旗帜鲜明的反对竖式

容宝爸爸

学父五迁 发表于 2014-11-22 14:11
这样吧。
先看三个具体问题。

今儿天气好，心情也好，也来挑战一下学父布置的作业：34908098898083535252÷498。
直接使用竖式法计算，无论大人还是孩纸都可能会对位对花了眼，或者一页草稿纸上演算不完就昏了头。

那么，试着考虑大事化小的思想同时结合稍做改良后的“竖式法”，分别执行如下计算过程：
1。先任意分段被除数，比如34908098898083535252 = 3490809，8898，08353，5252；
2。依次计算每个分段被除数，记录分段商，同时把本分段余数拼接到下一分段被除数之前再开始计算；
3。重复步骤2，直到所有分段都已经计算完毕；
4。最后把所有分段商依次拼接起来即是最终结果商，而最末分段的余数即是最终结果余数。

注：稍做改良“竖式法”，指合理吸取横式法的避免重复工作量的技巧，比如我们设想把中间结果记录在草稿纸的右上角，好像是一个九九表，只不过最多只有9个格子，每个格子里记录除数的某个1～9的整倍数，姑且称为“小9表”。
这样一方面，随着试算过程推进，“小9表”不断插入新值，而我们最多仅仅需要9次实际乘法运算（0乘任何数为0），即可在草稿纸右上角完整建立“小9表”，以后每一位的试算都直接查“小9表”，比较大小即可，也就是说，最多仅仅需要8次学父所说的草稿纸上的擦除试商失败结果的动作；另一方面，我们仍不放弃竖式法，能够看到的意义之一在于，每一步都严格只计算商的一位数，这样依次、规整、机械、重复的有限过程，其实非常有利于计算机器语言来描述，有助于我们理解如何让计算机来协助人类完成这些任务。


具体验算过程如下：
（一）第1分段3490809÷498的计算过程：
计算3490÷498
3490
3486
----------
0004（为了电脑显示排版整齐前面补0，实际草稿纸验算过程可不补0。）
这其中可能经历两次试商失败，不过也都把中间结果记录到草稿纸右上角的“小9表”，也不算走了弯路。
试商9失败：498×9=4482【可选速算：速算过程4482=（500-2）×9=4500-18】
试商8失败：498×8=3984【可选速算：速算过程3984=（500-2）×8=4000-16，验算3984=4482-498】
试商7成功：498×7=3486【可选速算：速算过程3486=（500-2）×7=3500-14，验算3486=3984-498】
所以，3490÷498=7（商）...4（余）

接下来算48÷498
48
00
------
48
试商0成功：48 < 498×1
所以，48÷498=0（商）...48（余）

接下来算480÷498
480
000
-------
480
试商0成功：480 < 498×1
所以，480÷498=0（商）...480（余）

接下来算4809÷498
4809
4482
---------
0327
试商9成功：参考草稿纸右上角的“小9表”的中间结果498×9=4482
所以，4809÷498=9（商）...327（余）


至此，分段3490809的计算结束：3490809498÷498=7009（商）...327（余），这里把余数327拼接到下一分段8898，记做(327)8898。

（二）第2分段(327)8898÷498的计算过程：
类似的，3278898÷498=6584（商）...66（余），把余数66拼接到下一分段08353，记做(66)08353。
（三）第3分段(66)08353÷498的计算过程：
类似的，6608353÷498=13269（商）...391（余），把余数391拼接到下一分段5252，记做(391)5252。
（四）第4分段(391)5252÷498的计算过程：
类似的，3915252÷498=7861（商）...474（余）。
注意到第4分段为被除数最末分段，依次拼接各分段商得到最终结果商，末分段余数即是最终结果余数：
34908098898083535252 = 3490809，8898，08353，5252
34908098898083535252÷498=7009，6584，13269，7861（商）...474（余）
34908098898083535252÷498=70096584132697861（商）...474（余）

最后提炼一下，这就是所谓的分治思想(divide-conquer)的实际应用：
当已知技术手段（比如竖式法）对大问题本身看似无能为力的时候，我们把原大问题等价拆分为多个已知技术手段可解的新小问题，然后再整合所有新小问题的解得到原大问题的解。

