如果孩子可以不被教——我对自主学习的一些思考

学父五迁

数学部分。

1. 加减法的拆项法

泡泡妈说得没错。
孩子天生就有把十位数部分和个位数部分拆成两项的形象速算能力。
但是，上了小学之后，这个能力就被摧毁了。

根据我的个人偏见，我认为，罪魁祸首是“竖式”。
是“竖式”摧毁了孩子的拆项能力和形象速算能力。

拆项法，背后就是“多项式”的思想。

2. 除法

关于除法，只看到除以2、除以4的详细描述。
具体做法，大概是从两头到中间的二分法。

对于其他形式的除数（不是2的幂次），没有提到具体过程。
比如，12/3 这个例子，反复提到，却没有具体过程。
我很好奇这些过程。

注：
关于二分法（除以2或2的幂次）
如果用立方块的话，把一行立方块对折成两行，很快就可以出现答案。
比画线法更加快捷方便。
在棋盘上排列棋子，可以达到同样的效果。

免责声明：
用这种立方块折半法，会不会影响孩子的自我领悟？
我目前不是很清楚。

3. 画线数数法

这种做法很有道理。

这实际上体现了数量“1”的基本单位的意义。
一条线段，就对应着一个基本单元“1”。
所有的数字，都可以拆成“1”。

注：
立方块、棋盘上的棋子，都可以充当“1”的对应物。

免责声明：
会不会影响孩子的自我领悟？
我目前不是很清楚。

4. 数学领悟能力的保护

一些数学大师发现了数学天才之后，都有一种矛盾的心理。
一方面，希望保护这些天才的自我领悟能力，不希望他们被现有数学资料影响。
另一方面，又希望这些天才了解现有数学资料，以免做重复工作，浪费天分。
这些数学大师给出的一个折中的建议：
12周岁之前，不要看任何专业代数书籍。

学父五迁

识字阅读部分

认同赞同泡妈分享的“写大字”、“板书”、“手指写”经验。
不少人都很推崇这种方式。实践样本不少。还有人推崇“地书”。

华德福建议“形线画入字”。
这方面资料不多。
《汉字与精神发展》
《甲骨文慧画》
《象形字动画片》
实践样本更是非常之少。

学父五迁

口水部分

1. 支持泡妈的部分

很喜欢夏山、谷瑟的教育模式。
强烈支持泡妈追寻这些新教育。
强烈反对应试填鸭教育。

关于是否要和应试教育妥协。
在我看来，这完全是一个选择范围的问题。
如果没得选择，那么，必须妥协。
如果有选择，那么，不妥协，也是个人的权利。
至于不妥协的成本，也有各人的理解。

2. 不支持泡妈的部分

泡妈对于自然科学科目（包括数学）学习曲线陡峭处的轻视态度。。。。嘿嘿。不多言。

夏山、谷瑟教育的根子，不仅在于自由学习，更在于老师的专业程度。
可能是强于普通老师的专家型老师。还有师生比例，资源配置，可能也强于普通学校。
很可能也是少数人享有的一种精英教育。
要不，为什么只有几十所？
精英教育，胜过普通教育，除了教育模式本身一个原因之外，还有单位资源投入的因素。

学父五迁

从泡妈给的链接里看到了这么一段。
让我对瑟谷的师资有了一点皮毛的了解。
12个孩子，9岁到12岁之间，20周（5个月）就掌握了加减乘除等六年的课程。
用的教材，好像也并不特殊。
其中，学生之间的相互帮忙，应该起到了很大作用。

第一章 数学

我的面前坐了十来个小孩，有男有女，九岁到十二岁。一星期前，他们要求我教他们数学。他们希望会加减乘除和其他算术。

他们刚来找我的时候，我说：“你们并不是真的想学数学吧？”

“我们要，我们真的要！”他们回答。

我坚持：“你们不是真的要学。而是你们的邻居朋友、你们的父母、你们的亲戚要你学的，你们自己宁可做别的事，像是去玩呀什么的。”

“我们知道自己要什么，我们要学数学。教我们，我们会证明给你看。我们会做功课，我们会很努力、很认真！”

我不得不相信他们。我知道一般学校都用六年时间教算术，我也知道过了几个月他们就会失去兴趣。可是我没有别的选择。他们非要不可，我则毫无信心。

可是我错了。

我的最大问题是找一本合适的教科书。我以前参与过“新数学”的编写工作，但是我越来越痛恨它。当初编写的时候，我还很年轻，属于甘迺迪时代的产物。我们信心十足，毫不怀疑自己，脑中充满了抽象逻辑、理论、数字、数学难题……。我猜，如果要我们为农夫设计农业课程，我们会从有机化学、遗传和微生物教起。幸好没人要我们设计农业课程，否则世界上的人都要饿死了。

我越来越讨厌“新数学”中的抽象思考和自以为是。不到百分之一的老师真正懂得新数学在讲什么，不到千分之一的学生知道自己在做什么。人们生活中需要的是算术，他们需要学会计算，以便使用工具。我的学生需要的是这些。

我在图书馆找到一本教数学的书，正合我用。这本书写于一八九八年，版面小而厚重。里面全是上百成千的练习，目的是训练孩子们熟于计算。

课程准时开始。这是我们约好了的。我问过他们：“你们说你们会很认真？那么好，每个星期二和星期四，早上十一点整，你们得准时到教室，迟到五分钟以上就不上课。取消两次以后就不教了。”

他们说：“就这么约定了。”眼睛里闪着快活的光芒。

基本加法花了两堂课。他们用各种方式学：长长细细的方柱、短短胖胖的方柱、长长胖胖的方柱。他们做了许多练习。减法花了另外两堂课。本来一堂课也够了，可是“借十”的算法需要多费点工夫解释。

轮到乘法了，首先是九九乘法表。每个人都得熟背，每个人都被考来考去；然后学乘法原则。最后练习。

他们全部都很热衷于学习。一面学着新的观念，一面渐渐熟悉了四则运算的诀窍，他们可以“感觉”到新知识进入自己体内。几百、几百题的练习、课堂小考、口试，一再地把算术打进他们的脑海。

