数学无代价应试

学父五迁

一些关于数学教育的浅见，和大家分享。

伏地的小草儿

好专业!
看不懂…………

学父五迁

09.05 直接应用求导（求微商）的链式法则刻画面积函数

张景中院士和林群院士在微积分初等化方面做了大量的有益工作。
其中，张景中甚至在中学领域中也做了大量的工作。
z+z智能教育平台（《超级画板》和《立体几何》）就是张景中主持开发的。
（z+z 是智能加知识的意思，但我总以为是“张景中”的首字母缩写 zjz。:）

张景中写过一本《直来直去的微积分》。
直接应用了微商链式法则直接刻画该面积函数的对数性质。

到了高中，学写了微积分知识之后，这个面积函数的对数性质，就会变得十分简单。

假设面积函数 y = f(x)

那么，

dy/dx = 1/x

再假设一个复合函数。

y = f(u)
u = ax


y = f(ax)

注：f(ax)是一个不同于f(x)的函数，可以理解为一个新函数 y = g(x) = f(ax)


dy/dx = (dy/du) × (du/dx)

(dy/du) = 1/u = 1/ax

(du/dx) = a

那么，

dy/dx = (1/ax) × a = 1/x

这就是说，f(ax) 和 f(x) 两个函数在同一个x值上的微商是相同的。
从几何意义上，就是说，两个函数在同一个x值上的对应点上的切线斜率是相同的。
这两个函数的切线（x相同的时候），是处处平行的。
而且，两条平行切线之间的距离总是相等。
两个对应切点之间的距离（即两个切点的y值的差，y1 - y2），也总是相等，等于一个常数 C。
这就是说，两个函数之间是平移的关系（沿着垂直方向，即y轴的方向，上下平移）。

这意味着，f(ax) - f(x) = C
C 是一个常数。

那么，这个 C 是多少呢？

令 x = 1

f(a) - f(1) = C

其中，f(1) = 0

那么，C = f(a)

于是，f(ax) - f(x) = f(a)

f(ax) = f(x) + f(a)

x和a可以取任意正实数。

这就刻画出了该面积函数的对数性质。

学父五迁

09.04 等距离点算法的另一个分割点 x = 8 的练习

上面的例子，我们采用了 x = 4 这一点作为分割点。

[1, 32]区间的面积 = [1, 4]区间的面积 + [1, 8]区间的面积

我们还可以采用 x = 8 作为分割点。

[1, 32]区间的面积 = [1, 8]区间的面积 + [8, 32]区间的面积

只需要证明

[8, 32]区间的面积 = [1, 4]区间的面积

计算[1, 4]之间的面积。

[1, 4]之间平均分成n份儿。
x轴上相邻点之间的每份距离就是 (4 - 1)/n
这就是每一个小矩形的底边长。

x轴上的位置点直接构成等差数列。
1, 1 + (4 - 1)/n, 1 + 2 × (4 - 1)/n ......

对应的y值就是x值的倒数 1/x。

第一个小细条矩形的面积如下。

细条矩形的高等于第二个位置点的x值的倒数。

     1
------------
1 + (4 - 1)/n

那么，第一个小细条矩形的面积就是 底 × 高

(4 - 1)/n
------------
1 + (4 - 1)/n


第二个小细条矩形的面积是

(4 - 1)/n
--------------------
1 + 2 × (4 - 1)/n


.....

n个小细条矩形加起来，就是[1, 4]区间的面积。


再计算[8, 32]区间的面积。
需要注意的是，[8, 32]的起点是8，不是1。

[8, 32]之间平均分成n份儿。
x轴上相邻点之间的每份距离就是 (32 - 8)/n
这就是每一个小矩形的底边长。

和[1, 4]区间的细条矩形比较。
可以发现，[8, 32]区间的矩形底边长，是[1, 4]区间细条矩形底边长的 8 倍。

相邻点直接构成等差数列。
8, 8 + (32 - 8)/n, 8 + 2 × (32 - 8)/n

第一个小细条矩形。

高是1/x


    1
---------------
8 + (32 - 8)/n

这时候，就可以发现一个有趣的规律。
和[1, 4]区间的第一个小细条矩形进行比较。
比较两个矩形的高。
可以发现，[8, 32]区间第一个细条矩形的高，是[1, 4]区间第一个细条矩形的高的 1/8。
前面已经知道，[8, 32]区间的矩形底边长，是[1, 4]区间细条矩形底边长的 8 倍。
抵消之后，两个对应矩形的面积正好相等。

验证一下。
面积是

(32 - 8)/n
----------------
8 + (32 - 8)/n

分子分母同时除以4。

(4 - 1)/n
----------------
1 + (4 - 1)/n

恰好等于[1, 4]区间的第一个小细条矩形面积。
下面继续验证第二个小细条矩形。

同样，第二个小细条矩形也符合上述规律，面积是

(32 - 8)/n
---------------------
8 + 2 × (32 - 8)/n

分子分母同时除以8。

(4 - 1)/n
--------------------
1 + 2 × (4 - 1)/n

等于[1, 4]区间的第二个小细条矩形面积。

.....

n个小细条矩形加起来，就是[8, 32]区间的面积。

[1, 4]区间和[8, 32]之间的一一对应的小矩形，有这样的关系。

[8, 32]区间小矩形的底边长，是[1, 4]区间小矩形的底边长的 8倍。
[8, 32]区间小矩形的高，是[1, 4]区间小矩形的底边长的1/8。

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09.03 等距离点之间的细长矩形面积

一些微积分教材使用等距离的位置点来定量刻画这个面积函数。
这种思路的计算复杂繁琐一些，不过，并不算特别复杂，比中学课本中常见的二次方程式展开简单多了。
也可以作为练习内容。

我们采用如下的算法来计算[1, 4]之间的面积。

[1, 4]之间平均分成n份儿。
先别管 n 是多少。反正n足够大就行。
x轴上相邻点之间的每份距离就是 (4 - 1)/n
这就是每一个小矩形的底边长。

x轴上的位置点直接构成等差数列。
1, 1 + (4 - 1)/n, 1 + 2 × (4 - 1)/n ......