==========================================================================
引申一下，这个问题转化成：
小明的数学老师要大家完成一道除法题，他先在黑板上完整写出某个数作为除数，如835392，接着就在黑板上不停的写下一串数431343532343...，边写嘴里边说，“同学们别闲着啊，我在写被除数的时候，大家就开始算商，看谁算得最快。” ——怎么破，我们非得等到老师写完被除数再开始算商吗？如果我是小明，我肯定立刻动手，先在我的草稿纸的右上角先列出“小9表”（用加法乘法皆可）：
835392×1=835392
835392×2=1670784
835392×3=2506176
...
835392×9=7518528
然后我就开始从被除数的高位，开始一位数一位数的试商，查“小9表”，定商，求余数，。。。
也许不是班上脑子最敏捷或手脚最麻利的同学，但我相信这个的方法本身还是比较优化的，当然也期待其他同学更加天才的方法。

容宝爸爸

大家太抬举我了，我哪里牛啊，小码农一枚。
偶尔有些小点子，其实也不是原创的，或从这里哪里偷学而来，厚颜的自己竟记不得师出何处了。
今天想到分段被除数这个想法，先是直觉应该行，但起初并没有得到容妈的支持。
（是啊，跟领导说话怎么能够没根没据呀，所以就花了些时间写了个帖子。自我感觉就文章来说，立意不怎么高妙，就只求工笔清秀加点印象分了。）

孩纸教育我本人是外行，但还喜欢像孩纸一样充满好奇心的来探索吧。试着集中回复一下哈，如有不妥，请大家呵呵即可。
@容易妈：“那么，竖式法到底该不该教，在你看来？”
抱歉，我的观点可能让领导失望了。我个人目前认为，可能还是应该交给孩纸们这样一个“古板”而“没有人性”的办法，让他们体会这个计算过程。
这样一个运算过程是除法问题求解的一般抽象过程（抽象后会失去很多形象的元素），孩纸们应该接触这样一个解决问题的一般方法（一般方法对于具体问题的求解往往不是最优的；但是当其他最佳解法都不灵光的时候，还是得退到笨这个办法来。），通过一次次反复逐位求商体会这样一个迭代过程，而这种迭代过程也有所体现今后某些高大上的数学思想（如归纳法）等，还有试商的过程其实还是蛮有挑战性的，经过一些练习后孩纸的数的直觉可能会更好，失败的次数也越来越少，至少让他们形成正确判断当一次试商失败后，到底应该商+1还是商-1，而这些也会体现后来其他学科的某些方法（如算法设计的二分法）。对于方法本身的认识，甚至还可能作为孩纸批评性思维训练的良好素材，不回避“经典”存在的缺陷，大可想想办法可否改进。位数多了不容易对位怎么办？补零吧。试商过程重复计算怎么提升效率呢？维护和利用中间结果啊。（其实这两个办法我也是看了学父的帖子，在恍然大悟，尽管这些思想我在其他地方也常用，可我为什么以前没有想到用来解决这两个问题呢？！）

再说另一方面，我也承认竖式计算法本身就不是除法的全部，更不应该把这个方法交给孩纸后，让孩纸形成错觉这是除法的全部。我直到今天才被科普了学父推荐的链接后才明白，横式法竟然包含以前自己小学时候学的某些速算题涉及的心算或估算，不知道理解得对不对，也许把横式法称为“非竖式计算法”更能让人明白一些。我坚信这种心算（口算）以及其他估算过程与形象思维高度关联，确实很符合孩纸天性，而且可能也符合大部分人的日常的绝大多数思维活动，可谓是一个人的生存必备技能，比如超市白菜0.98元/斤，5斤共4.90元，这可以迅速准确心算；青菜1.58元/斤，3斤白菜和2斤青菜哪个贵，这个可以迅速估算。不知道这些口算估算法可不可以说是泡妈提到的属于自己的那50本书？

让孩纸们学会用斧头，也要会用剪刀，更重要的是要他们明白：什么时候该用剪刀，什么时候该用斧头。

@明月照我心：“这些个复杂的横式、改良竖式，打算是教给谁呢？小学生？”
我承认，这些个算法真没法教给他们，更不忍心让他们扮演计算机的角色去解决某些特定的问题。
不知道现不现实，如果能够抛砖引玉，让某些有兴趣的孩纸体会到这种方法改进背后的原因（为什么要改？为什么留？新的方法和旧的方法有何异同？甚至说我今后可不可以有更好的其他尝试呢？），那么我就很欣慰了。

@学父五迁：“分段法更是体现了多项式的思想。实际上，计算机中的并行运算，也是采取了类似的算法。”
1。您一说，我也觉得我上面的分段法有一点像多项式。
2。另外发现，我上面分段拼接这个算法的并行性不好，因为后一段被除数的计算总要依赖前一段余数进行拼接。
而泡泡用的那个办法，仿佛更体现多项式的精髓（被除数的每位数都要考虑的其对应的权值，如1，10，100，1000等），才能真正并行。例如125÷7，把被除数分拆100+25，（100+25）÷7=（100÷7）+（25÷7）。
先是divide部分：
100÷7=14（商）...2（余数）
25÷7=3（商）...4（余数）
注意到，两个除法运算都独立进行，互不依赖对方的输出作为自己的输入。