可是他们不退缩，全部继续学下去。有时候他们互相帮忙解题，互相教导，使课程得以持续下去。十二岁和九岁、狮子和绵羊，合作无间地并肩坐在一起，绝没有互相取笑、没有羞辱。

除法——直式、横式、分数、小数、百分数、开根号。

他们早上十一点准时来，上半小时课，带着作业离开。下回上课时，全都乖乖地把作业写完带来批改。没有一个例外。

二十周课程结束时，总共上了二十小时的课，他们就把算术学完了。六年的课程内容。他们每一个人都学得滚瓜烂熟。

我们为了课程顺利结束开了个大派对。这不是第一次，也不会是最后一次，我被自己当初的理想震慑住了。我们的教育理念管用，非常管用。

也许我应该料到会有这种后果的，可是我仍然忍不住视为奇迹。一周之后，我跟艾伦·怀特聊起这件事。怀特是公立学校里的数学老师，对数学教学的最新发展比谁都懂。

我告诉他数学课的情形。

他一点也不意外。

我很吃惊，便问他：“为什么一点也不意外？”我自己仍处于兴奋状态，对于我那十二个孩子学算术的速度和彻底的程度感到震惊。

学父五迁

维基百科上关于瑟谷学校的资料。

9个工作人员，约二百个学生。

大约是  1:20

Sudbury Valley School

http://en.wikipedia.org/wiki/Sudbury_Valley_School

Information
Established        1968
Faculty        9
Grades        ungraded, ages 4+
Number of students        140–210
Campus size        10 acres (40,000 m2)
Campus type        suburban
Philosophy        Sudbury
Governance        School Meeting (democratic, vote by students and staff)
Website        http://www.sudburyvalley.org
The Sudbury Valley School was founded in 1968 by Daniel Greenberg in Framingham, Massachusetts, United

学父五迁

容易吗 发表于 2014-11-17 22:01
还要翻回去看点评，不然就漏掉一些信息了，真是麻烦。

发现大家对于孩子大了应该要接受“系统”的教 ...

我的个人偏见是，目前国内的教学大纲，基本上不成系统，而是把一个完整的系统切割成一块块支离破碎的知识点。
好处就是术业有专攻。
那些老师对于这些知识点的传授方法精益求精。
有些经典教案，甚至能极大保护孩子的形象思维和领悟力。
但这些好处只体现在这些细节上。

如果是长期项目驱动的跨学科学习，在系统上会更好一些。
小学阶段。我还是最粉华德福。然后就是粉夏山、瑟谷这些了。

学父五迁

容易吗  我也觉得很奇怪，五爷说说对华德福数学的看法呗

首先，来一段免责声明。
我不是数学老师，也不是数学专业。

我就是一个业余人士，连爱好者都算不上，纯粹焦虑感驱动。
我研究数学的目的，完全和泡妈一样，就是为了保护孩子的领悟力和形象思维。
所以，我对泡妈提到的细节，极为感兴趣。

泡妈记录的孩子的这些思维过程，具有非常高的价值。
从意义上来讲，不输于皮亚杰的观察结论。
只是，记录的内容还是太少了。

关于华德福教育家。
有些食古不化，原教旨主义。
有些与时俱进，不断创新。

Active Arithmetic -
Movement and Mathematics Teaching in the Lower Grades of a Waldorf School

这本书的书名很长。
我的个人翻译（免责）：
主动数学——
华德福学校低年级的“动作和数学教学”

这本书，我没有看过。
只看过一些摘录。

关于华德福的数学教育。
我把以前写过的内容，粘贴过来。

各种“成功”案例说明，提高小学生的学习效率，是完全可能而且可行的。
只是，我骨子里是个保守主义者，我一直秉承“安全第一，效率第二”的原则。
我内心一直无法免除一种深切的忧虑——这种多快好省的教学进度，符合儿童的思维发展规律吗？
会不会拔苗助长，竭泽而渔，过度透支儿童的思维发展潜力？
根据著名儿童发展学家皮亚杰的理论，从小学开始，少年儿童的数学思维发展分为两个阶段。
第一个阶段是基本运算阶段，大致在七周岁到十二周岁之间，对应小学阶段。
“基本运算”的主要意思是“基于具体数字和数量的运算”。
在这个阶段，小学生主要发展形象思维能力。
第二个阶段是形式运算阶段，十二周岁以上，对应中学、大学阶段。
“形式运算”的主要意思是“抽象字母符号的代数形式运算”。
在这个阶段，中学生主要发展抽象思维能力。
根据上述理论，我有了一个基本的认识。
十二周岁之后，加快学习进度，比较安全；安全问题主要集中在十二周岁之前的小学阶段。
前苏联儿童发展学家维果茨基也观察到了类似的现象。
维果茨基发现，尽管很多儿童已经掌握了“因为”、“所以”这样的表达因果关系的词汇，
但是，他们实际上并不真正清楚原因和结果之间的因果关系，他们只是模仿了这些词汇的表达而已。
维果茨基比皮亚杰稍微激进一些。
维果茨基认为，经过适当的科学训练，可以适度加快儿童的认知过程。
美国的儿童发展学家，普遍都激进一些。