对应的y值就是x值的倒数 1/x。

第一个小细条矩形的面积如下。

细条矩形的高等于第二个位置点的x值的倒数。

     1
------------
1 + (4 - 1)/n

那么，第一个小细条矩形的面积就是 底 × 高

(4 - 1)/n
------------
1 + (4 - 1)/n


第二个小细条矩形的面积是

(4 - 1)/n
--------------------
1 + 2 × (4 - 1)/n


.....

n个小细条矩形加起来，就是[1, 4]区间的面积。

下面，就根据这个算法，推导出该面积函数的对数性质。

如果该面积函数符合对数性质，那么，就应该符合如下对数性质。

[1, x1 · x2 ]区间的面积 = [1, x1]区间的面积 + [1, x2]区间的面积

比如 32 = 4 × 8

应该有如下的对数关系成立。

[1, 32]区间的面积 = [1, 4]区间的面积 + [1, 8]区间的面积

如何证明上述的关系成立呢？

由于

[1, 32]区间的面积 = [1, 4]区间的面积 + [4, 32]区间的面积

只需要证明

[4, 32]区间的面积 = [1, 8]区间的面积

上述的对数关系就成立了。

那么，只需要运用上述算法，计算 [4, 32]区间的面积 和 [1, 8]区间的面积。

先计算[1, 8]区间的面积。
[1, 8]之间平均分成n份儿。
x轴上相邻点之间的每份距离就是 (8 - 1)/n
这就是每一个小矩形的底边长。

相邻点直接构成等差数列。

1, 1 + (8 - 1)/n, 1 + 2 × (8 - 1)/n

第一个小细条矩形。
矩形高是 1/x

  1
------------
1 + (8 - 1)/n


面积是

(8 - 1)/n
--------------
1 + (8 - 1)/n


第二个小细条矩形的面积是

(8 - 1)/n
--------------------
1 + 2 × (8 - 1)/n


.....

n个小细条矩形加起来，就是[1, 8]区间的面积。

再计算[4, 32]区间的面积。
需要注意的是，[4, 32]的起点是4，不是1。

[4, 32]之间平均分成n份儿。
x轴上相邻点之间的每份距离就是 (32 - 4)/n
这就是每一个小矩形的底边长。

和[1, 8]区间的细条矩形比较。
可以发现，[4, 32]区间的矩形底边长，是[1, 8]区间细条矩形底边长的 4 倍。

相邻点直接构成等差数列。
4, 4 + (32 - 4)/n, 4 + 2 × (32 - 4)/n

第一个小细条矩形。

高是1/x


    1
---------------
4 + (32 - 4)/n

这时候，就可以发现一个有趣的规律。
和[1, 8]区间的第一个小细条矩形进行比较。
比较两个矩形的高。
可以发现，[4, 32]区间第一个细条矩形的高，是[1, 8]区间第一个细条矩形的高的 1/4。
前面已经知道，[4, 32]区间的矩形底边长，是[1, 8]区间细条矩形底边长的 4 倍。
抵消之后，两个对应矩形的面积正好相等。

验证一下。
面积是

(32 - 4)/n
----------------
4 + (32 - 4)/n

分子分母同时除以4。

(8 - 1)/n
----------------
1 + (8 - 1)/n

恰好等于[1, 8]区间的第一个小细条矩形面积。
下面继续验证第二个小细条矩形。

同样，第二个小细条矩形也符合上述规律，面积是

(32 - 4)/n
---------------------
4 + 2 × (32 - 4)/n

分子分母同时除以4。

(8 - 1)/n
--------------------
1 + 2 × (8 - 1)/n

等于[1, 8]区间的第二个小细条矩形面积。

.....

n个小细条矩形加起来，就是[4, 32]区间的面积。

[1, 8]区间和[8, 32]之间的一一对应的小矩形，有这样的关系。

[4, 32]区间小矩形的底边长，是[1, 8]区间小矩形的底边长的 4倍。
[4, 32]区间小矩形的高，是[1, 8]区间小矩形的底边长的1/4。

因此，两个区间内的对应小矩形，面积都是相等的，从而两个区间的面积相等。

上述的过程中，把 4 换成 x1，把 8 换成 x2，这个规律同样成立。

[1, x1 · x2 ]区间的面积 = [1, x1]区间的面积 + [1, x2]区间的面积

数学大师龚升写了一本优秀的微积分教材《简明微积分》。
其中就用这种等距离算法刻画该面积函数的对数性质。

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09.02 指数距离之间的细长矩形面积

以上的矩形面积分块方式，太过简单粗暴。
矩形底边长以指数形式增长。
最后一块的矩形底边，竟然是前面所有矩形底边的和。
因此，上述游戏只是定性刻画，远非定量刻画。

下面，我们把这个问题泛化细化。
求1/x曲线在[1, x]区间的面积函数。

设 q 是 x 的 n 次方根， q = x^(1/n)

请注意，这个时候的q，不再等于底数b。

在x轴的[1, x]区间上取点。
n + 1个点。将区间分成n份儿。

1, q, q^2, q^3 ........ q^n

n很大的情况，q接近于1，被分成n个细长条的小矩形。

第一块细长条矩形。
底是 q - 1。
高是 1/q。
面积是 (1 - 1/q)。

第二块细长条矩形。
底是 q^2 - q。
高是 1/q^2。
面积是 (1 - 1/q)。

可以推知，之后的细长条矩形面积都是相同，都是 1 - 1/q。
这些位置点之间的面积，同样符合上述的对数规律。

设 x 轴上有三个位置点 a, b, c。
如果有 c = ab, 那么，就有  

区间[1, c]的面积 = 区间[1, a]的面积 + 区间[1, b]的面积

这正是《e的故事：一个常数的传奇》（[以]Eli Maor）一书中阐述的思路。

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《数学无代价应试》

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09 倒数函数面积对数性质的定性定量刻画

09.01 中学阶段的倒数函数的面积

前面讲了反比例函数（32/x 等）和x轴[1, x]之间的曲边梯形面积的对数性质。
前面的模型演示，是整数点和整数面积的演示。

到了中学，学习了倒数形式的反比例函数(1/x)之后，学生就可以按照如下的方式构造矩形。
在x轴上选取1、2、4、8、16、32等按照指数规律分布的位置点。
求出1/x函数曲线上的对应点。