再是combine部分：
先是两个商直接相加14+3=17，而后再把余数相加（2+4）后再做一次除法：
（2+4）÷7=0（商）...6（余数），
把商0与17累计得到最终商17，余数6即是最终余数6，即：125÷7=17（商）...6（余数）。

3。好像我那种分段拼接方法，更适合解决无限的随机输入数据流，处理被除数的每一位数的策略总是相同的，也就是说并没有区分这位数所在位置对应的权值是多少，是10，100，1000等。也就是说当老师在黑白写被除数，写了很长很长一大段，但他在写完之前，你并不知道已知的被除数的第一位数到底对应的权值是100，还是1000，还是10000。。。，但是您在已知除数的前提下，仍然可以开始从被除数的第一位开始计算，而且确信这样算最终结果也是正确的。

具体使用我的分段法，来解决同样的问题：125÷7，把被除数分拆两段12，5。
第一步：12÷7=1（商）...5（余数）
第二步：(5)5÷7=7（商）...6（余数）
把商1与7依次拼接得到最终商17，末段余数6即是最终余数6，即：125÷7=17（商）...6（余数）。

注意到，第一步12÷7其实并不是（12×10）÷7，这就是我的方法和泡泡的方法的区别。

4。最后在补充一句，其实我那个所谓的拼接办法，真的会让明眼人呵呵的，或许大家明天早上就一醒来就立刻会心呵呵了。
说了那么多，只不过是把竖式计算法改换了一下记录方法而已。也就是把原来拼在一盘皮萨，分别把其中每一小块摆到圆桌上的每个小朋友面前的盘子里而已，而从吊灯角度俯视，这些皮萨依旧是一个圆饼啊，只不过分得开了些嘛。
这就像小学一年级时，我们写的等式：“2 + 3 = 5”；
到了高年级，却写成：
“2 + 3
= 5”

所以，这也是我没有再厚着脸证明我哪个所谓的“被除数分段法”的原因，真的没有什么技术含量，卖弄了这些文字，大家见谅才是。

容宝爸爸

学父五迁 发表于 2014-11-23 18:44
嘿嘿。这只是个诱饵。
如果除数是 99 呢？ 999 呢？

87568432=99x875684+875684+32=99x875684+875716
875716=99x8757+8757+16=99x8757+8773
8773=99x87+87+73=99x87+160
160=99x1+61
87568432÷99=875684+8757+87+1..61=884529..61

87568432=999x87568+87568+432=999x87568+88000
88000=999x88+88+0=999x88
87568432÷999=87568+88+0..88=87656..88

容宝爸爸

明月照我心 发表于 2014-11-23 16:11
887568432 ÷ 9这个东西为什么搞得这么复杂啊？有必要吗？

我认为数学的本质不是简单的东西复杂化，而是 ...

两种方法的计算量统计对比
A。明月的887568432 ÷ 9计算量统计如下：
如果该竖式过程由人来计算，计算量包含有：
8次1位数×1位数的乘法（可背直接99表）；
8次2位数-2位数的减法。

如果以上过程由计算机来模拟，计算量仍然包含有：
8次整数乘法；
8次整数减法。

B。学父的87568432÷ 9计算量统计如下：
先把被除数表达成（这一步假定由经验完成，不包含任何计算量）：
87568432= 8 X 10^6  X 9 +
(8 + 7) X 10^5 X 9 +
(8 + 7 + 5) X 10^4 X 9 +
(8 + 7 + 5 + 6) X 10^3 X 9 +
(8 + 7 + 5 + 6 + 8) X 10^2 X 9+
(8 + 7 + 5 + 6 + 8 + 4) X 10 X 9 +
(8 + 7 + 5 + 6 + 8 + 4 + 3) X 1 X 9 +
(8 + 7 + 5 + 6 + 8 + 4 + 3 +2)

然后87568432÷ 9的计算量等于如下多项式求和的计算量。
8 X 10^6 +
(8 + 7) X 10^5 +
(8 + 7 + 5) X 10^4  +
(8 + 7 + 5 + 6) X 10^3  +
(8 + 7 + 5 + 6 + 8) X 10^2+
(8 + 7 + 5 + 6 + 8 + 4) X 10  +
(8 + 7 + 5 + 6 + 8 + 4 + 3) X 1 +
(8 + 7 + 5 + 6 + 8 + 4 + 3 +2)