皮亚杰曾经微讽地提到：如果你研究出儿童的基本运算阶段从七周岁开始，
美国人立刻就会去研究，这个年龄能不能提前到六岁？五岁？四岁？
正是美国的研究风格，带动了全世界的“早教”、“快教”潮流。
即使我最欣赏的华德福教育方法也不能免俗。
华德福教育方法讲求艺术教学手法、整体学习、节律学习、身体运动韵律学习等，反对过早过度开发孩子的抽象思维。
华德福的课程设计着眼于运用学生的所有感官、全部身心来体验学习的内容。
比如，华德福的几何课讲到“圆”，可能会先让学生在操场上去跑几个圈子，
然后，回到课堂，用“形线画”的方法，把刚才跑过的“圆”形路径画出来。
华德福小学生在初次接触奇数偶数概念的时候，会在“晨圈”的时候，一边走圈子，一边根据自己的落脚大声数数。
比如，落左脚，数奇数，落右脚，数偶数。
华德福小学生背乘法表也是如此，一边走圈，一边大声背诵乘法表。
这是华德福教学的特色，将身体运动的节律和背诵结合起来，运用全身心记忆。
我非常欣赏这种理念，参阅了不少相关华德福著作。
结果，我吃惊地发现，一些现代华德福教育已经与时俱进了，在小学一年级就引入了“字母代数”形式。
其理论依据是，华德福重视语言学习，“字母代数形式”也不过是一种数学语言，和其他语言没什么区别。
这种说法，和我对华德福教学方法的理解完全不同。
据我理解，华德福重视语言，是重视口语，重视听说，重视声音符号的语言形式。
对于文字符号，华德福建议先从形线画过渡到写字之后，再开始阅读。
具体数字符号，对于具体的物体数量来说，已经是一级抽象了。
字母代数形式，对于具体数字符号来说，又是更高一级的抽象了。
那些现代的华德福教育家，对这么重大的区别，如此轻描淡写，令我难以适从。
当然，我只是一个华德福教育的门外汉。
我一直被华德福的核心理念《人智学》“障”在了堂奥之外，我对华德福教学方法只有皮毛上的理解。
每个人都有固执的一面，我还是坚持自己的保守主义。
我旨在保护小学生的形象思维。

华德福还有一种背诵乘法表的方式，就是“按行”背诵，一行一行的背诵。
按照华德福的说法，叫做背诵“某个数的倍数”。
比如，第二行就是2的倍数——1倍、2倍、3倍......9倍，也就是2、4、6......18。
比如，第三行就是3的倍数——1倍、2倍、3倍......9倍，也就是3、6、9......27。
“按行”背诵的好处是，每行数字构成一个等差数列，相邻数字之间存在很强的规律，方便记忆。

学父五迁

敬听 发表于 2014-11-18 10:25
这点大家没有异议，我的异议在于仅凭兴趣就可以自悟自学成才，就是“不被教”就能达到一定程度。你自己的 ...

泡妈可能暗含了一个前提：
孩子需要的时候，恰好就能找到趁手的适度的自学资料或求助对象。
在资源丰富的环境中，这个前提条件有可能达到。

另一方面，我认为，如果一个环境中，只能提供掏鸟窝、摘野花，那学习资源可能就不够丰富多元。
不过，即使这样，也不输于传统小学环境。
因为传统小学环境，实在是太过单一了。

学父五迁

转帖一些华德福数学的资料。

就不转帖斯坦纳的原著了。
个人偏见，斯坦纳对数学的唯一贡献，就是贡献一个名词“从整体到部分”。
这个概念很好，如果斯坦纳不进行解释的话。
但是，斯坦纳解释了，一个人是一个整体，有两只手，云云。

我也有同感。
或者说，我也同样无感。
我感觉不到这是数学。

我只转帖一些有感觉的部分。

很想看下列书籍，但是，我没看过。
《Active Arithmetic》 By Henning Anderson
《The Extra Lesson》 By Audery McAllen
《Finding the Path》 By Bengt
《Geometry Lessons》 in the Waldorf School

以下内容引自《迈向自由的教育》
其中一些数字机械记忆的部分，省略了。
我认为，乘法表需要掌握熟练。
如果时间允许，当然可以慢悠悠一次次自行推导。
如果时间紧凑（比如，为了应试），背诵也无妨。
这已经是代价了。再背诵其他数字，那就是不必要的代价了。

3、形线画──从上学第一天开始
史代纳建议让孩子在会使用圆规和尺制图之前，先认识“几何学”。他甚至建议，以“直线”和“曲线”为上学的第一个钟头拉开序幕：老师可以和学生先谈论他们的双手，以及人们如何运用双手来工作。然后请学生在黑板上画一条直直的线，接着画半个圆形或弧形。老师可以先画给他们看，学生就会模仿着画。老师可以从学生走路的模样、观察和绘画的方式，就对他们有一份认识和了解。而在这个过程中，学生已完成他们的第一份“功课”：一个原始的几何图形。
然而“几何学”的练习不必只停留在“双手”上，它也可延伸至“双脚”。例如：让学生走出教室，到操场上跑一圈或是一螺旋形，然后走回教室内，把刚才跑的形状，画到自己的工作本上。又如：二年级“优律思美”的课程中，学生一起跑出重迭的“8”字形，这时他们必须练习一一在中间交叉跑开的动作与步伐。“几何学”可以成为具有一份潜在排列秩序功能的学问。
此时此刻，如果一位“优律思美”的老师能够试着不要用警告的方式来提醒某个学生，留在他自己的位子上跑，而是改用另一种口吻说：“你看，你在我们完美的图形中，跑出了一个一个‘洞洞’。”这不仅是学生，同时老师自己也会感到愉快。
渐渐地，“优律思美”的形状会越来越复杂。譬如：到了六年级，当“几何学课程”给学生带来新的刺激时，老师可以针对几何学课程，在“优律思美”大厅中，举行所谓的“动态之几何学”。
然而“形线画”却不只可以当成“动作的痕迹”来练习。它本身也是一个人物图像的练习，和对“非动态”事物的描绘方式。例如：我们可以让学生补充完成一个不完整的形状，让他们用自己的“形状感觉”画出一个“外在”或“内在”的线条，寻找相对称的图案，或一个倒映的人物图形。