(1, 1)
(2, 1/2)
(4, 1/4)
(8, 1/8)
(16, 1/16)
(32, 1/32)

按照上述的方法，构造相邻两点间的矩形面积。

[1, 2]之间的矩形面积。
底 = （2 - 1）= 1
高 =  1/2

矩形面积 = 2 × 1/4 = 1/2

[2, 4]之间的矩形面积。
底 = （4 - 2）= 2
高 =  1/4

矩形面积 = 2 × 1/4 = 1/2

[4, 8]、[8、16]、[16, 32]等区间之间的矩形面积也是 1/2。

相邻两个位置点都是2的幂，其指数相差1，因此，两点间夹的面积就是1倍的 1/2。

[4, 16]两个位置点之间，夹的面积，就是 2 倍的 1/2。

因为4是2的2次方，指数是2，16是2的4次方，指数是4。
指数相差 (4 - 2) = 2
因此，所夹面积就是2倍的 1/2。

假设a、b、c是x轴上的三个位置点。
如果有 c = ab，那么， [1, c]之间的面积 = [1, a]之间的面积 + [1, b]之间的面积。

这个规律同前面的整数矩形模型完全一样，都符合对数性质。

很容易验证，这些位置点之间的面积，符合对数关系。

[1, ab]区间的面积 = [1, a]区间的面积 + [1, b]区间的面积

因为，如下关系成立。

[1, ab]区间的面积 = [1, a]区间的面积 + [a, ab]区间的面积

[1, ab]区间的面积 = [1, b]区间的面积 + [b, ab]区间的面积

[1, a]区间的面积 = [a, ab]区间的面积

[1, b]区间的面积 = [b, ab]区间的面积

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08.02 产出和消耗问题（“牛吃草”问题）

还有一类问题，涉及到生产和消耗，非常复杂。
这种问题是从牛顿问题（牛吃草，草在长）变换而来的。

有一种方格生产设备，本身有一定的方格储备。
启动之后，每分钟生产可以产生一定数量的方格。

假设，在某种极端情况下，每个人每分钟消耗一格。

根据预算，这个方格生产设备启动之后，可以满足两种消耗方案。

第一种方案，这个方格生产设备启动之后，可以满足8个人10分钟的消耗需求。

第二种方案，这个方格生产设备启动之后，可以满足9个人8分钟的消耗需求。

请问，这个方格生产设备原本的方格有多少个？每分钟能产生多少个方格？


第一种方案中，方格生产设备提供的方格数量包括原本储量和10分钟的产量，
等于8个人10分钟的能耗，也就是80个。

第二种方案中，方格生产设备提供的方格包括原本储量和8分钟的产量，
等于9个人8分钟的能耗，也就是72个。

假设，方格生产设备每分钟的产量是一行。

口......

10分钟的产量就是10行。

口......
口......
口......
口......
口......
口......
口......
口......
口......
口......

8分钟的产量就是8行。

口......
口......
口......
口......
口......
口......
口......
口......

10分钟的产量，比8分钟的产量，多了2行。

口......
口......

第一种方案比第二种方案，方格生产设备多提供了8个方格。
第一种方案比第二种方案，方格生产设备多运行了2分钟，就多提供了2行方格。
8个能量方格分为2行。根据倍数表，可以知道，每行4个。

口口口口
口口口口

一行4个就是方格生产设备的每分钟的产量。
那么，8分钟的产量就是32个。

第二种方案中，共消耗了72格。

那么，原有的储备就是 40格。

这道题目完成之后，新的要求又来了。

请问，这个方格生产设备给6个人用，可以用多少分钟？

解法如下。

6个人一分钟能耗为6格。

口口口口口口


方格生产设备提供方格           6个人消耗方格

口口口口                     口口口口口口
....                          .....

------------------------------------------
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口


每一行减去四个。
方格生产设备提供方格      6个人每分钟多消耗的方格
   
                           口口
                           ....

------------------------------------------
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口


剩下的聚能和耗能这两部分，应该相等。

40格要摆成2个一行，共摆成20行。

6个人可以使用20分钟。

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07 复杂追及问题的矩形数量模型演示

07.01 复杂的追及问题

有些追及问题，非常复杂，但是，万变不离其宗，都可以用矩形模型演示。

接下来的问题更加复杂。

甲每分钟生产2格，
乙每分钟生产5格，
甲生产了2分钟后，乙也开始生产。
请问，再过几分钟，乙的产量是甲的2倍？

为了表示甲的产量的2倍，
假设在旁边还有一个虚构的甲，
从开始就一直和真实的甲同时在生产。

甲生产了2分钟。

虚甲      真甲

口口      口口
口口      口口

接下来，乙也开始生产。

虚甲      真甲        乙

口口      口口
口口      口口
--------------------------- 2分钟之后
口口      口口     口口口口口
...       ...      ..........

2分钟之后的那部分，
乙的每一行都比甲（两个甲）的每一行都多1个（乙每分钟比两个甲多生产1个），

甲（两个甲）和乙的每一行都各自去掉4个。

虚甲      真甲        乙

口口      口口
口口      口口
--------------------------- 2分钟之后
                       口
                       ....

乙剩下的每一行，表达了这样的含义：
乙每分钟比两个甲多生产1个。

乙剩下的部分，应该和两个甲剩下的部分相等。
两个甲剩下的部分是8个。

8个摆成1个一行，就摆成8行。
答案就是8分钟。

还有一类问题，信息比较隐蔽。

甲每分钟生产3格，
乙每分钟生产5格，
甲比乙多工作了2分钟，结果，还是比乙少了10个。
请问，甲和乙各工作了多少分钟？

这个问题变换一下。

甲工作2分钟，生产了6个。
如果没有这2分钟，甲就少了这 6个。
除此之外，甲比乙还少10个。
那么，在这段同样的时间里，甲比乙就少了 16 个。

问题就变成如下。

甲每分钟生产3格，
乙每分钟生产5格，
工作几分钟之后，乙比甲多生产16个？

甲          乙

口口口     口口口口口
...         ....

