如何帮助小学生深入理解、深刻认识数学的本质

学父五迁

把这个宽阶梯中的高度相等的位置，用线连起来，就相当于地形图中的等高线（等值线）。
等高线（等值线）表现在数阵中，就相当于把数字相同的位置，用线连起来。
这个数阵中的等值线，就是每一行相等的数字。

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上面的数阵转个方向（顺时针转90度），

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

这又意味着什么？
这意味着，上面的那个阶梯模型也转了一个方向，从左向右升高。
这个数阵中的等值线，就是每一列相等的数字。

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为了更好地描述上述数学模型，我们给上面的两个数阵编上行号和列号。

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从前往后（从下到上）升高的宽阶梯数阵。

第10行: 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10
第 9行:  9,  9,  9,  9,  9,  9,  9,  9,  9,  9
第 8行:  8,  8,  8,  8,  8,  8,  8,  8,  8,  8
第 7行:  7,  7,  7,  7,  7,  7,  7,  7,  7,  7
第 6行:  6,  6,  6,  6,  6,  6,  6,  6,  6,  6
第 5行:  5,  5,  5,  5,  5,  5,  5,  5,  5,  5
第 4行:  4,  4,  4,  4,  4,  4,  4,  4,  4,  4
第 3行:  3,  3,  3,  3,  3,  3,  3,  3,  3,  3
第 2行:  2,  2,  2,  2,  2,  2,  2,  2,  2,  2
第 1行:  1,  1,  1,  1,  1,  1,  1,  1,  1,  1

        第  第  第  第  第  第  第  第  第  第
         1   2   3   4   5   6   7   8   9  10
        列  列  列  列  列  列  列  列  列  列

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从左向右升高的宽阶梯数阵。

第10行:  1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9, 10
第 9行:  1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9, 10
第 8行:  1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9, 10
第 7行:  1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9, 10
第 6行:  1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9, 10
第 5行:  1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9, 10
第 4行:  1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9, 10
第 3行:  1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9, 10
第 2行:  1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9, 10
第 1行:  1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9, 10

        第  第  第  第  第  第  第  第  第  第
         1   2   3   4   5   6   7   8   9  10
        列  列  列  列  列  列  列  列  列  列

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有了行号和列号，我们就可以很容易定位数阵中的某个位置。
比如，我们给出上面数阵中的一个位置：第8行、第7列
我们立刻就能找到这个位置上的数字：7

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对于数阵中的每一个位置，我们都可以给出该位置对应的行列方向上的变化规律。
比如，我们给出上面数阵中的一个位置：第8行、第7列。
我们很容易就可以看出，第8行的数列是一个递增数列，第七列的数字都相等，都等于7。

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我们甚至可以取出对应位置的行和列，单独进行研究。
（这实际上就是求两个最重要的方向导数——x轴和y轴方向的偏导数——的数学思想）

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第 8行:  1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9, 10

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7
7
7
7
7
7
7
7
7
7

第
7
列

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上面两个数阵的变化规律太简单。
下面，我们把这两个数阵叠加起来。
即，数阵中对应位置上的数字加起来，阶梯模型中对应位置上的立方格叠放起来。

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一下子就开始进行数阵的叠加，跳跃有些大。
我们慢慢来，先熟悉两个数列的叠加。

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同上面一样，我们先构造一个1到9的阶梯。

为什么构造1到9，而不是1到10？
这只是为了顺便熟悉一下十进制加法中的“补数”思想。

我们用立方格搭建出一个阶梯数量模型。

                口
              口口
            口口口
          口口口口
        口口口口口
      口口口口口口
    口口口口口口口
  口口口口口口口口
口口口口口口口口口
1 2 3 4 5 6 7 8 9

这条阶梯如何用数字记录下来呢？
用一行数列足矣。

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

这行数列不仅记录了每一级台阶的高度，还记录了阶梯增长的方向——从左到右。

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把上面的阶梯模型和数列倒过来。

9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1

这是一条从左向右递降的阶梯。

口
口口
口口口
口口口口
口口口口口
口口口口口口
口口口口口口口
口口口口口口口口
口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口

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现在，把这两个数列叠加起来，对应的阶梯模型也叠加。

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1

这两行加起来，得到一个全都是10的数列。

10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10

两个阶梯模型叠放在一起之后，就得到了一个高度相等（等于10）的墙。

口口口口口口口口口
口口口口口口口口口
口口口口口口口口口
口口口口口口口口口
口口口口口口口口口
口口口口口口口口口
口口口口口口口口口
口口口口口口口口口
口口口口口口口口口
口口口口口口口口口

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小学生可以自己构造（递增等差）数列，再倒过来，叠加在一起。
这种体验有助于将来推导等差数列求和的算法。

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熟悉了数列的叠加之后，
下面，我们把上述两个数阵叠加起来。
即，数阵中对应位置上的数字加起来，阶梯模型中对应位置上的立方格叠放起来。

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我们就得到这么一个阶梯数阵。

第10行: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20
第  9行: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19
第  8行:   9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18
第  7行:   8,   9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17
第  6行:   7,   8,  9, 10,  11, 12, 13, 14, 15, 16
第  5行:   6,   7,  8,   9,  10, 11, 12, 13, 14, 15
第  4行:   5,   6,  7,   8,   9,  10, 11, 12, 13, 14
第  3行:   4,   5,  6,   7,   8,   9,  10, 11, 12, 13
第  2行:   3,   4,  5,   6,   7,   8,   9,  10, 11, 12
第  1行:   2,   3,  4,   5,   6,   7,   8,   9,  10, 11

        第  第  第  第  第  第  第  第  第  第
         1   2   3   4   5   6   7   8   9  10
        行  行  行  行  行  行  行  行  行  行

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如果您对这个数阵的构造过程，仍然不是很清楚的话，
您还可以用一种更简单的方式来构造这个数阵。
对于这个数阵中的每个位置，您只要把那个位置对应的行号和列号加起来，
就得到了那个位置上的数字。
比如，第6行、第9列的位置上的那个数字，就是行号6和列号9加起来后的结果15。
看到这里，这个数阵的真面目已经昭然若揭。
这个数阵实际上就是一个加法表。

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为了更好地研究这个数阵的性质，我们把行号和列号去掉，并加上行间距。


11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20

10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19

  9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18

  8,   9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17

  7,   8,   9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16

  6,   7,   8,   9, 10, 11, 12, 13, 14, 15

  5,   6,   7,   8,   9, 10, 11, 12, 13, 14

  4,   5,   6,   7,   8,   9, 10, 11, 12, 13

  3,   4,   5,   6,   7,   8,   9, 10, 11, 12

  2,   3,   4,   5,   6,   7,   8,   9, 10, 11