（十八）几何学
一个十岁男孩和父母一起看一本几何艺术结构图。看到一半时，他突然跟父母说“你们看，这个图案到下一页会变成那个形状。”男孩说太没错，下一页的图形是由这一真的结构演变而来。他发现了，父母没看出来的“变化”。男孩那么有自信的原因之一，是因为他在华德福学校上学，而且从一年级开始就练习画各种图形。
史代纳学校的学生四或五年级时就能用尺和圆规来画美丽的几何图案。但使用这些工具来画真正的几何结构图却要到六年级才开始。
大多数的人都习惯把“几何”这个概念和一长串难懂的论证方程式联想在一起。华德福学校所上的“几何”却不太一样。在引用它来“论证”某些事物之前，我们可以先“体验”几何的存在。
要怎么画一个正十六角形，而且每个角的交叉点要彼此相连的结构图？在圆周在线以圆的半径为长度找出六个点，再以每个点和圆心的距离为直径在大圆内画出六个小圆，会产生行径样的图案？或者以相同的原理画十二个或更多的小圆，结果又会如何呢？或以一个大圆的半径为直径，用连续转动、更换圆心的方式，在大圆内画出相连的半圆，结果会产生那些图案？运用类似的原理一直画下去，将发现几何世界的图案之多，几乎是无穷的。
但是，应用何种方式才能将富有创造性的几何结构图转换成生硬的论证形式呢？华氏定理可以帮忙解决这个问题，而且可直接由实验证实这些定理。让小朋友画一个直角三角形，再由三角形的每一个边各画出一个正方形，或者各以以上所举的两个画圆的原理，各在三角形直角的两边画出正方形的面积。同学们也可依相同的结构，以大小不同的三角形再试试看所得的结果还是一样：直角两边所画出之正方形的面积总和等于第三边所画出之正方形面积。
这类的习题仍然是具体而图案式的，但可做为以后练习论证题的准备。只有当小朋友对因果关系的需求觉醒及对抽象的事物（如代数之类）有兴趣，也就是满十二岁之后，才进一步转换成练习真正的证明题。

学父注：过早尺规作图，可能会影响孩子的绘画风格。不过，十二周岁的时候，孩子已经可以学透视原理了。因此，十二周岁之前的一两年，进行尺规作图，应该问题不大。我同意这段的观点。尺规作图，对于几何学习有很大意义。
推荐一本书。
《带着铰链的方块：令人着迷的创意游戏》[美]伊万·莫斯科维奇
开篇就是一些有趣的尺规作图。正多边形，正多角形。等等。

有人建议美国中小学的物理课应该从组成物质的基本粒子，如电子、质子等开始上，一步一步地学生在课堂上就学会原子组成的原理（当然只在思维方式上）。然后，原子组成分子，最后再由这些分子组成一支粉笔或一块掉在地上的石头。
这种上课方式和我想积极提倡的正好相反。学习的出发点，应是学生能亲身体验到的现象，然后再透过实验来补充所观察到的情形。最后，才能谈到抽象。例如：化学中的‘原子’、‘分子’这类抽象的概念，应该最后才出现。”
1、第一堂物理课
一个气质冷静被动的十二岁女孩，平常并不喜欢做功课。有一天回家后，精力充沛地摆了一堆玻璃管在桌子上。她将每根院子灌进不同数量的水，用一根叉子在管子上敲敲，然后又将水倒来倒去、直到她调出一个小的音阶为止。家人问她：“今天你在学校上了什么课？”“物理课，我们第一次上物理！”她高兴地回答。
只有少数几个科目能像物理一般，唤起同学这么高的兴趣，同学通常都会迫不急待地等着上物理。第一堂物理课是在六年级，并以观察各种不同领域的现象开始。
开始时，先观察“声音”。首先，以小朋友所熟悉的各种乐器出发。然后再依状况将观察范围扩展到他们不认识的乐器。渐渐地，才由艺术性的“音”乐转换成观察成观察“声音”的原理。老师可以和同学一起做实验。譬如，将各种不同的物品挂在一条在线，在每个物品上敲一敲，再将所听到的声音和木头或所熟悉之金属片发出的声音做比较，然后按音阶高低将物品顺序排列出来。应该给每一个小朋友机会，自己去发现声音的奥秘。最后，在一块共鸣板上拉一条弦，利用木块当琴马，随意调出弦的长短松紧。
会拉小提琴的小朋友很快就会发现，弦的长短会改变音的高低。其他同学需要较长的时间，才能体会出其中的关系。但因为这是基础的体验，所以老师应耐心地等待同学找出结果。将弦的长度调紧成一半长时，音阶会相差八度；2/3长时会相差五度；3/4长时会相差四度；4/5时则相差六度等。暂让小朋友量弦的松紧和音高之间的关系就够了，他们目前尚无法直接感受到频率的问题，关于这方面以后再谈。
也可以将沙撒在一块中心以螺丝固定的轻金属转盘上，然后用小提琴的弓在转盘的边缘磨擦。那些跳动的沙粒就会变化各种壮观的“克拉德尼声振图形”（Chladnische klangfiguren）。小朋友可从事实中观察到，声音也可影响开头的变化。这种经验对他们很重要。尽可能准确地记录，哪种声音会产生什么样的图案。在这个阶段中，小朋友就能明确地体会，振动频率和振动图案之间的关系。
接下来探讨视觉所能观察到的现象之变化。哥德对颜色“原始现象”所发表的理论，是一则容易观察且能让人留下深刻印象的例子。老师可以哥德的理论为基础和同学一起做个实验。一个深色名淡色的物体，如果透过混浊的介质（如：有色的玻璃、液体或雨雾等）来观察，会有非常大的改变。下面所做的实验可以概括这种现象。将肥皂水滴进装水的器皿中，水会变得混浊。若将玻璃器皿后方的灯打开，水的颜色会很明亮。但若将灯移到玻璃的旁边，在阴暗的背景衬托之下，水中的颜色看起来会较深。这个实验在适当的照明及相对的混浊之下，我们可以各看见浅蓝色及红宝石的颜色。
参见165页图4-34
这时老师可以提醒学生，我们在日落的傍晚时分，也会观察到相同的景象。向下缓缓沉落的太阳是鲜红色，地平线的另一端则是深蓝色。透过深色的介质来看亮的颜色，所看到的是黄或红色，透过亮色的介质来看暗的颜色，所看到的是则是蓝色。用这种方式来描述这个规则，只是把感官所感受到的事实在思维中整理出来，而让“事实自己说明”一切。这种方法实现了哥德所说的，科学的真正目的：我们发现了“原始现象”。同学们所做的是，感官和思维的内在结合。哥德将此称为“直观的判断能力”。