甲和乙的每一行，都去掉3个。

甲          乙

           口口
           ....

乙剩下的这部分，就是16个。
16个分成2个1行，就是8行。
乙工作的时间，就是8分钟。
甲工作的时间，就是10分钟。

还有一类问题，两者每分钟的产量是相同的。
这种问题是从年龄追及问题中变换而来的。

甲和乙每分钟都生产1格，
甲生产了12分钟后，乙也开始生产。
请问，再过几分钟，甲的产量是乙的4倍？
请问，再过几分钟，甲的产量是乙的3倍？
请问，再过几分钟，甲的产量是乙的2倍？



甲       乙

口
口
口
口
口
口
口
口
口
口
口
口

----------------  12 分钟之后

口        口
..        ..

如果甲的产量是乙的4倍，就意味着 12 分钟以前的12个，是乙的3倍。
12个分成3行。
从倍数表中可以查到，另一个维度是4。
每行就是4个。

也可以把12个摆成3个一行。

口口口
口口口
口口口
口口口

一共摆了4行，每行3个，转置一下，就变成了3行，每行4个。

口口口口
口口口口
口口口口

乙的产量是4。
这是4分钟的产量。

如果甲的产量是乙的3倍，就意味着 12 分钟以前的12个，是乙的2倍。
12个分成2行。
从倍数表中可以查到，另一个维度是6。
每行就是6个。

也可以把12个摆成2个一行。

口口
口口
口口
口口
口口
口口

一共摆了6行，每行2个，转置一下，就变成了2行，每行6个。

口口口口口口
口口口口口口

乙的产量是6个。
这是6分钟的产量。

如果甲的产量是乙的2倍，就意味着 12 分钟以前的12个，是乙的1倍。
乙的产量是12，这是12分钟的产量。

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07 复杂倍和、倍差问题的矩形数量模型演示

有些倍差、倍和问题，非常复杂，但是，万变不离其宗，都可以用矩形模型演示。

接下来的格数问题越发复杂。

乙的格数是甲的4倍还多3个，甲乙的总格数是33个。
请问，甲乙的格数各是多少。

假设甲的格数是1行。

口......

那么，乙的格数就是4行，另外还多出3个。

口......
口......
口......
口......

口口口

甲乙的总格数就是5行加3个。

口......
口......
口......
口......
口......

口口口

那么，33减去3，就是30。
30分成5行。

先把30摆成5个一行。

口口口口口
口口口口口
口口口口口
口口口口口
口口口口口
口口口口口

一共摆出6行，每行5个。
转置一下，就变成了5行，每行6个。

口口口口口口
口口口口口口
口口口口口口
口口口口口口
口口口口口口

乙的格数就是一行的6个，甲的格数就是四行的24个再加3个，也就是27个。

接下来的格数问题越发复杂。

乙的格数是甲的5倍少3个，甲乙的总格数是21个。
请问，甲乙的格数各是多少。

引入了一个虚拟的丙。
假设丙的格数是甲的5倍。
那么，丙的格数就比乙多3个。
甲丙的格数就比甲乙格数多3个，也就是21多3个，也就是24个。

假设甲的格数是1行。

口......

那么，丙的格数就是5行。

口......
口......
口......
口......
口......

丙和乙的总格数就是6行。

口......
口......
口......
口......
口......
口......

24个分成6行。
先把24个摆成6个一行。

口口口口口口
口口口口口口
口口口口口口
口口口口口口

一共摆成4行，每行6个。
转置一下，就变成了6行，每行4个。

口口口口
口口口口
口口口口
口口口口
口口口口
口口口口

乙的格数就是一行的4个，丙的格数就是5行的20个，
甲的格数就是丙的格数的20个减去3个，也就是17个。

接下来的格数问题越发复杂。

乙的格数是甲的6倍少7个，甲比乙的格数多18个。
请问，甲乙的格数各是多少。

引入了一个虚拟的丙。
假设丙的格数是甲的6倍。
那么，丙的格数就比乙多7个。
那么，丙的格数就比甲多出 18 + 7 = 25个。

假设甲的格数是1行。

口......

那么，丙的格数就是6行。

口......
口......
口......
口......
口......
口......

丙比甲多出5行。

口......
口......
口......
口......
口......

25个分成5行。
摆成5个一行，一共可以摆成5行。

口口口口口
口口口口口
口口口口口
口口口口口
口口口口口

转置一下，还是5行，每行5个。

甲的格数就是1行5个，丙的格数就是6行30个，
乙的格数就是丙的格数减去7个，就是30个减去7个，也就是23个。

接下来的格数问题越发复杂。

乙的格数是甲的2倍。
丙的格数是甲的3倍。
甲乙丙的总格数是18个。
请问，甲乙丙各自的格数。

推演如下。

甲的格数是一行。

口......

乙的格数是两行。

口......
口......

丙的格数就是6行。

口......
口......
口......
口......
口......
口......

甲乙丙加起来就是9行。

口......
口......
口......
口......
口......
口......
口......
口......
口......

18个摆成9行。
摆成9个一行。

口口口口口口口口口
口口口口口口口口口

一共摆成两行，转置一下，就是9行，每行2个。

口口
口口
口口
口口
口口
口口
口口
口口
口口


甲的格数是1行2个，乙的格数是2行4个，丙的格数是6行12个。

接下来的格数问题越发复杂。

乙的格数是甲的2倍多3个。
丙的格数是乙的3倍多4个。
甲乙丙的总格数是52个。
请问，甲乙丙各自的格数。

推演如下。

甲的格数是一行。

口......

乙的格数是两行多3个。

口......
口......