如果该多项式由人来计算，一般可以忽略1×10这次乘法的计算量（直接末尾添零），而且保留中间结果进行累加，计算量包含有：
7次1位数+2位数的加法，
7次多位数+多位数的加法。

如果以上过程由计算机来模拟，假定在2进制机器语言条件下不忽略1×10这次乘法的计算量，而且保留中间结果进行累加，计算量仍然包含有：
7次整数加法；
7次整数乘法；
7次整数加法。

C。说明。
明月的被除数是9位数887568432，学父的被除数是8位数87568432。

容宝爸爸

明月照我心 发表于 2014-11-23 19:56
岀个99，999，9999，99999…当然可以找规律找技巧，但更多是没什么规律的，这有时候需要熟练和记忆的呀。九 ...

看我下面的计算量统计，单从除数为9这道题，我个人认为，明月的计算过程工作量其实无论是人算还是机器算，都要稍占优势。（比较起做2位数+2位数的加法，至少我更习惯背99表做1位数×1位数的乘法。）

而除数为99时，有如下分析：
对于明月的方法，可以如果花费8次2位数×1位数乘法的计算量，提前构造99×1=99，99×2=198，99×3=297，。。。99×9=981这样一个表，然后查表可避免重复计算，那么仍然还需要做8次3位数-3位数的减法才能算出商和余数。
而学父的计算过程，前提是必须掌握构巧妙造多项式和计算商过程中迭代求和等高难度技巧，并假设由经验构造多项式不需要任何运算，这样还实际需要：3次2位数加法，2次3位数加法，6次2位数加法，1次2位数除法以上的计算量才求出商和余数。

至于除数为999呢，可用类似原理分析两种方法的运算量。

每个人的思维习惯都各不相同，而且任何方法都有学习成本和使用收益，所以至于说哪种方法更好，就智者见智了！人毕竟不是计算机。

容宝爸爸

学父五迁 发表于 2014-11-23 20:17
请根据上述结果，计算如下除法。

887568432 ÷ 495

哈哈，我不玩了。
我要假装像一个正常人类。

容宝爸爸

明月照我心 发表于 2014-11-23 22:19
B。学父的87568432÷ 9计算量统计如下：
先把被除数表达成（这一步假定由经验完成，不包含任何计算量） ...

明月的质疑，让人又怕又爱。
发现很多时候从相同或者不同角度出发，其实我也会得到和你相似或相同的结论。
不多说了，领导在催着断网了。

容宝爸爸

学父五迁 发表于 2014-11-23 23:11
嘿嘿。幸好讨论的是数学问题。随时都有具体实例可以验证。

明月可以随便抽查一个小学生（甚至初中生 ...

被老师点名回答问题，鸭梨山大。（我是在证明题，还在证明我自己呢？我还需要继续证明我自己吗？呵呵。还好我已经习惯容容妈总是笑话缺乏内在自信的人了。）

记忆中“循环小数”这个概念最初引入是在小学中高年级，大概是这样的描述性定义：
形如0.333..这样的无限位小数，其中重复出现的部分称为“循环节”，比如这里的“3”就是循环节（书上还会在3的头上印刷一点）。
又如0.1282828..这个循环小数，循环节是“28”。
如果按照这样的定义，学父的问题“求证循环小数的循环节必然存在”，那就按照定义自然成立了，当然我想这不太可能符合老师提问的初衷。

在后来学到分数时，小学高年级（初中？）书上给出一个规律（但没有证明）：任何一个分数可以表示为一个有限位的小数或者一个循环小数。
不知道学父是否想让同学们试着证明这个规律，这里也就姑且按照这个问题来做答吧。
先举个简单的例子1/3=0.33..=0.3(3），其中括号内为循环节。
10
09...商3
01...余1
-------------
10...余数×10继续被3除，注意1×10等于上面出现过的被除数10，也即意味着被除数重复，余数也会重复1，循环节出现！
09...商3
01...余1
-------------
10...余数×10继续被3除，注意1×10等于上面出现过的被除数10，也即意味着被除数重复，余数也会重复1，按照此规律无限循环下去！
09...商3
01...余1
-------------
10...余数×10继续被3除
.....