2、化学
通往“化学”之路
开始上化学课时，可以让同学先观察各种天然物质各不相同的燃烧过程。为什么有些火焰烧起来很旺盛，而有些则很容易烧红？为何会产生雨雾？火为何会有煤烟？可以找时间做一系列的实验来比较，燃烧时所产生的各种现象。含树脂的木块烧起来会劈啪作响；木屑燃烧起来温度高且集中，但从外面几乎看不出来（木屑燃烧时所产生的热甚至可以用来烧陶）。烧旧蒲扇时很快就燃起的熊熊烈火，会令活泼气质的小朋友惊喜。有些同学则对缓慢爬行的蓝色火舌，一步一步地吞食和水混合的酒精较感兴趣。目的不是要让小朋友对那些伟大的科学实验成果感兴趣，而是尽可能让每一位小朋友体验，如何运用“思考”将各式各样，而且有时令人混淆不清的“感官印象”整理出来。譬如可将这些观察所得的燃烧现象，按精神财富的原则排列出来：
①猛烈而爆炸式的燃烧
②火光冲天，四处流窜的火舌
③缓慢爬行吞食般的火焰
④高温烧红，炭烧式的燃烧
实验过后的第一天，才继续思维方面的整理工作。小朋友会提出许多问题和同学一起讨论，而且提议继续做实验。透过共同的研究，自然而然地会探讨到空气在燃烧过程中所扮演的角色。如果继续追寻下去，就会发现氧气。日常生活当中，小朋友也有许多这方面的经验。大部分的小孩都玩过火。有些同学很清楚怎么灭火，或在潮湿的森林中如何起火。小朋友在日常生活当中也可以体验化学的存在，而且这些体验不容易忘记。从日常生活中所学习的化学也能搭起一座通向外面广大世界，或工业界的桥梁。
参见165页图4-35
渐渐地可将研究的领域扩展到大自然的变化之中，（如石灰和水在自然界的循环过程）或延伸至手工及工业的制造过程，如玻璃的制造，锅炉的燃烧以及金属在人类生活中的地位等。这是一个让学生离开教室到工厂实地观察的好机会。参观一些如肥皂的制造过程等，不是很复杂的化学技术。上化学课的内容主要以平常所接触的物质为主，但也应着重介绍学校附近已有的化学工业生产过程。这种上课方式不只适用于化学课，也应运用在物理和别的科目中。
八年级历史课谈到现代工业发展的历史时，同期的化学课中也应特别研究，一种除了黄金之外，在人类生活扮演最重要角色的金属──铁。
机械制造和现代工业发展只能跟随钢铁生产量和炼铁技术的脚步前进。倘若没有考特（Cort,1783/1784）年所发明的“火炉”，早期工业就不可能在英国发展。没有现代化的炼钢技术（1858年贝什摩过程，1865年西门子—马丁过程，1878年汤玛士过程）就不可能有海轮、广布世界各地的铁路网、汽车以及现代化的农业，也不可能建造能容纳如此众多人口的现代化大城。每个人都应至少原则上知道，人类如何利用钢炉将铁从铁矿中提炼出铁来。

数学与几何学
不同的多角形。按欧氏几何所绘成的多角形，限定在某个平面之内，再依投影几何所绘成的多角形会无限扩大。绘制这些几何图形需要花费很大的心力，但也会获得非常有趣的结果。
透过几何，可以让我们学习运用思考来看事物。为了达成这个目标，我们必须先改变看某些事物的习惯，如把点看成是针头，线看成杆子，平等线当做是二条铁轨等。只试着完全不透过“感官”来思考，我们才能理解真正的几何观。