口口口

丙的格数如下。

口......
口......
口......
口......
口......
口......

口口口
口口口
口口口

口口口口

丙的格数是6行多13个。

甲乙丙加起来就是9行多16个。

口......
口......
口......
口......
口......
口......
口......
口......
口......

口口口

口口口
口口口
口口口

口口口口

总数52减去16，等于36。
36个摆成9行。
可以从倍数表中查到，另一个维度是4。
每行4个。

也可以把36摆成9个一行。

口口口口口口口口口
口口口口口口口口口
口口口口口口口口口
口口口口口口口口口

一共摆出4行，转置一下，就成了9行，每行4个。

口口口口
口口口口
口口口口
口口口口
口口口口
口口口口
口口口口
口口口口
口口口口

甲的格数是1行4个，乙的格数是2行4个加3个，也就是11个，
丙的格数是6行24个加13个，也就是37个。

学父五迁

06.03 小小金蛋——因数个数的排列组合

对数量24进行质因数分解，结果如下。

24等于 2的3次方 乘以3。

24 = 2^3 × 3

请根据这个质因数分解式，求出24的所有因数（包括从1和24）的个数。

这个问题，需要用到排列组合中的乘法原理来解决。

解法如下。

24的因数，可以写成这样的形式： 2的a次方 乘以3的 b次方。
a的取值范围是 0, 1, 2, 3, 共有4种情况。
b的取值范围是 0, 1 共有2种情况。
根据乘法原理，共有 4 × 2 = 8 种情况。
于是，24的因数个数就是8。
24的所有因数，也可以分别对a、b取值来得到。

排列组合中的乘法原理，一般要到中学才学到。
因此，这是一个小学埋起来、中学才用到的小金蛋。

有些参加数学竞赛的小学生，提前学习排列组合知识，
那么，在小学阶段就可以用到这个金蛋了。

学父五迁

06.02 因数分解演示反比例函数的系列矩形面积

下面，给出一个特殊的数量32 （2的5次方）。
根据上述过程，通过因数分解，构造反比例函数图像。


口
口
口
口
口
口
口
口
口
口
口
口
口
口
口
口
口口
口口
口口
口口
口口
口口
口口
口口
口口口口
口口口口
口口口口
口口口口
口口口口口口口口
口口口口口口口口
口口口口口口口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口

1 2    4      8               16                              32

我用数字标出了上述的几个位置。
每一对相邻数字之间，都夹着一个矩形。
这些矩形的面积都是相等的，都等于16。

1和2之间，从2的右边一格(即2)开始，到2之间，一共有1列，每列有16格，1列就有16格。
2和4之间，从2的右边一格(即3)开始，到4之间，一共有2列，每列有8格，2列就有16格。
4和8之间，从4的右边一格(即5)开始，到8之间，一共有4列，每列有4格，4列就有16格。
8和16之间，从8的右边一格(即9)开始，到16之间，一共有8列，每列有2格，8列就有16格。
16和32之间，从16的右边一格(即17)开始，到32之间，一共有16列，每列有1格，16列就有16格。

1和4之间，就夹着2倍的16格，即32格。
1和8之间，就夹着3倍的16格，即48格。
1和16之间，就夹着4倍的16格，即64格。
1和32之间，就夹着5倍的16格，即80格。

2和8之间，就夹着2倍的16格，即32格。
2和16之间，就夹着3倍的16格，即48格。
2和32之间，就夹着4倍的16格，即64格。

4和16之间，就夹着2倍的16格，即32格。
4和32之间，就夹着3倍的16格，即48格。

8和32之间，就夹着2倍的16格，即32格。

然后，再注意到，1、2、4、8、16、32分别是2的0、1、2、3、4、5次方。

这些位置点之间的距离，存在着指数关系。
这些位置点之间夹的面积，存在着倍数关系。

两个位置的指数（即对数）相差多少，夹着的面积就是16格的多少倍。

比如，8和32这两个位置。
8是2的3次方。
32是2的5次方。

指数（对数）相减。

5 - 3 = 2

那么，8和32之间就夹着2倍的16格。

还可以进一步推出各个位置点之间的面积关系。

1和4之间的多个矩形面积 = 8到32之间的多个矩形面积

由于 32 = 4 × 8

可以验证如下关系成立。

[1, 32]区间的面积 = [1, 4]区间的面积 + [1, 8]之间的面积

因为如下关系成立。

[1, 32]区间的面积 = [1, 4]区间的面积 + [4, 32]之间的面积

[1, 4]区间的面积 = [8, 32]之间的面积

[1, 8]区间的面积 = [4, 32]之间的面积

这个模型隐藏的含义是什么呢？
如果熟悉对数函数性质的话，就可以看出来这里面的“乘法变加法”的对数关系。

倒数形式的反比例函数 (比如， 1/x,  32/x,  24/x 等) 图像，
和x轴 （1, x]区间段之间夹的系列矩形面积，
设为一个变量为x的面积函数。
这个面积函数的值和变量 x 之间呈对数关系。

在微积分中，1/x 的积分函数是自然对数函数 ln(x)，其定义就是 1/x 函数和x轴[1, x]之间区间的曲边梯形面积。
这是微积分中最重要、最常用的公式之一。
但是，这个公式的来龙去脉，很多普通文科工科的本科微积分课本中，也没有详述。
高中课本就更别提了。
这些常用的微积分公式已经进入了高考范围。

