“题海战术”的令人心酸的真相

学父五迁

下面描述一下矩阵初等行变换的过程。
为了清晰描述，我把每一步细节都记录下来了。
因此可能显得比上述的代入法繁琐复杂，实则不然，两者的繁简程度是一样的。
而且，如果熟悉了矩阵行变换之后，矩阵的写法更加简单，尤其适用于未知数更多的、更复杂的方程组。
当然，最重要的原因是，数学应用软件中的方程组形式，全都是矩阵形式。
如果要运用数学应用软件，必须熟悉矩阵方法。

如果使用矩阵初等行变换，需要先选取主列（换列）。
先看之前的矩阵。

           a1       a2      a3       a4

          C3H8      O2      CO2      H2O
碳（C）     3        0       -1        0
氢（H）     8        0       0        -2
氧（O）     0        2       -2       -1


可以看出，第三列、第四列、第二列 适合当主列
调整列顺序，行变换正负号，行约简。

            a3      a4     a2    a1

           CO2     H2O     O2   C3H8
碳（C）     1       0      0     -3
氢（H）     0       1      0     -4
氧（O）    -2      -1      2      0


第三行加上两倍的第一行、一倍的第二行。

          a3      a4     a2    a1

          CO2    H2O    O2   C3H8
碳（C）    1       0     0     -3
氢（H）    0       1     0     -4
氧（O）    0       0     2     -10

第三行约简。

          a3      a4     a2    a1

          CO2    H2O    O2   C3H8
碳（C）    1       0     0     -3
氢（H）    0       1     0     -4
氧（O）    0       0     1     -5


行变换完成。
这个矩阵写成方程式如下。

a3 - 3 a1 = 0
a4 - 4 a1 = 0
a2 - 5 a1 = 0

即

a3 = 3 a1
a4 = 4 a1
a2 = 5 a1

学父五迁

还是继续说说统计中的线性回归。
除了线性回归相关系数之外，课本内容（高考范围）还要求学生记下两个线性系数的公式。
（这两个线性系数相当于 y = ax + b 中的 a, b 系数）

这两个公式也相当复杂，尽管没有了根号形式，但也相当难记。

学父五迁

课本（人教版）中的阅读材料中给出了一种推导方法。
但这种推导方法不仅没有减轻负担，反而引入了一种难度更高的技巧——不等式配方法求极值。

“不等式配方法求极值”的技巧，是一种极为高难度的技巧。
这种技巧，即使连大学师生都难以掌握。
而且，用处很少。只有数学奥赛学生才能掌握，才有机会在奥赛中用到。

这意味着，普通学生几乎不可能利用这段推导方法来帮助记忆。

学父五迁

那么，求极值的通用方法是什么呢？
求导（求微商）。
线性回归有两个系数，a, b，因此就需要求 偏导（偏微商）。
这个技巧十分简单，很容易理解掌握。
很多概率统计学的大学课本讲的方法就是 求偏导。

学父五迁

所以，一个令人哭笑不得的事实是，中学中的一些算法的难度和复杂度上，远远高于大学的通用方法。

难怪数学家克莱因提出过“尽早在中学中引入高观点（在中学的初等数学引入高等数学观点）”。
遗憾的是，他在引入“高观点”的同时，还引入了“高形式”，使得这条路子的教学实验效果并不佳。

学父五迁

在线性回归的各种讲法中，最为形象直观漂亮的讲法，还要属于一些线性代数经典教程（如《线性代数及其应用 (美)David》）中的讲法。
在这种讲法中，最小二乘法有了形象的直观几何意义，一目了然。
而且这种讲法把相关的部分（平行分量）、不相关的部分（垂直分量）区分得清清楚楚，为以后学习统计学中更加复杂的相关打下基础。

学父五迁

一些人可能没有读到过（如《线性代数及其应用 (美)David》）中的这部分。
为了理解得更加深入，他们查到了麻省理工教材中的“最小二乘法”的直观几何意义讲法。
他们还编写了一个小册子《最小二乘法的几何意义》，
和《线性代数及其应用 (美)David》这本书的讲法是一致的。

学父五迁

总之，中学课本中阻碍理解的讲法，林林总总，不胜枚举。
大学课本呢？
这要问是哪一个大学的课本。
因为，每一个大学，基本上都用自己院校名师编写的课本，甚至很多大学都有自己的出版社。