学父五迁

《迈向自由的教育》

更多的高年级知识。

（四）数学与几何学
1、九年级
最迟在升到高年级时，多数的学生会自觉到，数学是多么重要。他们体会到许多理论和实务方面的职业培训，都要求有好的数学基础。现今的社会形态很重视数学。这或许可以重新唤起同学学习数学的兴趣。但老师也必须注意，不要太过于受这种时代潮流所左右。整个求学过程中，数学课应有助于学生人格之发展，因此数学本身是有其内在的价值。
柏拉图对数学的看法，也许最能完美地表达数学的意义。他在“共和国”一书写道，“透过数学能洗涤心灵的眼睛，这就像经验丰富火焰的提炼而重新唤醒生命力一般。然而人类的其他活动只是否定并且掠夺它的视力（心灵之眼）。而这种工具（指数学）却比千百个肉眼更值得保留下来，因为只有透过数学才能看见真理。”
然而这种想法对一个十六岁的年轻人来说，是多么的深奥。一个最典型的问题，是“数学有什么用处呢？”教室里坐着一群年轻人，他们的理解力刚被唤醒，也有一股想要去完成一件实务工作的行动。但是，倘若老师给的习题和同学们心灵发展的过程相配合的话，要他们去解决一个和实际生活并不相关的问题，也不是那么困难的事。
老师可以用“河内塔”（Hanoi-Turm）的结构原理为例，来当做一个习题，让学生练习。做这个习题时，首先必须用到推断能力，之后也需运用别的方面的能力。“河内塔”是一些中间穿孔的石头迭在一根竖立的杆子上，从最底下最大的石头开始，石头愈迭愈小，一直迭一最顶上。另外还有两枝空的杆子可以使用。这个教具外还有两支空的杆子可以使用。这个教具的学习主题，是需要移动几次，才能将不同数量的石头由大到小在另一根杆子上迭成一个塔？唯一的条件是大的石头不能迭在比它小的石头上。
假设我们有四个石头。试迭之后，学生很快就会发现，需要移动十五次才能将石头按大小迭在另一根杆子。班上的同学马上会自动提出这么一个问题：不同数量的石头需要移动的次数会是多少呢？
有些同学则用少于四个以下的石头试试看。结果他们发现，一个石头移动一次，二个移动三次，三个移动七次。从1、3、7、15这些数字中，是否可以找出一个规律，借着这个规律而能汇出一个适用的公式。但是，如果已经找出一个痕迹，这个痕迹会导向正确的路途吗？同学们试着用五个石头来做。结果他们所做的推测是正确的，但我们要如何证明。这个假设也适用于其他数量的石头？我们无法将石头愈迭愈多来证实这个论点。透过“感官”之尝试来拣出答案的方法，无法不断地持续下去。必须以“思考”的方式，一直在脑海中无限制地想象石头愈迭愈多。用心地去找出那关键性的一点。这个关键点在哪里呢？我们继续研究，每增加一个石头时，必须移动的数量会增加多少？迭a个石头塔时，必须将四个石头塔先迭在第二根杆子。然后将第五颗石头移到第三根杆子上。最后再将四个石头塔全部移到第三根杆子上。移动的次数为X5=X4+1+X1=15+1+15=31。这个公式适用于任何数量石头所迭成的高塔。我们可以将数目从4加到5，从5加到6，一直算下去。这个公式可以毫无限制地一直往下推。
愈是费心所得的结果也愈有价值。同学们会感受到，运用思考可以达到，即使透过科技的帮忙，也无法完成的结果。学习也学会“观察”自己的思维过程。他们学着去“感受”，什么时候“想”得对，什么时候“想”得不对。这是一个本质上的经验。如果让问题本身及相关的理念在我们心中“说话”，如果我们在心中发现问题的客观性，就会确切地意识到自己站在真理的土地上。
通常，九年级的学生无法有意识地感觉自己在思考；有些同学甚至到了十二年级仍未具有这种能力。最重要的一点是让学生依个人的能力，自己渐渐地去体会，如何清晰地思考。九年级的学生“独立”的需求渐渐增强。上课时应以“专业知识”为重心，老师渐居于辅导的地位。如何来上数学，才能免除同学对老师的依赖，因为每个必须靠自己去找出事实的真相。在学数学时，同学们资质的不同扮演了重要的角色。要如何使那些爱做梦，且天资较不倾向于理性思考的学生学好数学？老师必须自己整理出一系列由简单到复杂的数学问题。譬如做数学时所使用的术语，他必须“在班级的范围内区分各自的不同”。九年级时，重新练习“四则运算”。但不是用十进制，而是以别的进制来运算。由加法、开根号到各种除法，各式各样难易不同的习题。
排列、组合及其在机率换算方面的运用，能提供丰富的题材，去训练学生的思维能力。研究不同的几何曲线，也可以让同学脑力激荡。学习有限的曲线，如圆和椭圆，可以帮助我们解决无限延长的曲线，如抛物线和双曲线可研究走向的问题。研究这些问题时，会有许多惊奇，也可学到很多东西。同学们将体会到，运用解析几何及其方程式很快就能找到答案。纯几何的算法较费时间，但所获得的结果却较丰盛，而在解决问题的过程当中，常会有许多重要的发现，使这个过程变得有趣。
参见228页　图5-4
2、十至十二年级
十年级的教学计划中，安排了两项重要的课程。“三角几何”是平面几何的高潮。以前学生只以平面几何做一些特殊三角形和其他图形的练习，而现在可以运用三角几何的方法，透过图表或计算机（计算机），来画所有想象得到三角形。若能将这些方法直接运用在土地测量上，那学生将会感到很满意。在此课程范围，学生学习如何使用半圆仪（Theodolit）所量出的准确角度来画地图上的三角网，而这些三角网，能使地图保持稳定与精确。
第二项课程介绍“对数”。自乘法中学到负数、分数以及零的运用，并且提供了更新更广的习题。这段期间同学们将会不断地想到一个问题，那就是以前学过的数学是否仍然适用于这些新的范围？事实证明是可以的。而且我们还能以更广阔的视野去运用这些以前学过的方法；同时也学习到如何从纯技术的层面上，去解决一些平常需要花许多时间才能找到答案的问题。
学会使用较锐利的工具之喜悦，能提高同学研究数学“建构工程”中新领域的兴趣。这些新的领域是教学课程中所精心选出的。十年级学会平面的算法后，可以尝试将几何运用在凹凸不平的表面上。计算地球上的距离和面积。地球的到别的星球的航线图，以及将整个地球表面或其中某个部分投影在一个平面上，也就是画一张球面的地图。同学们现在所面对的是一个全新的状况。他们必须了解，将一个球形区域，完全按照大小，投射在平面上，不是不可能的。值得注意的是，例如一张航海地图不是球面的投影，而是一张经过详细计算而画出来的图片，上面画着准确的角度，所以可以在航海中找到正确的航线。
和“无限”这个概念有关的问题，也属于能影响学生人格发展的主题之一。可以用透视素描法，做一些和极限有关的习题，或以康托（Georg Cantor）集论中的原理来引导学生认识“无限”的观念。一条直线上的点会比数目字多吗？点如何“组成”一条直线？“极大”和“极小”的问题可回溯到二千五百年前埃里亚（Zenon von Elea）所提出的矛盾理论（Para-doxien）。
接下去的单元，可以练习和加强有关“无限”的函数概念，如利用函数找出事物间因果关系的思维方式。伽利略、牛顿、莱布尼兹和其他科学家，都曾阐明以及用数学证实这种思维方式。也应探讨速度与加速度方面的一些基本概念，使同学有机会学习，如何算出最高值与最低值。这种知识以后可以运用于技术方面的改进，以求近于完美。
研究“无限”的概念，以及函数，可以说明同学从感官直觉的层面中抽离出来，而以抽象的方式来思考问题。不可避免地，有些同学在这几个单元中，只求认识一般的方向和一些基本的概念，就感到满足了。也许有些同学甚至讨厌XYZ的方程式。可以给这些同学一些有趣的习题，例如投影几何方面一些结构性的习题，让他们重拾学习的乐趣。
十九世纪初，一群专门研究几何的法国数学家想证明，纯几何比解析几何非直观的方式式更有用。卡诺（Carnot）的目的是希望“把几何从解析的抽象符号中解放出来”。因而发展出投影几何。投影几何能提供教师非常好的教学题材，令人讶异的是一般中、小学，并未广泛地运用投影几何。不论透过图片或运用文字，投影几何都能提供学生很好的机会，以不现的角度来观察问题以及事物间的关系。
和一般通用的线和面是由点组成的原子论观点不同，投影几何将点看成是支撑平面或直线的物质。点和平面与直线一样，是一个基本元素。一般年轻人对事物的看法常以黑或白来区分，而且深信不疑。知道这种情形的人就能体会，学校教育的重要工作之一，是训练学生的判断能力。让学生以各种完全不同的角度来看问题或事物，而最好是能以几种极端对立的角度来观察。在这方面投影几何能提供所有的学生，许多很好而又有趣的练习机会。十七世纪法国人德沙果（Desargues）就是在研究艺术家所提出的一连串问题时，奠定了投影几何的基础。而当时的艺术家所要寻找的是严谨的绘画视点。茅利斯克莱（Morris Kline）在其所著的《西方文化中的数学》曾经这么写到：“德沙果所创建的这门科学是现今数学中最美的一部分，也许就是因为它是从艺术之中创造出来的。”
如果我们想避免，日常生活所常发生的许多误会，或努力地想去理解某些科学研究的成果，就必须让自己和别人明了，我们是以什么样的观点为基础，来建立我们的思维方式。科学界常会出现一个重要的问题，那就是研究人员以一些公理或原始现象为基础来探讨问题。我们尝试尽量客观地去理解、研究范围所观察到的现象，不论是大自然的过程，人为的实验，或者心理学的探讨，以及历史中所发生的事件都一样。
华德福学校十二年级学生可由不同的科目中获得广阔的视野。在数学课中，学生体会到，如何适当地选择基本定理来学习各种几何（欧氏几何、非欧氏几何、解析几何、综合几何等）以及各式各样的代数。也就是说，各自选择适合自己的研究工具，而他们学生也可从中认识到有些数学方面的杰作，在一段相当长的时间内，它只被当成一种参考文献，也许只有一些奇特的人会对它们有兴趣。但有一天它突然却变成许多研究领域所必须运用的工具，如博尔（Boole）代数在逻辑分析、或然率之计算及电网理论中的应用。
总而言之，数学课可分为练习与引导两种方式。两种方式相互配合运用得愈密切，学生学习的意愿也愈高。若只做练习，反而久之会变成死板的操练。然而一味地引导则疏忽了学生参与的欲望，也不是好的教学方式。在证明以及推论问题时，有一条黄金定律，那就是在严密讲究细节却是冗长的阐述方式中，和概括性、公式化但表达不出问题的特色思想之间，找出一条中庸之道。
与做习题中学习解决问题并行，引导式的对话能使同学认识到数学定律是和大自然，也和人本身联结在一起。数学最重要的意义，在于能引导做数学的人做纯思考的工作，以及让他信任这种思考的方式。也就是说，使我们同时以主观和客观的方式进行理解式的思考。