上述的模型，尽管只是一个基于整数位置点的简单模拟，但已经把基本数学原理演示出来了。

这是一个大大的金蛋。
有助于学生将来理解反比例函数、指数、对数、倒数函数的积分自然对数，等等。

这部分的内容牵扯很多，会扯出很多金蛋，后文细说。

学父五迁

《数学无代价应试》

原创作者：学父五迁

06.因数分解引出的金蛋

06.01 因数分解构成的反比例函数图像

质因数分解是一项重要的数学技能，对于理解数量模型的本质，有着重大意义。
但是，在现行的中小学教材中，质因数分解的分量明显不足。

在我看来，与其浪费时间去做哪些纯粹的计算题，还真不如做一些因数分解的游戏。
因数分解本身只是一个小小的金蛋。
但是，这个小小的金蛋，能够引出其他的大金蛋。

我们来看一个初级的例子。
试着对24进行因数分解，把24分解成两个正整数的乘积，列出所有分法，并构造出相应的矩形数量模型。

列举如下

24 × 1

口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口

12 × 2

口口口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口口口

8 × 3

口口口口口口口口
口口口口口口口口
口口口口口口口口

6 × 4

口口口口口口
口口口口口口
口口口口口口
口口口口口口

4 × 6

口口口口
口口口口
口口口口
口口口口

3 × 8

口口口
口口口
口口口
口口口
口口口
口口口
口口口
口口口


2 × 12

口口
口口
口口
口口
口口
口口
口口
口口
口口
口口
口口
口口

1 × 24

口
口
口
口
口
口
口
口
口
口
口
口
口
口
口
口
口
口
口
口
口
口
口
口

上述的矩形数量模型，左下角重合在一起，就构造出如下的反比例函数图像。
xy = 24
（请注意，小学生并不需要理解反比例函数图像的概念，也可以构造这个图像）

口
口
口
口
口
口
口
口
口
口
口
口
口口
口口
口口
口口口
口口口
口口口口
口口口口
口口口口口口
口口口口口口口口
口口口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口口

这仍然只是一个小小的金蛋。
但是，这个小金蛋只需要再前进一步，就可以演示一个至关重要的数学模型——倒数函数的积分形式（对数）。

学父五迁

05.03 各种二项式公式的推导

| -  a -  | - b - |

口.......口回....回  --
..................    c
口.......口回....回  ---
回.......回口....口  ---
..................    d
回.......回口....口  ---


令 g = a + b,  h = c + d。
则 a = g - b, b = g - a
c = h - d, d = h - c

于是，可以轻而易举推导出大量的公式。

(a + b)(c + d)
(a + b)(h - d)
(g - b)(h - d)


小学阶段，a、b、c、d可以设置为给定的整数。

下面的面积变形，将帮助学生理解( a + b) (a - b) = (a^2 - b^2)

5^2 - 2^2 = (5 + 2) × (5 - 2)

口口口回回
口口口回回
口口口回回
回回回口口
回回回口口


回回口口口回回
回回口口口回回
回回口口口回回
口口
口口

这些矩形数量模型构造，常见于各种数学教案、数学科普书籍中。

《通俗数学名着译丛-28-奇妙而有趣的几何》（[英]戴维·韦尔斯）一书的197页至198页之间，
有一小节叫做 “proof by looking 直观证明”，记录了一些复杂的公式。
其中有一个公式是：从1开始的自然数列，自然数的立方和，等于自然数的和的平方。

1^3 + 2^3 + ...... n^3 = (1 + 2 .... + n)^3

这么复杂的公式，直接用一张方格图搞定，十分强大。

学父五迁

05.03 追及问题的矩形数量模型演示

甲每分钟生产2格，
乙每分钟生产3格，
甲生产了5分钟后，乙也开始生产。
请问，再过几分钟，乙的产量能追上甲？

甲生产了5分钟。

口口
口口
口口
口口
口口

甲生产了10个。
接下来，乙也开始生产。

甲         乙

口口
口口
口口
口口
口口
------------------- 5分钟之后
口口     口口口
...      .....

5分钟之后的那部分，
乙的每一行都比甲的每一行都多1个（乙每分钟比甲多生产1个），
甲和乙的每一行都去掉2个。

口口
...

去掉这一块之后，甲乙剩下的部分如下。

甲            乙

口口
口口
口口
口口
口口
------------------ 5分钟之后
             口
             ...


乙剩下的每一行，表达了这样的含义：
乙每分钟比甲多生产1个。

现在，甲和乙分别剩下的部分，也应该是相等的。

甲剩下的部分是10个。
乙剩下的部分，也应该是10个。

10个分成每行1个，就是10行。
答案就是10分钟。

这里只演示了初级追及问题。
更为复杂的追及问题（比如，竞赛题型），同样可以用矩形数量模型演示，详见后文。

05.04 方格分割推导各种公式

正方形是矩形的特例。
正方形和平方数之间有直接联系。
根据这个关系，可以构造出不少金蛋。

口口口
口口口
口口口

上面的正方形由 3 × 3 的方格组成。
请问，如果正方形的边长从3格变为4格，需要增加多少个方格？

回回回回
口口口回
口口口回
口口口回

摆一下就知道，增加了7个。
如果继续增加边长，从4格变为5格，需要增加多少个方格？
9个。

这个规律继续推导下去，可以发现很多有趣的规律。

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5 的平方

一个从1开始的奇数列（等差为2的等差数列）之和，构成一个平方数。

如果正方形的边长从5格变成6格，那么，需要增加 2 × 5 + 1 个。
代数形式就是 2x + 1。
其中x表示正方形的边长。

中学阶段，这个金蛋将成长为一个难以想象的巨蛋。
中学阶段，可以推出如下规律。

(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1

边长x增加1，面积就增长 2x + 1，这就是面积的变化量。
这已经具有了微分的雏形。

假设边长增长了h，面积增长多少？

(x + h)^2 = x^2 + 2xh  + h^2

这就顺便推出了二项式的平方展开公式。
矩形整数模型（正方形面积）表现如下。

| -  x -  | - h - |

口.......口回....回  --
..................    h
口.......口回....回  ---
回.......回口....口  ---
..................    x
回.......回口....口  ---

上面的数量模型分为四块。
左下角就是 x^2，右上角就是 h^2, 左上和右下两块相等，都是 xh。
小学阶段，x和h可以设置为给定的整数。
设 x + h = a，上述这个数量模型还可以推导出 (a - h)^2的公式。

回到原问题。
边长x增长了h，面积增长量是 2xh  + h^2。
这就是“差分”。

在 y = x^2 的函数图像中。
选择两点。

(x, x^2)
(x + h, x^2 + 2xh  + h^2)

