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楼主: 学父五迁

[教育专版] 如何帮助小学生深入理解、深刻认识数学的本质 [复制链接]

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发表于 2015-11-9 11:47:18 |显示全部楼层
把这个宽阶梯中的高度相等的位置,用线连起来,就相当于地形图中的等高线(等值线)。
等高线(等值线)表现在数阵中,就相当于把数字相同的位置,用线连起来。
这个数阵中的等值线,就是每一行相等的数字。

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发表于 2015-11-9 11:47:45 |显示全部楼层
上面的数阵转个方向(顺时针转90度),

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

这又意味着什么?
这意味着,上面的那个阶梯模型也转了一个方向,从左向右升高。
这个数阵中的等值线,就是每一列相等的数字。

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发表于 2015-11-9 11:48:18 |显示全部楼层
为了更好地描述上述数学模型,我们给上面的两个数阵编上行号和列号。

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发表于 2015-11-9 11:48:46 |显示全部楼层
从前往后(从下到上)升高的宽阶梯数阵。

第10行: 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10
第 9行:  9,  9,  9,  9,  9,  9,  9,  9,  9,  9
第 8行:  8,  8,  8,  8,  8,  8,  8,  8,  8,  8
第 7行:  7,  7,  7,  7,  7,  7,  7,  7,  7,  7
第 6行:  6,  6,  6,  6,  6,  6,  6,  6,  6,  6
第 5行:  5,  5,  5,  5,  5,  5,  5,  5,  5,  5
第 4行:  4,  4,  4,  4,  4,  4,  4,  4,  4,  4
第 3行:  3,  3,  3,  3,  3,  3,  3,  3,  3,  3
第 2行:  2,  2,  2,  2,  2,  2,  2,  2,  2,  2
第 1行:  1,  1,  1,  1,  1,  1,  1,  1,  1,  1

        第  第  第  第  第  第  第  第  第  第
         1   2   3   4   5   6   7   8   9  10
        列  列  列  列  列  列  列  列  列  列

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发表于 2015-11-9 11:49:09 |显示全部楼层
从左向右升高的宽阶梯数阵。

第10行:  1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9, 10
第 9行:  1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9, 10
第 8行:  1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9, 10
第 7行:  1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9, 10
第 6行:  1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9, 10
第 5行:  1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9, 10
第 4行:  1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9, 10
第 3行:  1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9, 10
第 2行:  1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9, 10
第 1行:  1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9, 10

        第  第  第  第  第  第  第  第  第  第
         1   2   3   4   5   6   7   8   9  10
        列  列  列  列  列  列  列  列  列  列

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发表于 2015-11-9 11:49:24 |显示全部楼层
有了行号和列号,我们就可以很容易定位数阵中的某个位置。
比如,我们给出上面数阵中的一个位置:第8行、第7列
我们立刻就能找到这个位置上的数字:7

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发表于 2015-11-9 11:49:51 |显示全部楼层
对于数阵中的每一个位置,我们都可以给出该位置对应的行列方向上的变化规律。
比如,我们给出上面数阵中的一个位置:第8行、第7列。
我们很容易就可以看出,第8行的数列是一个递增数列,第七列的数字都相等,都等于7。

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发表于 2015-11-9 11:51:05 |显示全部楼层
我们甚至可以取出对应位置的行和列,单独进行研究。
(这实际上就是求两个最重要的方向导数——x轴和y轴方向的偏导数——的数学思想)

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发表于 2015-11-9 11:51:28 |显示全部楼层
第 8行:  1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9, 10

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发表于 2015-11-9 11:51:50 |显示全部楼层

7
7
7
7
7
7
7
7
7
7


7

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发表于 2015-11-9 11:52:18 |显示全部楼层
上面两个数阵的变化规律太简单。
下面,我们把这两个数阵叠加起来。
即,数阵中对应位置上的数字加起来,阶梯模型中对应位置上的立方格叠放起来。

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发表于 2015-11-9 11:52:38 |显示全部楼层
一下子就开始进行数阵的叠加,跳跃有些大。
我们慢慢来,先熟悉两个数列的叠加。

