如何帮助小学生深入理解、深刻认识数学的本质

学父五迁

这个数阵有一些非常有趣的性质。
首先，我们来看这个数阵在纵横两个方向上的变化规律。
我们可以发现，无论是横向，还是纵向，每一行、每一列上的数字都是一个递增数列。
其次，我们来看这个数阵中的等值线。
这个数阵中的等值线，都是斜向的（左上到右下）。
最后，我们发现，这个数阵中的数字，
是关于对角线（左下到右上那条对角线）对称的，
这反映了加法的交换律。

学父五迁

这个数阵的构造过程，包涵了10以内的加法表。
但这个情境的目的并非仅限于此。
这个情境蕴含了更多更深的数学思想，直观地展示了多元微积分数量场中的偏导数、方向导数、等值线、梯度等概念。
上述的几个阶梯模型，实际上就相当于数量场。
取出数阵中某个位置对应的行列，就相当于研究这个位置上的两个偏导数（两个最常用的方向导数）。
数阵中的等值线也非常直观，就是相等的数字连起来形成的线。
垂直于等值线的方向，实际上就是梯度向量的方向（变化率最大的方向，最陡峭的方向）。
从空间解析几何的角度来看，那几个宽阶梯模型的斜面对应的平面方程分别是 z = x, z = y, z = x + y。
取出其中第6列，就相当于用 x = 6 这个平面去截那个斜面（得到一条交线）。
取出其中第7行，就相当于用 y = 7 这个平面去截那个斜面（得到一条交线）。
这实际上正是多元函数求偏导数的算法本质。
全微分和偏导数之间的关系，也可以直接通过上述数阵中的两个方向上的递增关系直接“看”出来。
这些高等数学模型的基本情境，实质上就是这么简单，只是被课本上复杂的形式符号遮掩住了。
当然，这些高等模型涉及到的各种实际算法是极端复杂的，必须用到形式符号。
只是，理解模型本身，并不需要提前掌握形式符号。
而且，我认为，在掌握形式符号之前，应该提前理解模型本身，这样才能更好地理解和运用形式符号。

Elf

为啥矩阵什么的我都没学过？
这是几年级的内容啊？

学父五迁

Elf 发表于 2015-11-9 14:07
为啥矩阵什么的我都没学过？
这是几年级的内容啊？

上面的数字阵列不是矩阵，就是把数字按照行列排在一起而已。
就想象一个棋盘，在其中填上数字而已。
每个对应数字代表该棋盘格中立方格的数量（高度）。

敏锐

不懂

dream

请教学父，小孩现在初一，有没有关于数学和科学方面的书籍推荐啊？我在网上看了一下，适合小学生的倒是很多。谢谢啊！

学父五迁

dream 发表于 2015-11-13 15:45
请教学父，小孩现在初一，有没有关于数学和科学方面的书籍推荐啊？我在网上看了一下，适合小学生的倒是很多 ...

我倒是觉得，适合中学生的数学科普书籍，又多又好。
我在另外一个贴介绍的
趣味几何学
就很不错。

其余的，等我用电脑的时候，在上网回顾一下。

印象中，
有个数学教授，
张顺燕，

写过一些挺全面的数学纵览。
有一本好像叫做

数学的美与理

学父五迁

院士张景中写过很多数学科普读物。
还主持过
好玩儿的数学
系列。
不过，每一本覆盖的主题都有限。加起来，成本又比较高。

王树和写过一本纵览。

数学演义。

学父五迁

印象中，还有一些纵览型好书。以后用电脑上网再补充。

学父五迁

除了这些纵览型书籍之外，我个人非常看重空间几何变换做图方面。

尺规作图话古今

数学小丛书13 复数与几何

日本中学生数学丛书10  运动与变换   by 大山正信

学父五迁

我不太看重几何证明。
这方面有很多好书。
我无感，就不推荐了。

dream

谢谢学父，利得曼的趣味科学我差不多全买了，还有张顺燕的数学的理和美。

学父五迁

dream 发表于 2015-11-16 15:27
谢谢学父，利得曼的趣味科学我差不多全买了，还有张顺燕的数学的理和美。

趣味科学？
是趣味几何学那个作者的系列吗？
他还写过
趣味代数学
等。
我印象最深的是
趣味几何学。
现在还记得很多有趣内容。

dream

嗯，是的，几何学是其中一本，他可是个高产作家，写了100多本啊。

学父五迁

dream 发表于 2015-11-16 15:56
嗯，是的，几何学是其中一本，他可是个高产作家，写了100多本啊。

是啊。105本。
我好像看过好几本。
留下印象最深的就是
趣味几何学。

小宇妈妈

学父五迁 发表于 2015-11-9 11:37
我们用立方格搭建出一个阶梯数量模型。

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学父这个阵列居然是手一个框一个框敲的！！ 不容易。 如果有需要我可以用小积木块搭出来拍成照片发你学父。
我很感兴趣这个话题，一点点仔细看。

学父五迁

小宇妈妈 发表于 2015-11-19 11:44
学父这个阵列居然是手一个框一个框敲的！！ 不容易。 如果有需要我可以用小积木块搭出来拍成照片发你 ...

哈哈。
多谢。

我也可以用软件做图的。
就是嫌麻烦。

如果我用全角空格，也没有对齐问题。
但我就是懒。

记事本里，半角空格对齐了，我复制到浏览器，发现不能对齐，就随手加了几个空格。

你的立方块多吗？
如果超过一千，就可以代替蒙台梭利的十进制珠串。

你需要什么阶段的数学模型演示？
我试着用立方格演示出来。

小宇妈妈

学父五迁 发表于 2015-11-19 12:05
哈哈。
多谢。

我还没弄清楚我要啥，就是觉得在用数学符号之前应该熟悉用积木来表达和领会数学关系。
我家孩子小二，应该是比较擅长逻辑，我想可以在家和他理理，同时也是玩玩数学。
小立方体1000块没有，200左右应该是有的。

学父五迁

小宇妈妈 发表于 2015-11-19 12:57
我还没弄清楚我要啥，就是觉得在用数学符号之前应该熟悉用积木来表达和领会数学关系。
我家孩子小二，应 ...

二年级，应该要学到乘除法了。

我另外的帖子，
无代价应试


演示了
交换律，分配律，
因数分解，反比例关系面积中的对数关系，
各种应用题。


接下来，我打算引入
单位变换，
坐标基底变换，

为将来的矩阵变换打下基础。