这两点连起来，就是一条割线（弦）。
“差分”就是两点之间的高度差（割线高）。

面积的增长率是 (2xh  + h^2)/h = 2x + h
这就是“差商”（割线斜率）。

h无限小，两点无限接近直到重合。
割线就化作切线。
“差分”（割线高）就化为“微分”（切线高）。
“差商”（割线斜率）就化为“微商”（切线斜率）。
“微商”就是导数。

（注：以上说法引自于林群院士的《微积分快餐》）。

y = x^2 的切线斜率函数是 y = 2x。

y = 2x 和x轴[0, x]之间的三角形面积，就是 2x × x / 2 = x^2

这就构成了微分和积分之间的一对矛盾。

学父五迁

05.02 倍和、倍差问题的矩形数量模型演示。

小学阶段常见的应用题型（含竞赛），如倍和、倍差、追及问题，全都可以用矩形数量模型形象演示。
这意味着什么？
这意味着，乘除法的引入，和这些问题的引入，完全可以同时进行。
这些问题有助于学生熟悉乘除法的算法，有助于学生自行构造乘法表和乘除算法。

倍和问题。
乙的格数是甲的2倍，甲乙的总格数一共有18格。
请问，甲乙的格数各有多少。

假设甲的格数是1行。

口......

那么，乙的格数就是2行。

口......
口......

甲乙的格数加起来就是3行。

口......
口......
口......

18格分成3行。
可以采用如下的方法。
18格，每行3个，摆起来。

口口口
口口口
口口口
口口口
口口口
口口口

行列转置一下，就变成了3行，每行6个。

口口口口口口
口口口口口口
口口口口口口

甲的格数就是1行6个，乙的格数就是2行12个。

再看倍差问题。

乙的格数是甲的3倍，乙比甲的格数多了14个。
请问，甲乙的格数各是多少。

假设甲的格数是1行。

口......

那么，乙的格数就是3行。

口......
口......
口......

乙比甲多出了2行格数。

口......
口......

多出的这两行，一共有14个。
那么，每行就有7个。
甲的格数就是1行7个，乙的格数就是3行21个。

这里只演示了初级倍和、倍差问题。
更为复杂的倍和、倍差问题（比如，竞赛题型），同样可以用矩形数量模型演示，详见后文。

学父五迁

《数学无代价应试》

原创作者：学父五迁

05 超级大金蛋——核心数学模型——矩

05.01 数学中的核心模型——矩

不以规矩，不成方圆。
矩的本意是直角尺，经常用于指代长方形。
比如，矩形就是指长方形。
矩的至关重要的根本关键特征是有两个维度。
这个特征，使得矩成为现代数学的核心数学模型。

矩形数量模型中体现的乘法交换律、分配律、结合律。
坐标（坐标架），勾股定理，矩阵，向量，复数，三角函数，等等。

物理学中，两个量的乘积，也经常用“矩”来定义。
力矩、磁矩、扭矩，等等。

矩的两个维度是正交垂直的。
当这两个维度不再正交垂直的时候，矩就泛化成平行四边形。
向量空间中的平行四边形法则，虽然简单易懂，
却是整个现代数学模型至关重要的基础法则（坐标架基底）。

规矩，规矩。
规画出的圆，也是数学中的核心模型。
复数的单位根，三角函数，切线，割线（弦），周角，等等。

不过，圆的出现较晚，中学阶段才出现。

矩就不同了，小学阶段就初步引入了。
很多中学阶段的重要算法的核心思想，经过适当的完整的情景化之后，完全可以让小学生体验。

学父五迁

04.03 倍数列扩充为同余数列

从上述的倍数表中抽出一行，比如，第3行。

3,  6,  9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30

首先，在这个数列的前面补上一个 0 。

0,  3,  6,  9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30

然后，根据这一行，构造下面一行。
下面一行的每个数都是上面一个数加上1。

0,  3,  6,  9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30
1,  4,  7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31

重复上面步骤，构造第三行。

0,  3,  6,  9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30
1,  4,  7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31
2,  5,  8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32

重复上面步骤，构造第四行。

0,  3,  6,  9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30
1,  4,  7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31
2,  5,  8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32
3,  6,  9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33

对每一行的每个数，都除以3，记录余数，构成余数行。
余数行符合什么规律？

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1
2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0

对于倍数表的每一行，都尝试这个过程。

这是个小小的金蛋。
其主要效用在于帮助小学生更深入地理解除法、同余的概念。

学父五迁

04.02 商和除数之间的交换律在什么条件下成立。

除法的正式通用算法，其数学思想怎样讲解？

我觉得，比较好的方法是使用上述的矩形数量模型。

比如，15 ÷ 3

这个除法算式的意义如下。
把15摆成如下的矩形数量模型，要求其中一个维度是3，请问另一个维度是几？

15个格子，每一行摆3个，一行行摆下去。

口口口
口口口
口口口
口口口
口口口

恰好摆了5行。
那么，另一个维度就是5。

15 ÷ 3 = 5

预先指定的维度3就叫做除数。
另一个求出来的维度5就叫做商。

试着用商（5）做除数。

15 ÷ 5 = 3


可以看到，上述除法中，除数和商可以交换。

除数和商的这种交换关系，任何情况下都成立吗？

不一定。

上述的除法没有余数（余数为0），商和除数之间的交换律成立。

有余数的情况下，除数和商的这种交换关系就不一定成立了。
需要分情况考虑。
当余数小于商的情况下，除数和商的这种交换关系。
当余数大于等于商的情况下，除数和商的这种交换关系。

下面举两个例子。

第一个例子。

23 ÷ 7

口口口口口口口
口口口口口口口
口口口口口口口

口口

23 ÷ 7 = 3 + (2 ÷ 7)

除数是7，商是3，余数是2。

说明一下，上述的结果中，(2 ÷ 7)是余数部分。
因为2小于7，不够减了，就成为余数。

为了突出余数，课本中一般写成如下形式。

23 ÷ 7 = 3 ..... 2

我还是倾向于比较“原始”的形式。

23 ÷ 7 = 3 + (2 ÷ 7)

