“题海战术”的令人心酸的真相

学父五迁

清华学子谈到了一个高考技能——配平化学方程式。

清华学子写文时应该是大三了，应该学过了线性代数。
其实，没有学习线性代数，即使是普通的高中生，也理应能够明白这一点：
配平化学方程式并不需要什么特殊的技巧，只是一个解方程组的通用方法而已。

直到大三了，他仍然下意识地把“配平化学方程式”当做一种特殊技能。

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他能够考上清华，智力一定不错。
他之所以仍然没有脱离这个思想窠臼，我只能归因于他接触到的线性代数教材。
我不知道他学的是什么教材。
我看过一本清华大学出版社的《线性代数与解析几何》（俞正光著）。
其内容组织形式和国内其他院校线性代数教材（我也看过一些）大同小异，都是通篇的形式符号推导。

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据我了解，公认的最好的线性代数教材是《线性代数及其应用》（(美)David）。
其中直接就给出了一个解方程组的例子——配平化学方程式。
看过这个例子之后，很容易就明白，再复杂的化学方程式，其配平过程也只不过是按部就班解方程组，不需要任何高级技巧。

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这部教程的影响很大，都影响到了高中数学课本。
人教版《高中数学选修4-2.矩阵变换》的内容，和《线性代数及其应用》（(美)David）高度相似。
但我不能确认两者之间的联系。
我看过一些流行的向量微积分美国教材，包含了线性代数内容，其中的图例也几乎是一致的。
那些教材尚未翻译成中文。
国内的数学爱好者撰写了一部非常经典的《线性代数的几何意义》，其中也引用了这些图例。

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不同的教材，其理解难度天差地别。
线性代数的矩阵，折磨了无数学子。
网上流传着一系列文章《理解矩阵》，就反映了这种受折磨的普遍情境。

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至于国内的大学为什么不普遍采用这种形象的线性代数教材？
这可能和利益链相关。
大学教材基本上都是本校的名师（也许是多年前）主持编写的。。。

学父五迁

中小学教材就是那几个出版社。
中小学教材的进步相当大。

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小学课本比我们从前那个时代形象生动多了，不多谈。

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说说中学课本。
中学一线数学老师，开始大量运用教学软件《几何画板》制作课件，
对于中学教材改革起了很大促进作用。
中学课本中很多图例甚至建议的课后练习都是用《几何画板》做的。

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比如，高考的考点中有一个重要内容——圆锥曲线，
引入了丹迪林（dandelin）双球与圆锥内表面相切的立体模型，
思维巧妙，形象具体，展现了数学之美。

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当然，并非所有的教材改革都是亮点，其中也有缺点。

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现在的高考的考点中包括一个应用十分广泛的统计学内容——线性回归相关系数。
课本中没有给出“线性回归相关系数”的推导过程，直接给出了结果公式，
形式十分复杂（分母中含有根号），给人一种形式丑陋难记的感觉。
学生没有任何别的办法，只能机械记忆，机械应用。

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实际上，“线性回归相关系数”的直观几何意义十分简洁美妙，
就是两条垂线之间的夹角（余弦）。
理解到这一点之后，“线性回归相关系数”根本就不用记，
直接应用课本中已经讲过的向量内积余弦知识即可。

学父五迁

为什么不引入这个直观几何意义？

学父五迁

一个可能原因是不知道。
不仅是中学课本，在我读过的国内的大学课本（概率统计）中，也很难找到这种直观几何意义。
我读过的国外的概率统计课本，大部分也没有讲这种直观几何意义。
只有少部分(经典?)教材才讲到了“线性回归相关系数”的直观几何意义。

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还有一个可能原因是为了保证这部分知识点的独立性。
如果要引入“线性回归相关系数”的直观几何意义，就需要引入更多的相关背景内容。
在这样的考量下，就这么干巴巴地引进来了。

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在我看来，这种教材改革就是一种败笔。
生生把数学之美给丑化得丑陋不堪。

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这种干巴巴的引入，在考核上，没有太大意义，只能考核学生的机械记忆和应用能力。
在实用上，也没有多大意义。学生只学到了机械套用公式，考完了很快就忘了。
以后用到的时候，学生还是得重新查公式、套公式。
数学能力没有一点提升，还增加了对数学的反感。

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天就-蓝了 发表于 2015-11-5 15:44
学父这是要升级的节奏哇

哈哈。可不是。
打算卖卖电脑。。我是说，慢慢变老。 :D

学父五迁

Elf 发表于 2015-11-5 20:18
能详细讲讲吗，有啥诀窍很快地配平化学方程式吗

哈哈。这个简单哪。
就像把大象装进冰箱里一样。
第一步，把冰箱门打开。
第二步，把大象装进冰箱。
第三步，关上冰箱门。

配平化学方程式也是如此。
第一步，列出方程组。
第二步，解出方程组。
。。。


好吧。以上只是一个玩笑。
我不知道“快速”配平化学方程式的“诀窍”。
我只知道配平化学方程式的通用方法。

我就把《线性代数及其应用 (美)David》一书中的例子搬过来吧。
当丙烷气体燃烧时，丙烷（C3H8）与氧气（O2）结合产生二氧化碳（CO2）和水（H2O）。
形成如下的化学方程式。

(a1) C3H8 + (a2) O2 = (a3)CO2 + (a4)H2O

a1, a2, a3, a4 分别是四种分子的个数。

分子有上述4种。
所有的可能原子有碳（C）、氢（H）、氧（O）3种。

列个表格，列出每种分子中含有某种原子的个数。

          C3H8      O2      CO2      H2O
碳（C）     3        0       1        0
氢（H）     8        0       0        2
氧（O）     0        2       2        1


上述的化学方程式两边同时减去等式右端，变形如下。

(a1) C3H8 + (a2) O2 - (a3)CO2 - (a4)H2O = 0

上述的表格就变形如下（右端的分子中的原子个数变成负数）。

          C3H8      O2      CO2      H2O
碳（C）     3        0       -1        0
氢（H）     8        0       0        -2
氧（O）     0        2       -2       -1


如果学过矩阵初等行变换（非常简单，就是行之间加减乘除。原理同消元法一样），
那么，可以直接对上述矩阵进行初等行变换，得出结果。

如果没有学过矩阵初等行变换，那么，就列出下面的不定方程组。


3 a1             -   a3                 = 0
8 a1                        - 2 a4    = 0
         2 a2   - 2 a3   -    a4    = 0

用消元法或代入法解方程就行了。
这个方程组很适合用代入法，直接就可以看出  
a3 = 3 a1,   
a4 = 4 a1
代入最后一个方程，就可以得到
a2 = 5 a1

这是一个不定方程组，有无穷多组解。
取一组最小公约数为1的整数解即可。

a1 = 1
a2 = 5
a3 = 3
a4 = 4