旗帜鲜明的反对竖式

学父五迁

免责声明：标题党。个人极端偏见。风险自负。

在我看来，破坏小学生数学思维的罪魁祸首就是“竖式”。
如果可能，尽量避免让小学生学习竖式。

我感觉，应该有很多数学教育家有这个观点。
结果，我搜了半天，只搜到一篇不那么激进的。

为什么要淡化竖式笔算——谈如何培养计算的灵活性与创造性
http://blog.sina.com.cn/s/blog_4a35ba11010149jj.html

除法是小学计算教学的难点，难就难在竖式除法上。一位很优秀的青年教师曾告诉我一件事：
她班里有个“差生”，怎么也不理解“312÷3”的竖式笔算的过程和方法，急得哭了。
后来这个孩子问她，300÷3=100，12÷3=4，100+4=104，这样算很容易就得出结果了，为什么一定要用竖式计算呢？
.....
掌握竖式除法必须突破两个难关：一是理解竖式除法的格式、步骤是怎样从具体的情境操作中抽象出来的，二是掌握“试商”的方法。
为了化解上述难点，教材编者精心设计，层层铺垫，一线老师也费尽心思，精益求精，但教学效果依然不尽如人意；

学父五迁

还有一个故事。
郑毓信还在《数学教育: 从理论到实践》一书中转引了台湾一位小学教师经历的如下事例:
记得两年前, 我女儿上幼稚园大班, 我儿子上小学三年级, 有一天带他们两人去吃每客199元的比萨,
付账时, 我问儿子和女儿: 妈妈一共要付多少元啊?
儿子嘴里喃喃念着: 三九, 二十七进二, 三九, 二十七进二;
女儿却低着头数着手指头。
一会儿, 儿子喊着: 妈妈! 你有没有纸和笔, 我需要纸和笔来写‘进位’, 否则会忘。
儿子还未算出。女儿却小声地告诉我: 妈妈! 你蹲下来一点, 我告诉你, 我知道要付多少钱了。
哦! 真的, 要付多少钱?
你拿600元给柜台的阿姨, 她会找你3元。
付完钱后, 牵着女儿的手走向店外, 再问: 小妹! 你怎么知道给阿姨600元, 还会找3元呢?
我用数的啊! 199再过去就是200、400、600, 三个人共要给600元,
但是阿姨一定要再找3元给我们才可以, 她多拿了3元嘛!”
以上只是“前奏”, 更“精彩的”还在后面:
“最近带他两人去吃‘沙拉吧’, 一人各380元,
付账时, 我问他们兄妹两人: 算算看, 要付多少元?
两人异口同声地回答: 给我纸和笔。我说: 没有纸和笔。
女儿答腔: 那就算不出来了。”
这位老师感慨地说:“只差两年, 我女儿就变成不会解题, 只会计算了。

学父五迁

在我看来，很明显，造成这个后果的罪魁祸首就是“竖式”。
不用竖式，直接采用多项式（横式），计算速度反而可能更快。

在长除法中。
竖式中，试商偏大偏小，还需要调商，重新做乘法。
多项式中，调商就容易得多，可以直接利用前面的结果。
原则上，竖式也可以用上之前的结果。
但是拘于形式，很难使用。

下面举两个例子。短除法和长除法的例子。
为了方便文字排版，我把竖式中的除数写在了右边，而不是左边。

学父五迁

1. 短除法 74 ÷ 3

74 ÷ 3
竖式

24      （试商2；试商4）
----
74  ÷  3
6        （试商2）
----
14
12       （试商4）
----
2

最终结果
74 ÷ 3 = 24 ...... 2

学父五迁

74 ÷ 3
多项式（横式）

（试商20）
74 - 20 X 3 = 14  
（试商4）
14 - 4 X 3 = 2   

最终结果
74 = 24 X 3 + 2

学父五迁

在长除法中。
竖式中，试商偏大偏小，还需要调商，重新做乘法。
多项式中，调商就容易得多，可以直接利用前面的结果。
原则上，竖式也可以用上之前的结果。
但是拘于形式，很难使用。


2. 长除法  8216734 ÷ 271


8216734 ÷ 271
竖式


    3  （试商 3）
-------
8216734 ÷ 277
831            （试商 3）

试商3失败，擦掉那一行，重新试商2

    295     （试商2；试商9；试商5）
-------
8216734 ÷ 277
554       （试商2）
-------
2676
2493      （试商9）
--------
1777     （试商5）
1385
--------
  392

试商5失败，擦掉那一行，重新试商6。

    29641     （试商2；试商9；试商6；试商4；试商1）
-------
8216734 ÷ 277
554       （试商2）
-------
2676
2493      （试商9）
--------
1777     
1662     （试商6）
--------
  1153
  1108
--------
    454   
    277    （试商1）
--------
    177

最终结果。
8216734 ÷ 277 = 29641 ...... 177

学父五迁

8216734 ÷ 271
多项式

（万位。）
821 ÷ 277
（试商3。）
3 X 277 = 831  
（试商过头了。改成试商2。）
（可以直接使用前面试商3的结果。）
2 X 277 = 831 - 277 = 554
821 - 554 = 267

（千位。）
2676 ÷ 277
（试商9。）
（可以直接使用前面试商3的结果。）
9 X 277 = 3 X 831 = 2493
2676 - 2493 = 177

（百位。）
1777 ÷ 277
（试商5。可以直接使用试商2和试商3的结果。）
5 X 277 = 554 + 831 = 1385
1777 - 1385 = 392
试商1。
392 ÷ 277
392 - 277 = 115
（商的百位是5 + 1 = 6。）
（这里的商，是可以叠加的，而不用擦除重算。）

（十位。）
1153 ÷ 27
（试商4。）
（可以直接使用前面试商3的结果。）
227 X 4 = 831 + 277 = 1108
1153 - 1108 = 45

（个位）
454 ÷ 277
（试商1。）
454 - 277 = 177


最终结果。

8216734 = 29641 X 277 + 177

学父五迁

明月照我心 发表于 2014-11-21 22:49
竖式做乘除法节省多少空间啊。竖式做加减法，还可以加强理解位数的概念。

另外，学数学不能只学一种方法 ...