我读过的大学教材中，绝大部分都是极难理解的形式推导形式，远远低于中学教材的平易程度。
只有少部分大学教材编得形象生动，超越了中学教材的平易程度。

学父五迁

Elf 发表于 2015-11-9 14:10
以后数理化问题就问楼主了

呵呵。欢迎之至。
欢迎大家一起探讨。

学父五迁

初等函数的微积分公式（求导），已经全面引入到高中课本，而且成为高考的考点。

学父五迁

高中课本直接给出了这些求导公式，学生只能硬记下来。

大多数的大学课本，给出了这些求导公式的形式推导过程，但是，形式上显得比较复杂，算法步骤繁多。

实际上，这些求导公式，都不需要记忆。

这些求导公式的推导过程，也不需要太多的形式推导，都有一些简洁直观的技巧。

下面一一介绍。

学父五迁

先从正弦、余弦函数开始。

正弦、余弦函数的导数，实际上不用记，而是可以直接“看”出来。

学父五迁

正弦、余弦函数有一个历史遗留下来的名字——三角函数。

其实，“三角”函数和三角形的关系，并不密切，
只是，三角形中有一些重要定理和“三角”函数相关，
如正弦定理、余弦定理（勾股定理的广义推广）。

学父五迁

“三角”函数和什么形状的关系最密切呢？
圆！
“三角”函数叫做“圆”函数，更加确切一些。
正弦余弦函数的图像中，横轴x轴方向上的分量（即，x值），
实际上就是圆弧（圆周上起点到某一点的圆弧）展开的长度。

学父五迁

很多时候，“三角”函数的种种特性，和“圆”结合起来，就一目了然了。

物理中，
速度就是反应位置变化的变化率（导数），
加速度是反应速度变化的的变化率（导数）。

正向（逆时针方向）的匀速的圆周运动，是一个刻画“正弦、余弦函数导数”的绝佳情境。

假设一个点（比如，垂直于磁力线方向飞入均匀磁力场的一个电子），做匀速圆周运动，运动轨迹为一个圆。
为了方便起见，假设圆周的半径是1（这是一个单位圆），
假设这个点的运动角速度（每一个位置对应的圆心角的变化率）是1弧度每秒。

那么，这个点的运动轨迹的参数方程如下。

x = cos(t)
y = sin(t)

学父五迁

运动轨迹的圆周上某一点（x, y）的导数，是什么呢？
恰好是该点的速度（速度方向是圆周上该点的切线方向）。

这个速度的方向恰好是圆周上这个点的切线方向。
这个切线恰好垂直于该点的半径（也是该点对应的向量），
这个切线相当于该点的半径正向（逆时针）旋转了90度(π/4)。

于是，可以直接“看”出 x, y 这一点沿横轴和纵轴两个方向上的分速度（即导数）。

x' = cos'(t) = cos( t + π/2)
y' = sin'(t) = sin( t + π/2)

这说明，正向匀速（1弧度/秒）单位圆周运动的速度（切线，导数）函数，也是一个圆，
而且，恰好比原函数（轨迹函数）提前了四分之一圆周——90度。

学父五迁

在场论中，上述场景是一个颇为高级的概念 -- 向量场中的导数。
何谓“向量场”？
这个概念非常简单。

普通的函数关系中，函数值一般都是一个标量。这种函数关系所在的场叫做数量场。

如果函数值不是一个标量，而是一个拥有多个分量（多个维度）的向量，这种函数关系所在的场就叫做向量场。

那两个参数方程中的导数，并非偏导数，而是两个方向（维度）上的分量函数各自的导数。

偏导数是数量场中的概念。
一个多元函数的函数值是一个标量。
该函数值对于某个分量变量的变化率，就称为该分量（维度）上的偏导数。

在变量的维度（分量或变量的个数）上，数量场和向量场都可能是多元（多维）的。
但是，在函数值的维度上，数量场的函数值是一个标量（只有一个分量），
向量场的函数值是一个向量（多个分量）。

当然，向量场的函数值的每个分量函数，函数值都是标量，每个分量函数都是一个数量场。

学父五迁

高中和大学的课本中的公式中是怎么写的？

cos'(t) = -sin(t)
sin'(t) = cos(t)

课本中的这个形式和上述结果是一致的，只需要转换一下即可。
但是，课本中的形式，在记忆难度上就大了许多，因为不仅是函数名变了，还有正负号参与其中。

学父五迁

这里给出的正向（逆时针）旋转90度（π/2）的形式，十分便于记忆，尤其是求高阶导数的时候。

比如，求上述圆周运动的向心力。
这就是位置函数的二阶导数。
这可以直接看出来。
因为我们已经知道，向心力（向心加速度）的方向正好和半径（向外）的方向相反，指向圆心。

于是，我们可以直接看出来轨迹函数的二阶导数（向心加速度）。

x'' = -x
y'' = -y

即，

x'' = cos''(t) = -cos( t )
y'' = sin''(t) = -sin( t )

学父五迁

这个圆周模型还有一个很大的好处。
可以非常直观地看出，正弦余弦函数的导数，恰好是四阶一个周期，回到了自身。
如果按照课本中的公式，要得到这个规律，还需要稍微想一下。