学父五迁

体操和几何学的关系，我印象中，有一段。
好像是说身体动作，和几何线条形线画之间的关系。
可惜找了半天，没找到。
只找到这么一段。

一位博特默尔的学生曾经生动地描写过，他对这些体操练习的经验：“在高年级的体操课中，我们感受到一种与几何学非常类似的关系。一股充满于四周空间的力量，在我们身上发生作用，我们则以身体动作与意志力来回应它……。另一种经验是身体对重力的感受”。 在所谓的‘坠落’练习中，我们可以清晰地感受到重力的降临，但一转眼它马上经由我们一个滚的动作，而产生了阻力，接着又透过一个有力的举高动作，这股阻力被迅速地克服了。这整个过程就像一个强烈的健康觉醒。

（二）七、八年级的“对比画”
十四至十五岁的学生处于一段“对比”的时期。开始练习素描时，学生起先将黑白两极看成两种不同的现象。之后，似乎自然而然地，就会将黑与白理解为阴暗和光明的象征。介绍各种不同光线的特性，如日光、月光、街道的灯光等，能引导学生去征服一个光和影的世界。这个学习过程的终点是画“人物肖像”。
1、空间练习与实际运用
其他的科目也可配合青春期的转变，以各自不同的方式来上。譬如：通常以流动的方式来衔接动作变化的“优律思美律动”课，老师可以在这段期间强调，严格的空间分配。学生在做棍棒练习时，要注意到空间分配的问题，但也要求类似体操所需要的灵巧。在那些有波特摩（Bothmer）体操课的学校在这个阶段则强调，能更深入地认识自己身体的练习。藉此，可使年轻人有机会意识到自己四肢新的韧性与强度，也可使四肢有目的地朝三度究空间的活动迈进。

学父五迁

还有重要的一点，几次都忘记说了。

泡泡在纸上划了很多线段（代表单位数量"1"），然后，试图用一个"隔板"插入这些“1”之间的空隙，进行分组。
这种思维方式，已经是"隔板法"的雏形了。
非常有领悟力。
再次赞泡妈的放手和观察。

学父五迁

汐岩 发表于 2014-11-19 08:04
點評沒有笑脸好不习惯，上面那句想调侃一下的:)今天没有电脑，用手机写点评试半天都写不上，，所以忍不住在 ...

举个例子。有10个“1”。
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1

每两个"1"之间，有一个空隙。
共有九个空隙。
用一个隔板放入其中一个空隙。
就把这个数列分为前后两个部分。共有9种分法。
这实际上就是把10分成前后两个加数之后。
这是组合理论中的一种算法。

泡泡无意中就是用了隔板法来做除法。
不用说，效率肯定比不上"乘法表 + 除法竖式"，但是，更体现本质。
而且，泡泡在分100的时候，是把10作为基本单位来分的。

10， 10，10， 10， 10， 10， 10，10， 10， 10

我估计，泡泡也是用的隔板法。

另外，泡妈有空的话，能否说说 12 / 3 ?
我很好奇，泡泡是如何把一列基本单位，分为三份的。

学父五迁

我一直在关注一种新型模具技术——3D打印。
就是把细小材料，一层层堆叠，形成造型。
这正是微积分中的“积分求体积”现场版。

我感觉，如果孩子目睹过锥体的3D打印过程，就会对“积分求体积”有直观的概念。

目前，北京已经出现了儿童3D打印馆。叫做“毛豆”。

http://www.moredo.cc/moredo-portal/model.do

只是，这家体验馆的卖点在于电脑“3D建模”。
对于儿童过早接触电脑，我还是有些疑虑的。
我只希望儿童能够观察实物模型一层层的堆叠生成过程，并不希望儿童学习电脑三维模型。

我认为，一方面，确实如华德福所言，
儿童有农业、畜牧业、手工业、狩猎、采集、编制、种植的需求（比如，掏鸟窝），
儿童需要密切接触大自然；
另一方面，儿童也有“工业”需求，比如，
(1) 儿童目睹实物模型一层层的堆叠生成过程。
(2) 儿童观察一些大型人工造物的基本结构。

在通盘考虑整体需求平衡的时候，把"工业"需求完全摒除在外，也是一种失衡。

学父五迁

敬听:  咦，如果你支持孩子可以自悟可以不被教，这完全是蔑视学校教育的节奏啊.......  