再举个复杂的例子1/7=0.142857(142857），其中括号内为循环节。
10
07...商1
03...余3
-------------
30...余数×10继续被7除
28...商4
02...余2
-------------
20...余数×10继续被7除
14...商2
06...余6
-------------
60...余数×10继续被7除
56...商8
04...余4
-------------
40...余数×10继续被7除
35...商5
05...余5
-------------
50...余数×10继续被7除
49...商7
01...余1
-------------
余数×10继续被3除，注意1×10等于上面出现过的被除数10，也即意味着被除数重复，余数也会重复1，循环节出现，按照此规律无限循环下去！

形式化证明：
1。任何一个分数均可表示为一个整数与一个真分数的和，当这个分数本身就是真分数时，那么可写成0加上自身。
   为讨论方便，我们只考虑如何把一个真分数P/Q表示为小数，其中P,Q都为整数，P < Q。
2。P×10/Q = D1（商）...... R1（余数），注意到R1也是整数，并且0<= R1 < Q。
3。如果R1 = 0,余数为0，运算结束，说明这个真分数可以被表示为一个有限小数，命题获证！
4。如果R1不为0，让P2 = R1，继续计算P2×10/Q = D2（商）...... R2（余数）
5。类似的，如果R2 = 0,余数为0，说明这个真分数可以被表示为一个有限小数，命题获证！
6。类似的，如果R2不为0，让P3 = R2，继续计算P3×10/Q = D3（商）...... R3（余数）
。。。（类似的过程，重复步骤3～6）

我们可以断言，这样过程在最多经过Q次（Q为除数）重复之后，必然会出现某个余数Rn，要么余数Rn为0，要么余数Rn和此前出现的某个余数Rm相同（其中1 <= m < n <= Q），也就是说被除数出现循环，循环节就是(Dm..Dn-1)这么从Dm,Dm+1,Dm+2,...,Dn-2,Dn-1这么n-m个数构成的部分！为什么？
因为，经过这样的Q次重复过程后，如果RQ不为零，我们就得到Q个全部不为零的余数R1,R2,R3...RQ，(1 <= Rj <= Q-1, 1 <= j <= Q)，按照“鸽笼原理”，必然可以得到至少两个相同的余数，但是R1,R2,R3...RQ-1这么前面Q-1个余数互不相等（注意此前重复的Q-1次过程都没有出现循环节，而且余数都不等于零，否则不会进行到Q次重复），所以这两个相等的余数不可能都同时来自前面Q-1个余数，所以这两个相等余数中的一个必然是最后一个余数RQ，也就是说最后一个余数等于前面的某个余数。从而命题得证！

（所谓的“鸽笼原理”的，够高大上吧？！）

证毕。

学生课后思考：
1。原问题的逆命题：任何一个循环小数f均可表示为一个分数P/Q。
形式描述：为简化讨论，设该循环小数不大于0，也就是说整数部分不考虑，把f记做0.N1N2N3...Nd(M1M2M3..Mc)，其中不循环的部分有d位，循环节有c位，括号内是循环节。
f = 1/(10^d){N1N2N3...Nd + M1M2M3..Mc/(10^c - 1)}，即：
f = 1/(1000..0){N1N2N3...Nd + M1M2M3..Mc/(9999..9)},其中有d个0，c个9。
证明过程也不太难,我就不写了。

2。对于学父老师这道题，可能其他同学还有更加巧妙的解法，但我还是有信心以上这样一个推导过程是正确的（尽管可能不是最优）。而自己的思路从何而起，想了想，其实还是从小学课本上教的竖式运算开始的，就这样一个从原始被除数的第一位起的逐步迭代过程，余数->被除数->被除数->...。但是，我绝不敢妄言——在我看来这样一个“自然的”过程，其实是符合所有孩纸们，或者说大多数孩纸们的心理认知过程的。

3。回顾自己的成长历程，最多也就算勤奋有余，天赋不足的学生，至多也就够得个精神文明奖；但造化弄人也是有幸让我本科学理，研究生学工，能够体会从两种不同的思维角度来考虑相同一个问题的差别。
比如微积分的很多定理及其应用，在数学分析和高等数学里，你体会到这些知识和相关领域的问题，对于不同的人有着不同的兴趣点和关注点。
话说回来，虽然这里再次侥幸给出学夫给题目的解答，即便解答正确最多也就证明了我证明了这道题，而我证明了这道题其实也不能完全证明我自己（能力，态度，。。。），更不能证明我关于竖式横式的任何观点。至此，我其实已经不太愿意继续在数学和教育学上冒险提出其他让大家接受（哪怕不是作为经典/权威而广泛持久接受）的观点了，也不愿意接着在数学和教育学结合的相关命题上进一步证明自己的观点和推理的正确，不敢奢望大家赞同。品位无高下，闻道有先后，点到为止，大家玩得高兴就行，莫伤了和气哦。
（从学父老师这学会了不少方法，同时也体会到分享思考成果的快乐，有时间我还会来做题的。）