得很难，包括泡泡数线的方向，我在56/8那张纸上右上角标了一个“起点”，因为我当时想看看泡泡试商的顺序，问她从哪边开始数的，泡泡说是从右边数到左边，然后下来再从左边数到右边{:24:}。。所以对于方案，我现在会觉得没有思路了，觉得成人的思维系统跟孩子的一比往往显得笨重刻板，其实她们理解这些概念是没有任何障碍的，需要的只是按照她们的思路去不断突破思维模式界限，然后解决越来越广泛普遍的问题，也就是只需要去按顺序给出题目或者问题，让她们去思考解决办法，在这种计算中加深理解。不过，这个顺序应该怎么给，我觉得其实越来越没有信心了，因为确实觉得孩子的思维跟我们差别好大。如果我教她，会让她把线画得更清晰规整些或者用圆球代替线，以免和分组线混淆，但是我发现她这样乱糟糟弄一堆，同样可以思路清晰地计算，而且到了第二天，我才知道她用线表示1，用圆球表示10。我就觉得没有建议她把线改成球是很对的，我发现其实她的数学感觉比我好很多，解决问题也从不局限任何固定模式，我现在真的觉得我没有资格教她了{:18:}，给她出题都觉得有些不确定里面有多少固定模式在影响这个方向{:2:}。
学父五迁 发表于 2014-11-22 21:02 static/image/common/back.gif
我有一个想法。提供如下教具。
几张卡片，用作隔板。
棋子、或立方格，充当基本单位"1"。（或以后的"10", ...
还有一个想法，是根据插板的位置折行。
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1
口口口口口口口口口
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这样，更能体现除法和乘法之间的关系。
这算不算过度启发？
第二种方法，有点像蒙氏教具的除法板，就是拿27个小球，然后分成三组，就是一行放3个，直到放完，然后数数有多少列。我以前也认为泡泡肯定是那样算除法的，但现在发现泡泡是这样算的，我还想，是不是在纸上不好那样操作，但是，用这样的方法，对她的思维推理能力要求更高，因此也会觉得更有意思，她觉得除法比乘法有意思得多。而且，这样试商其实还包含了公约数的概念，也就是有的数，试的那个商不一定是正确答案，但是同样可以刚好分完，还有试一次商，可以数数剩下的或者不足的线数，有的就直接能得到答案了，有的还得不到，我感觉这个方法里面包含的信息远远超过了蒙氏除法板的那个方法。但是如果成人给孩子引入，肯定会选择那个，因为觉得那个更直观更容易理解，这个难度很大，但是，孩子更习惯的其实反而是这个。
本帖最后由 汐岩 于 2014-11-23 23:01 编辑
泡泡对这种做除法的方法是这样阐述的：
"就是要多试几次，有时候试完了发现答案就在眼前了，有时候试完了还不行，你就要看看多了还是少了，多了就要换个小点的，如果少了就要换大的数，也有时候只要看看剩下的是几个只要再加一下就可以了。"
我用这个方法试了，觉得还是挺晕的，因为经常把试的商和组数弄混，我觉得这也是这个方法的一个弊端把，泡泡做36/6，做完了以后说，“妈妈我不喜欢这种题目，答案和组数一样的”，估计就是太晕了。但是到现在算了15道题，都是一次就算对了，感觉她用起来还挺顺手的。等到发现这个方法不能用的情况，她肯定又会想出别的方法，我现在对这点比较确定。
所以我暂时对教材是没有思路了，打算先观察下她的轨迹再说{:1:}。
汐岩 发表于 2014-11-22 22:16 static/image/common/back.gif
第二种方法，有点像蒙氏教具的除法板，就是拿27个小球，然后分成三组，就是一行放3个，直到放完，然后数 ...
每次去除3个的思路，实际上是连减法。
我之前也是这么设计模型操作的。
看到泡泡的思路之后，我就放弃了“连减法”的思路，而是换成了隔板法。
我的意思是，画线分组完成之后，即，除法完成之后，已经出结果了。
再进行折行，对齐每一行。
另外，泡妈说的划线试商法（我称之为隔板法），能够试出其他"因数"，非常有意义。
这个方法值得深入探究。
注：数学课本中，约数确实有"公"约数的意思，一般指两个或两个以上的数的相同因数。这个名词可能是来自于分子和分母之间的约分操作。
这种名词，真的是没啥意思。若不是想到孩子可能要参加考试，因数，约数都可以随便用的。
汐岩： 记得以前孙园一个孩子，是泡泡的好朋友，她是通过看钟表来做加减法的，问她3+4等于几，她就马上去看墙上挂的表，然后就知道是7.孩子们的脑袋，一个个都是外星球思路：D 发表于 2 分钟前
哈哈。
这个钟表模型好。
涉及了很多有用概念。
圆。
直角。
十二进制。
六十进制。
圆排列。
复数乘法。
我一直在设想，如何设计一个圆排列的故事和相应操作模型。
四个小朋友，围着圆桌，排排坐。
相对位置的排法有几种。
想以此巩固乘法原理思想，暗示排列组合，暗示圆周角，暗示复数乘法，等等。
这贴子泡妈的观察日记很好看，谢谢泡妈的分享。
小宇妈妈 发表于 2014-11-25 17:13
这贴子泡妈的观察日记很好看，谢谢泡妈的分享。
以后这帖子里就全都是观察日记了，希望保持住宁静和纯洁:)
所以，我们最终学会了多少东西，并不取决了老师教了多少，而是取决于我们实际用了多少。为什么到初中阶段的知识我们就用得很少了呢？因为我们的时间都被用来学习了，根本没有机会去做真实的事情，去独自探索世界，所以也根本没有机会去用到初中的知识。所以，我希望把时间留给孩子，因为她们自己探索、自己尝试、自己做的真实的事情越多，最终学到的东西才会越多。
赞！{:e163:}
关于教育的选择。。。
我真的觉得都是缘分
就像娃跟父母的缘分一样。。。
投胎。。。。投谁家呢。。。。
所以，没有正好的教育，只有缘分的父母{:17:}
来泡妈贴中学习！
虽然观点和泡妈不同，但对泡妈的科学记录精神和执行力非常敬佩，献花{:e163:}
有意思的帖子。{:e163:}