“题海战术”的令人心酸的真相

学父五迁

说说中学课本。
中学一线数学老师，开始大量运用教学软件《几何画板》制作课件，
对于中学教材改革起了很大促进作用。
中学课本中很多图例甚至建议的课后练习都是用《几何画板》做的。

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小学课本比我们从前那个时代形象生动多了，不多谈。

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中小学教材就是那几个出版社。
中小学教材的进步相当大。

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至于国内的大学为什么不普遍采用这种形象的线性代数教材？
这可能和利益链相关。
大学教材基本上都是本校的名师（也许是多年前）主持编写的。。。

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不同的教材，其理解难度天差地别。
线性代数的矩阵，折磨了无数学子。
网上流传着一系列文章《理解矩阵》，就反映了这种受折磨的普遍情境。

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这部教程的影响很大，都影响到了高中数学课本。
人教版《高中数学选修4-2.矩阵变换》的内容，和《线性代数及其应用》（(美)David）高度相似。
但我不能确认两者之间的联系。
我看过一些流行的向量微积分美国教材，包含了线性代数内容，其中的图例也几乎是一致的。
那些教材尚未翻译成中文。
国内的数学爱好者撰写了一部非常经典的《线性代数的几何意义》，其中也引用了这些图例。

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据我了解，公认的最好的线性代数教材是《线性代数及其应用》（(美)David）。
其中直接就给出了一个解方程组的例子——配平化学方程式。
看过这个例子之后，很容易就明白，再复杂的化学方程式，其配平过程也只不过是按部就班解方程组，不需要任何高级技巧。

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他能够考上清华，智力一定不错。
他之所以仍然没有脱离这个思想窠臼，我只能归因于他接触到的线性代数教材。
我不知道他学的是什么教材。
我看过一本清华大学出版社的《线性代数与解析几何》（俞正光著）。
其内容组织形式和国内其他院校线性代数教材（我也看过一些）大同小异，都是通篇的形式符号推导。

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清华学子谈到了一个高考技能——配平化学方程式。

清华学子写文时应该是大三了，应该学过了线性代数。
其实，没有学习线性代数，即使是普通的高中生，也理应能够明白这一点：
配平化学方程式并不需要什么特殊的技巧，只是一个解方程组的通用方法而已。

直到大三了，他仍然下意识地把“配平化学方程式”当做一种特殊技能。

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接下来，谈论一些具体的例子——高考中的考点。

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现代数学（二十世纪的数学发展）中一些内容非常抽象（比如，高维空间，纯粹的代数变换），没有直观的几何意义。
有些数学教育家认为，如果过于追求直观意义，可能会影响一些纯抽象理论的学习。
这个问题，我不关心，也不了解。
因为，大部分人（比如我）只需要学习到古典数学就为止了，很少有机会用到现代数学。
一般是数学系（或者某些偏理论的硕士），才会专门学现代数学方法。

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听起来，好像很抽象、很难懂的样子，幸运的是，大中小学数学（古典数学）的内容，都有直观的几何意义和物理意义。
数学模型（函数关系）的变化规律，都有对应的直观几何意义：切线、截线、切面、截面、曲线、曲面，等等。

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中小学的初等函数，主要是一些常见的变化规律（如线性、幂次多项式、指数、对数、正余弦等）。
这些初等函数，是微分方程中常见的通解形式。

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多元微积分方程，用来做什么呢？
就是根据细微局部的变化规律（微分），推导出整体的变化规律（求解微分方程，需要用到积分等方法）。

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大中小学的数学内容，基本上围绕着十九世纪初就大致发展完善的古典数学，以多元微积分方程为里程碑。
各行各业的应用中，多元微积分方程是应用最广的内容。
大中小学的数学，基本上都在为多元微积分方程做准备工作。

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我的看法非常乐观。
复杂度，并不意味着难度。
数学中，大部分的算法复杂度，只是一些细节处理而已。
数学的主脉，并不复杂，也没有太高的理解难度。
数学的主要内容，都是围绕着数学模型（主要指函数关系）的变化规律展开的。
只要消除了语言形式符号上的难度，数学本身的理解难度就几乎消除了，呈现出一片坦途。

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这个问题实际上是在问：除了形式符号上的难度之外，数学本身有难度吗？大部分人都能理解吗？毕竟，数学的算法那么复杂。

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现在，我们做个科幻一般的假设。
假设（仍以数学为例），教材中的所有形式符号，都配上浅显易懂的图文说明（甚至动画演示、软件构型等），
那么，数学还有难度吗？

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有师长说：“小学的数学，与其说是数学问题，不如说是语言问题。既有自然语言理解问题，也有形式符号理解问题。”
实际上，到了中学，数学更是语言问题——中学的形式符号更加复杂。
到了大学。。。。。欢迎来到符箓世界。

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有人说：中小学都是满堂灌的填鸭式教育。
很少有人谈到大学。
实际上，看看大学的“大课”上的上百个学生济济一堂，再看看几十本砖头式的大学教材，
方才明白，什么才是真正的“填鸭”。