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发表于 2015-11-9 11:53:21 |显示全部楼层
同上面一样,我们先构造一个1到9的阶梯。

为什么构造1到9,而不是1到10?
这只是为了顺便熟悉一下十进制加法中的“补数”思想。

我们用立方格搭建出一个阶梯数量模型。

                口
              口口
            口口口
          口口口口
        口口口口口
      口口口口口口
    口口口口口口口
  口口口口口口口口
口口口口口口口口口
1 2 3 4 5 6 7 8 9

这条阶梯如何用数字记录下来呢?
用一行数列足矣。

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

这行数列不仅记录了每一级台阶的高度,还记录了阶梯增长的方向——从左到右。

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发表于 2015-11-9 11:53:39 |显示全部楼层
把上面的阶梯模型和数列倒过来。

9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1

这是一条从左向右递降的阶梯。


口口
口口口
口口口口
口口口口口
口口口口口口
口口口口口口口
口口口口口口口口
口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口

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发表于 2015-11-9 11:54:05 |显示全部楼层
现在,把这两个数列叠加起来,对应的阶梯模型也叠加。

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1

这两行加起来,得到一个全都是10的数列。

10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10

两个阶梯模型叠放在一起之后,就得到了一个高度相等(等于10)的墙。

口口口口口口口口口
口口口口口口口口口
口口口口口口口口口
口口口口口口口口口
口口口口口口口口口
口口口口口口口口口
口口口口口口口口口
口口口口口口口口口
口口口口口口口口口
口口口口口口口口口

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发表于 2015-11-9 11:54:22 |显示全部楼层
小学生可以自己构造(递增等差)数列,再倒过来,叠加在一起。
这种体验有助于将来推导等差数列求和的算法。

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发表于 2015-11-9 11:54:42 |显示全部楼层
熟悉了数列的叠加之后,
下面,我们把上述两个数阵叠加起来。
即,数阵中对应位置上的数字加起来,阶梯模型中对应位置上的立方格叠放起来。

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发表于 2015-11-9 11:55:08 |显示全部楼层
本帖最后由 学父五迁 于 2015-11-9 11:57 编辑

我们就得到这么一个阶梯数阵。

第10行: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20
第  9行: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19
第  8行:   9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18
第  7行:   8,   9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17
第  6行:   7,   8,  9, 10,  11, 12, 13, 14, 15, 16
第  5行:   6,   7,  8,   9,  10, 11, 12, 13, 14, 15
第  4行:   5,   6,  7,   8,   9,  10, 11, 12, 13, 14
第  3行:   4,   5,  6,   7,   8,   9,  10, 11, 12, 13
第  2行:   3,   4,  5,   6,   7,   8,   9,  10, 11, 12
第  1行:   2,   3,  4,   5,   6,   7,   8,   9,  10, 11

        第  第  第  第  第  第  第  第  第  第
         1   2   3   4   5   6   7   8   9  10
        行  行  行  行  行  行  行  行  行  行

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发表于 2015-11-9 11:55:32 |显示全部楼层
如果您对这个数阵的构造过程,仍然不是很清楚的话,
您还可以用一种更简单的方式来构造这个数阵。
对于这个数阵中的每个位置,您只要把那个位置对应的行号和列号加起来,
就得到了那个位置上的数字。
比如,第6行、第9列的位置上的那个数字,就是行号6和列号9加起来后的结果15。
看到这里,这个数阵的真面目已经昭然若揭。
这个数阵实际上就是一个加法表。

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发表于 2015-11-9 11:59:41 |显示全部楼层
本帖最后由 学父五迁 于 2015-11-9 12:02 编辑

为了更好地研究这个数阵的性质,我们把行号和列号去掉,并加上行间距。


11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20

10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19

  9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18

  8,   9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17

  7,   8,   9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16

  6,   7,   8,   9, 10, 11, 12, 13, 14, 15

  5,   6,   7,   8,   9, 10, 11, 12, 13, 14

  4,   5,   6,   7,   8,   9, 10, 11, 12, 13

  3,   4,   5,   6,   7,   8,   9, 10, 11, 12

  2,   3,   4,   5,   6,   7,   8,   9, 10, 11
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