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[教育专版] 如何帮助小学生深入理解、深刻认识数学的本质 [复制链接]

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发表于 2015-11-9 11:33:04 |显示全部楼层
小学生有没有可能深入理解、深刻认识数学的本质呢?
可能性非常小。
因为小学生接触到的数学内容和数学思想太少太少,和中学比起来几乎可以忽略不计。
除非像那些早慧神童一般,提前学习中学知识。
但是,这又有两个问题。
第一,并非所有小学生都发展这么快。
第二,即使小学生能发展这么快,中学的形式符号是否适合小学生现阶段思维方式,还值得商榷。

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发表于 2015-11-9 11:34:09 |显示全部楼层
我这里介绍一本数学科普读物《趣味几何学(俄)别莱利曼》。

参见这个帖子。

http://www.xingfudgy.com/forum.php?mod=viewthread&tid=30554


真正要读懂《趣味几何学(俄)别莱利曼》这本书,还是需要中学的几何代数知识基础。
不过,这本书中的开头部分十分直观平易,贴近现实,学过比例关系的小学生就已经足以理解其中的数学思想了。
所以,我觉得这本书适合高年级小学生向中学数学思想的过渡。

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发表于 2015-11-9 11:34:39 |显示全部楼层
除了提前接触一些由浅入深的中学读物之外,还有没有办法呢?
小学生一定需要掌握中学数学的形式符号,才能够开始接触深刻的数学思想吗?

这是我一直在思考的问题。
通过查阅各方面的案例,我发现,其实是有办法的。
只是,需要师长非常非常精心的设计,就可以让刚上学的小学生也直观地体会数学模型变化规律,
以及分析数学模型变化规律的重要思想。

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发表于 2015-11-9 11:35:06 |显示全部楼层
接下来,通过一个例子,介绍一下这种设计的思路。

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发表于 2015-11-9 11:35:41 |显示全部楼层
小学生数数的时候,已经建立了连续的变化规律的概念:从1开始递增的自然数列,1, 2, 3 ......

只是,接下来的加减法符号训练,打断了这种连续变化的感觉。

(如果只是为了帮助小学生学会了几个苹果加几个苹果,你很难理解课本竟然在加减法上耗费了如此多的篇幅和课时。
因此,这时训练的主要不是加减法思想本身,而是加减法符号。)

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发表于 2015-11-9 11:36:08 |显示全部楼层
有没有可能把这种连续变化的感觉,持续下去呢?
完全有可能。
而且,可以帮助小学生直接体验非常“高等”的数学思想和数学方法,不需要了解任何形式符号。

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发表于 2015-11-9 11:36:33 |显示全部楼层
下面介绍这种阶梯模型、数列数阵的设计思路。

这个游戏情境本身极为简单,就像搭积木一样,搭出简单的立方格阶梯模型。
但是,其中蕴含的数学思想和数学方法极为深刻,直通顶峰——
多元微积分数量场中的等值线、梯度、方向导数、偏导数、全微分等思想,
空间解析几何中的斜面、截面、截线等情境。

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发表于 2015-11-9 11:36:52 |显示全部楼层
下面开始。

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发表于 2015-11-9 11:37:20 |显示全部楼层
我们用立方格搭建出一个阶梯数量模型。

                             口
                          口口
                      口口口
                   口口口口
               口口口口口
            口口口口口口
         口口口口口口口
      口口口口口口口口
   口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

这条阶梯如何用数字记录下来呢?
用一行数列足矣。

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

这行数列不仅记录了每一级台阶的高度,还记录了阶梯增长的方向——从左到右。

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发表于 2015-11-9 11:40:10 |显示全部楼层
如果给出这样一个数列,

10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1

这意味着什么呢?
这意味着一条从左向右递降的阶梯。


口口
口口口
口口口口
口口口口口
口口口口口口
口口口口口口口
口口口口口口口口
口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口

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发表于 2015-11-9 11:41:11 |显示全部楼层
如果给出这样一个数列,

2, 4, 6, 8, 10

这意味着什么呢?
这意味着一条阶梯,从左到右升高,每一级升高两个立方格的高度。

          口
          口
        口口
        口口
      口口口
      口口口
   口口口口
   口口口口
口口口口口
口口口口口

可以看到,这个阶梯相当陡峭。

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发表于 2015-11-9 11:41:57 |显示全部楼层
如果给出这样一个数列,

1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1

这意味着什么呢?
这意味着一条先升高、后下降的阶梯。

        口
      口口口
    口口口口口
  口口口口口口口
口口口口口口口口口

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发表于 2015-11-9 11:42:37 |显示全部楼层
如果给出这样一个数列,

1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 2, 1 ......

这意味着什么呢?
这意味着一条周期性升降的阶梯。

      口         口
   口口口   口口口
口口口口口口口口口

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发表于 2015-11-9 11:43:19 |显示全部楼层
前面给出的例子中,阶梯升降变化的方向都是横向的左右方向。
下面我们给出一个纵向的前后方向的例子。

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发表于 2015-11-9 11:43:36 |显示全部楼层
如果给出这样一个数列,

10
9
8
7
6
5
4
3
2
1

这意味着什么呢?
这意味着,我们面前恰好摆着一条窄窄的阶梯,向着前方一级级升高。
我们一抬脚,就可以走上阶梯,步步登高。

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发表于 2015-11-9 11:44:11 |显示全部楼层
如果给出这样一个数阵(数阵的意思就是,不止一行、也不止一列的数字阵列),

10, 10
9,  9
8,  8
7,  7
6,  6
5,  5
4,  4
3,  3
2,  2
1,  1

这意味着什么呢?
这意味着,我们面前恰好摆着一个台阶宽度为两个立方格的阶梯,向着前方一级级升高。

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发表于 2015-11-9 11:44:58 |显示全部楼层
如果给出这样一个数阵,

10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10
9,  9,  9,  9,  9,  9,  9,  9,  9,  9
8,  8,  8,  8,  8,  8,  8,  8,  8,  8
7,  7,  7,  7,  7,  7,  7,  7,  7,  7
6,  6,  6,  6,  6,  6,  6,  6,  6,  6
5,  5,  5,  5,  5,  5,  5,  5,  5,  5
4,  4,  4,  4,  4,  4,  4,  4,  4,  4
3,  3,  3,  3,  3,  3,  3,  3,  3,  3
2,  2,  2,  2,  2,  2,  2,  2,  2,  2
1,  1,  1,  1,  1,  1,  1,  1,  1,  1

这意味着什么呢?
这意味着,我们面前恰好摆着一个台阶宽度为十个立方格的很宽的阶梯,向着前方一级级升高。

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发表于 2015-11-9 11:45:19 |显示全部楼层
第一级阶梯的高度为一个立方格。

口口口口口口口口口口

恰好对应于数阵的第一行(从下向上数)。

1,  1,  1,  1,  1,  1,  1,  1,  1,  1

第二级阶梯的高度为两个立方格。

口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口

恰好对应于数阵的第二行(从下向上数)。

2,  2,  2,  2,  2,  2,  2,  2,  2,  2

第五级阶梯的高度为两个立方格。

口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口

恰好对应于数阵的第五行(从下向上数)。

5,  5,  5,  5,  5,  5,  5,  5,  5,  5

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发表于 2015-11-9 11:46:07 |显示全部楼层
这个宽阶梯的高度变化规律非常明显。
横向(左右方向)来看,每一级台阶的高度,都是相同的。

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发表于 2015-11-9 11:46:26 |显示全部楼层
纵向(前后方向)来看,每一条窄阶梯都是向前升高的。

10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
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