我之前对于泡妈也有类似的误会。
我也感觉泡妈蔑视学校教育。甚至更严重，我感觉泡妈蔑视整个科学体系。
但我后来发现，泡妈隐含了一个前提条件，就是我前面提到的。
泡妈的意思是：孩子不需要有教学进度要求。孩子不需要"被"教。但是，孩子想要学习时，能够找到老师教。也就是，老师总是在周围闲逛或者工作（就像瑟谷一样），只要孩子需要，就能找到老师，老师也能为孩子定制一套教学方式。

至于自我领悟，这属于教学方法的问题了。
前面讨论了半天启发或不启发，看得我怕怕的。
在我看来，启发的讨论已经陷入了文字游戏和名词定义之争了。
孩子当然需要启发。如果孩子从来没听说过数字，也不会数数，那么孩子如何自我领悟出除法？
泡泡如果从来没有听过别人数数，泡泡能自行领悟出一套数字系统吗？
我感觉不可能。
所以，问题根本不在于启发不启发。孩子必须需要启发。
孩子不可能从头领悟人类几千年发展出来的科学体系。
问题只在于，如何启发。
我想，泡妈也是这个意思。
泡妈主要关注，如何不过度启发，如何不影响孩子自我领悟发现的"机缘"和乐趣。
这也是我关注的。
事实上，小学那么点内容，需要学习五六年吗？根本不需要。
完全可以给孩子足够的时间和机缘来领悟。
如果家庭环境允许，时间是够的。
问题就在于机缘。
孩子仍然需要从环境中得到一些启发思维的信息，才可能启动领悟思索程序。
如何安排机缘？
这是很大的一个话题。
我只想到了一些皮毛。

再说学校教育的意义。
我认为，学校教育的意义，主要在于知识点的教学方法探索。
专业老师，真的是精益求精，炉火纯青。
那些经典教案，对于任何形式的教学，都是很大的贡献。
遗憾的是，学校教育的这种探索，成本太高。
实际上是拿所有孩子当试验品，来一步步摸索。
而且是成规模、成建制的强制试验。

其实，任何人都是试验品。
成年人也是社会实验的试验品。
所有的经济发展计划，实际上都是结果难料的试验计划。
区别只在于试验设计方案、试验强度和强制度。

任何教学方式下的孩子，都是试验品。
区别只在于试验设计方案、试验强度和强制度。

学父五迁

敬听:  和和的例子主要说明了两点：第一学校教育提供这样一个机会一个环境但家庭教育功不可没；第二在传统学校上学的孩子同样可以自主学习，全面发展。

这里有一个关键问题。

应试小学的正负面影响问题。
应试小学的正面作用和负面作用，各占多大比例。
家庭的主要作用是什么？
(1) 弥补应试小学的负面作用。
(2) 在应是小学的正面作用之外，再补充更多的正面作用。

如果选项是(2)，那么，恭喜，这样的家庭，择校成功。
如果是(1)，那么，择校失败。
当然，择校失败，也有两种情况。
(1) 确实是学校的问题。
(2) 实际上是家庭的问题。家庭教育出了问题，反而怪到学校头上。

这些情况都存在。
只是比例各占多少？
我的资源和运气是否足够好？我是否能择校成功？
如果资源和运气不够好，我有什么退路？
这就是我考虑问题的出发点。我需要准备退路。

学父五迁

容易吗  就是最佳问题区理论

哈哈。
原来静听是说维果茨基的最近发展区理论（现在改成最佳发展区了？）。

这里，顺便推荐一下心智工具 (mind tools) 。
正是基于维果茨基的鹰架理论。以戏剧自编和参演为主要学习方式。
前苏联的理论，在美国开了花。

维果茨基英年早逝，本身只有理论，没有方法。
而且，我在前面的回复也提到过。
与皮亚杰、华德福相比，维果茨基也略显激进。

不过，心智工具 (mind tools) 确实非常好。
在推崇戏剧编剧和表演方面，和华德福有异曲同工之妙。
而且，心智工具 (mind tools)设计出了更多的详细流程和操作细节。
可以搜到官方网站，上面的论文可以自由下载。

学父五迁

再说一下“心智工具”的方法论。

心智工具，实际上，并不注重“最近发展区”这个概念。
而是注重“鹰架理论”这个概念。
意思是“托着”孩子，进行发展。

但这个方法，不是说，给孩子提前安排好下一个阶段要用到的资料，
而是说，让孩子一起“参与”一些“复杂”的实际任务项目。

现在的学校教学中，为了让孩子操作方便，把生活中的实际问题，都简化了。
从上到下分解成一个个简单的小任务。
好处是减少了难度。
坏处就是少了全局观、系统观。

“鹰架理论”就是在大人的帮助下，孩子可以参与复杂项目的一部分。
既可以通观全局，又可以亲自参与适合自身能力的工作。
这就是“心智工具”的主要方法。

学父五迁

容易吗 发表于 2014-11-19 10:25
另外以我对泡妈的了解，她一向认为我们现在的大环境，对孩子不是不够丰富，而是太过丰富，刺激不是不够多， ...

对。没错。泡妈很重视留白。（我也很重视）
刺激量过多，信息量过多，活动过于丰富，也是个大问题。

我斟酌一下用词。
改成：一种长期生活方式或形式的丰富。
而不是：具体活动内容、信息量、感官刺激量的丰富。

比如，孩子生活在城乡结合部，可以爬在树上掏鸟窝，顺便看到火车从原野上驶过。

学父五迁

一些几何玩具。

十岁、十一岁左右，打算引入尺规作图。

在此之前，打算提供一些几何作图类的玩具。

比如，万花尺（繁花曲线规）。关于曲线、圆、椭圆。

更早一点，可以提供“放大尺”。关于平行、投影（射影）。

更早一点，没有任何年龄限制的，提供水枪。关于抛物线。

不知泡妈、容妈等“自悟派”对此如何看？
按照年龄“进度”，主动提供这些玩具，算不算过度“启发”？