这种形式有一个好处，等号“=”两端的相等关系能够明确保持。


试着用3做除数。

25 ÷ 3

口口口
口口口
口口口
口口口
口口口
口口口
口口口

口口

25 ÷ 3 = 7 + (2 ÷ 3)

除数是3，商是7，余数是2。

除数和商之间的交换关系成立。


第二个例子。

25 ÷ 7

口口口口口口口
口口口口口口口
口口口口口口口

口口口口

25 ÷ 7 = 3 + (4 ÷ 7)

除数是7，商是3。

试着用3做除数，余数是4。

25 ÷ 3

口口口
口口口
口口口
口口口
口口口
口口口
口口口
口口口

口口

25 ÷ 3 = 8 + (2 ÷ 3)

除数是3，商是8。

商不再是7，而是8。

除数和商之间的交换关系不成立。

学父五迁

《数学无代价应试》

原创作者：学父五迁

04 代替除法教学绊脚石的金蛋

04.01 乘法的两个维度、交换律、分配律、结合律

小学生在数学学习中遇到的主要困难，实际上是“数学语言理解困难”。
小学数学的一个重要任务是帮助小学生理解并掌握数学语言（包括数学符号）的使用。
很多时候，小学生不理解“数学”，其实只是不理解老师所使用的数学语言。

我们来看小学数学教材中的“除法概念”教学。
小学生还处于具体运算思维和形象思维阶段，需要从具体事例中学习。
于是，“分东西”就成为除法教学中最常见的教学情境。
比如，几个小朋友分苹果，每个人分几个，等等。
遗憾的是，除法算法模型本身涉及的复杂度，已经远远超过了“分东西”所能涵盖的范畴。
强行使用“分东西”情境来讲解除法模型，很多时候，适得其反，人为制造理解障碍。

小学数学教材中的“除法概念”教学，很大程度上，就是一个语言游戏。

15分成3份儿，每份是几？
每份3个，15个能分成几份？

在这些除法的数学模型中，除数是什么意义？商是什么意义？份数？份额？

在小学数学老师的博客和论坛中，我看到很多老师都在纠结于“除数”和“商”的概念问题。
我也看到很多家长在抱怨，孩子总是搞不清楚“除数”和“商”的概念。

我的看法是，只要还纠结于这些语言游戏中，“除数”和“商”这两个概念是没有办法搞清楚的。
只能慢慢熬，等到中学阶段，这些问题说不定一下子就想通了。

除法算法涉及的细节相当复杂，绝不是一个“分东西”的情境就可以说清楚的。
强行用“分东西”情境来讲解除法算法，最终的结果，很可能是作茧自缚，把自己都给绕进去了。

要透彻理解除法算法的数学模型，必须透彻理解如下几个关键点。
(1) 透彻理解乘法中两个乘数（因数）的交换律。
(2) 透彻理解乘法和除法之间的逆运算关系。
(3) 在除法存在余数的情况下，商和除数之间的交换律在什么条件下成立。

欲学除法的正式通用算法，必先学习乘法的正式通用算法。

乘法的正式通用算法就是三条核心运算定律——交换律、分配律、结合律——的反复应用。

首先来看交换律。

口口口口口
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上面的立方格，共有3行5列。
这种矩形（长方形）的数量模型，有两个维度。
一个维度是3，一个维度是5。
这两个维度可以交换。
转置一下，就是5行3列。

口口口
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这就是乘法的交换律。
乘法就是加数（乘数）相同的连加法。
通过上述模型，小学生很容易就可以理解，3个5等于5个3。


再看分配律。

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5个3可以分成两部分。
第一部分是2个3，第二部分是3个3。

这两部分合起来，就是结合律了。

乘法的交换律、分配律、结合律，迟至四五年级，才在小学数学课本中正式出现。
同样，我不认为这是一个理解难度的问题。
一个七岁以上的小朋友，理解上述事实并没有什么难度。

这还是一个语言的问题。
交换律、分配律、结合律，这些词语对于低年级小学生来说，并不是那么容易理解。
于是，这些词语的正式引入就推后了。
连带着这些数学规律的正式体验，也跟着推后了。

实际上，这些数学规律的正式体验，完全可以先于语言，提前进行。

掌握了这些规律之后，小学生可以轻而易举地构造出倍数表（乘法表）。

1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9, 10
2,  4,  6,  8, 10, 12, 14, 16, 18, 20
3,  6,  9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30
4,  8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40
5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50
6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60
7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70
8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80
9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90
10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90,100


请注意，上述的倍数表和乘法口诀表（九九表）有些区别。
首先，这个倍数表有十行十列。
其次，这个倍数表是满行满列的。

这种倍数表有什么好处呢？
首先，交换律十分明确。
这个倍数表是关于主对角线（左上到右下）对称的。
其次，每一行倍数列，都是一个等差数列。
第3个数加上第4个数，就等于第7个数。
每一列也是如此。
这意味着什么？
这意味着分配律和结合律对于整行整列都成立。
第2行加上第5行就等于第7行。
以后自行推出等差数列求和公式，也是水到渠成的事情。
这些有趣的规律，都能够引起小学生的兴趣。

小学生自己构造出这个乘法表，不仅能够轻而易举掌握表内乘法，
同时还能对分配律、结合律深入掌握，从而轻松过渡到多位数乘法。

现在，就有一个问题了。
乘法口诀表（九九表）需不需要背诵？
当然要背。
中文口诀最容易背诵了。
这是中文的优势。
中国小学生没有理由放弃这个优势。
问题只在于，怎么背。
我的建议是，首先构造出这个倍数表。
然后，根据这个倍数表的主对角线，抛掉对称重复的右上部分，只留左下部分。
剩下的左下部分就是乘法口诀表的结果部分。
然后，根据坐下部分，自行编制乘法口诀表。
然后，再背诵自己编制的这个乘法口诀表。
这个过程就有趣得多。