如何帮助小学生深入理解、深刻认识数学的本质

学父五迁

小学生有没有可能深入理解、深刻认识数学的本质呢？
可能性非常小。
因为小学生接触到的数学内容和数学思想太少太少，和中学比起来几乎可以忽略不计。
除非像那些早慧神童一般，提前学习中学知识。
但是，这又有两个问题。
第一，并非所有小学生都发展这么快。
第二，即使小学生能发展这么快，中学的形式符号是否适合小学生现阶段思维方式，还值得商榷。

学父五迁

我这里介绍一本数学科普读物《趣味几何学（俄）别莱利曼》。

参见这个帖子。

http://www.xingfudgy.com/forum.php?mod=viewthread&tid=30554


真正要读懂《趣味几何学（俄）别莱利曼》这本书，还是需要中学的几何代数知识基础。
不过，这本书中的开头部分十分直观平易，贴近现实，学过比例关系的小学生就已经足以理解其中的数学思想了。
所以，我觉得这本书适合高年级小学生向中学数学思想的过渡。

学父五迁

除了提前接触一些由浅入深的中学读物之外，还有没有办法呢？
小学生一定需要掌握中学数学的形式符号，才能够开始接触深刻的数学思想吗？

这是我一直在思考的问题。
通过查阅各方面的案例，我发现，其实是有办法的。
只是，需要师长非常非常精心的设计，就可以让刚上学的小学生也直观地体会数学模型变化规律，
以及分析数学模型变化规律的重要思想。

学父五迁

接下来，通过一个例子，介绍一下这种设计的思路。

学父五迁

小学生数数的时候，已经建立了连续的变化规律的概念：从1开始递增的自然数列，1, 2, 3 ......

只是，接下来的加减法符号训练，打断了这种连续变化的感觉。

（如果只是为了帮助小学生学会了几个苹果加几个苹果，你很难理解课本竟然在加减法上耗费了如此多的篇幅和课时。
因此，这时训练的主要不是加减法思想本身，而是加减法符号。）

学父五迁

有没有可能把这种连续变化的感觉，持续下去呢？
完全有可能。
而且，可以帮助小学生直接体验非常“高等”的数学思想和数学方法，不需要了解任何形式符号。

学父五迁

下面介绍这种阶梯模型、数列数阵的设计思路。

这个游戏情境本身极为简单，就像搭积木一样，搭出简单的立方格阶梯模型。
但是，其中蕴含的数学思想和数学方法极为深刻，直通顶峰——
多元微积分数量场中的等值线、梯度、方向导数、偏导数、全微分等思想，
空间解析几何中的斜面、截面、截线等情境。

学父五迁

下面开始。

学父五迁

我们用立方格搭建出一个阶梯数量模型。

                             口
                          口口
                      口口口
                   口口口口
               口口口口口
            口口口口口口
         口口口口口口口
      口口口口口口口口
   口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

这条阶梯如何用数字记录下来呢？
用一行数列足矣。

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

这行数列不仅记录了每一级台阶的高度，还记录了阶梯增长的方向——从左到右。

学父五迁

如果给出这样一个数列，

10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1

这意味着什么呢？
这意味着一条从左向右递降的阶梯。

口
口口
口口口
口口口口
口口口口口
口口口口口口
口口口口口口口
口口口口口口口口
口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口

学父五迁

如果给出这样一个数列，

2, 4, 6, 8, 10

这意味着什么呢？
这意味着一条阶梯，从左到右升高，每一级升高两个立方格的高度。

          口
          口
        口口
        口口
      口口口
      口口口
   口口口口
   口口口口
口口口口口
口口口口口

可以看到，这个阶梯相当陡峭。

学父五迁

如果给出这样一个数列，

1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1

这意味着什么呢？
这意味着一条先升高、后下降的阶梯。

        口
      口口口
    口口口口口
  口口口口口口口
口口口口口口口口口

学父五迁

如果给出这样一个数列，

1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 2, 1 ......

这意味着什么呢？
这意味着一条周期性升降的阶梯。

      口         口
   口口口   口口口
口口口口口口口口口

学父五迁

前面给出的例子中，阶梯升降变化的方向都是横向的左右方向。
下面我们给出一个纵向的前后方向的例子。

学父五迁

如果给出这样一个数列，

10
9
8
7
6
5
4
3
2
1

这意味着什么呢？
这意味着，我们面前恰好摆着一条窄窄的阶梯，向着前方一级级升高。
我们一抬脚，就可以走上阶梯，步步登高。

学父五迁

如果给出这样一个数阵（数阵的意思就是，不止一行、也不止一列的数字阵列），

10, 10
9,  9
8,  8
7,  7
6,  6
5,  5
4,  4
3,  3
2,  2
1,  1

这意味着什么呢？
这意味着，我们面前恰好摆着一个台阶宽度为两个立方格的阶梯，向着前方一级级升高。

学父五迁

如果给出这样一个数阵，

10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10
9,  9,  9,  9,  9,  9,  9,  9,  9,  9
8,  8,  8,  8,  8,  8,  8,  8,  8,  8
7,  7,  7,  7,  7,  7,  7,  7,  7,  7
6,  6,  6,  6,  6,  6,  6,  6,  6,  6
5,  5,  5,  5,  5,  5,  5,  5,  5,  5
4,  4,  4,  4,  4,  4,  4,  4,  4,  4
3,  3,  3,  3,  3,  3,  3,  3,  3,  3
2,  2,  2,  2,  2,  2,  2,  2,  2,  2
1,  1,  1,  1,  1,  1,  1,  1,  1,  1

这意味着什么呢？
这意味着，我们面前恰好摆着一个台阶宽度为十个立方格的很宽的阶梯，向着前方一级级升高。

学父五迁

第一级阶梯的高度为一个立方格。

口口口口口口口口口口

恰好对应于数阵的第一行（从下向上数）。

1,  1,  1,  1,  1,  1,  1,  1,  1,  1

第二级阶梯的高度为两个立方格。

口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口

恰好对应于数阵的第二行（从下向上数）。

2,  2,  2,  2,  2,  2,  2,  2,  2,  2

第五级阶梯的高度为两个立方格。

口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口

恰好对应于数阵的第五行（从下向上数）。

5,  5,  5,  5,  5,  5,  5,  5,  5,  5

学父五迁

这个宽阶梯的高度变化规律非常明显。
横向（左右方向）来看，每一级台阶的高度，都是相同的。

学父五迁

纵向（前后方向）来看，每一条窄阶梯都是向前升高的。

10
9
8
7
6
5
4
3
2
1