竖式节省空间，是因为“降位”。
下一步除法，后一位直接空降。
这恰好不容易对位。
位数多了，行数多了，就非常难以对位。
很容易漏位错位。
恰好阻碍了对位数的理解。
不信，问问那些用竖式的小学生，能否判断出当前的商，落在哪一位上？

明月不妨用竖式算算自己出的那道题目。
56354496328813668/9
:D
我可以给个多项式对照版。


我前面给的长除法例子已经展示了。
在除数位数较多的长除法中，竖式的“试商”，很难重复使用。
一旦试错了，还要重算。
如果要重复使用，就要写在竖式之外的地方。
这就叫做“形格势禁”。

这种重复使用“商 X 除数”的做法，已经是“代数”（代式）的雏形。
结果，竖式基本阻断了学生的这种体验。
只有商和之前完全相同的时候，学生才可能想到代入。
但是，那个结果不是很容易找，需要找到商，再划一条竖线下来，找到是哪一步的结果。
在我看来，在重要数学思想的体验方面，竖式起到的全是负面作用。

再给一个问题。
如何用竖式证明循环小数的必然产生？
不妨一试。

多项式除法能不能简写？
当然能。只要熟练了，比竖式还要简单。
前面是怕大家不熟悉，才加上了文字说明。

在被除数上写上10的幂次。
（标记规律和使用很简单。
原理不用解释，学生以后学了乘方自然就会明白）
（如果是小数，就从1开始，按递增顺序标注。
或者1', 2'表示 -1, -2 次幂）


6543210
8216734 ÷ 271

从“4”次幂开始，“递”降。

(4)
821
3 X 277 = 831  
2 X 277 = 831 - 277 = 554
821 - 554 = 267
2
(3)
2676
9 X 277 = 3 X 831 = 2493
2676 - 2493 = 177
9
(2)
1777
5 X 277 = 554 + 831 = 1385
1777 - 1385 = 392
392 - 277 = 115
5 + 1 = 6
(1)
1153
227 X 4 = 831 + 277 = 1108
1153 - 1108 = 45
4
(0)
454 - 277 = 177
1

商：29641
余数：177

以上的流程，我只是随便一写。
这种格式，非常自由。
我可以轻易使用这种格式证明循环小数的必然产生及产生过程。

学父五迁

明月照我心 发表于 2014-11-22 13:30
我又想起那句话：无他，唯手熟耳。

这些可以自己通过练习而获得的熟练技能，自己没有获得，为什么也要归 ...

这样吧。
先看三个具体问题。

(1) 名词解释：请举例说明，什么叫做"试商" ？请举例说明，试商可能发生的各种情况。

(2) 请用竖式证明无限循环小数的循环节的必然存在。
这个问题最有意义，可优先考虑。

(3) 做一个除数位数较长的长除法。
比如，
34908098898083535252 ÷ 498

这个题目是我随便给的。
既然要做长除法，这种题目才有意义。

请用竖式解答。
一个技巧：用文本排版竖式时，左边的空位可以用"0"补齐，就可以对齐数位。

学父五迁

明月照我心 发表于 2014-11-22 14:27
第一，我不认为竖式和横式有什么本质区别。

第二，我不认为学校不教竖式改教横式，对学生理解数学和提高 ...

第一，我认为，竖式是裹足跳舞，形格势禁，局限了学生的思维。

第二，我认为，学校不需要教竖式或横式。我前面给出的横式，是我自己随便写的。
学生只要掌握了除法的本质规律（我称之为"倍余式"），学生可以自由创作出各种算法套路。

第三，关于“芝麻和西瓜、本末倒置”之说。在我看来，安全无小事儿。

学父五迁

明月照我心 发表于 2014-11-22 14:59
容易吗  楼主不是说了，他认为学校教的这个东西，妨碍了孩子认识本质。  发表于 20 分钟前

容易吗  我 ...

这么说吧。

我反对的不是学校，是竖式。

现在，全世界所有的学校，都在教竖式。
"新教育"，同样在教竖式。
竖式不仅是学校教的。
在家上学，同样大部分都在教竖式。

我的建议是，竖式应该作为数学文化的部分而存在，就像珠算一样。

学父五迁

明月照我心 发表于 2014-11-22 15:06
我补一刀。来看这个链接：

http://bbs.liyueer.com/forum.php?mod=viewthread&tid=92068&page=7#pid ...

呵呵。明月确实牛。基础很扎实。
明月不妨谈谈对奥数的看法。

关于小学阶段是否要引入奥数，如何引入。
我现在也没有想清楚。

我只想引入一些思维方式。
在我看来，这些思维方式，体现了本质。
比如，对于这些题型，我目前的打算如下。

(1) 加减法之后，就引入除以“2”的整除。
（或除以“2”的幂次，比如，除以4、8等）

基本模型是模仿“隔板法”的模型（不引入任何概念）。

具体做法就是，将多个单位（“1”、“10”、“100”等）
分成两份。

比如，
1, 1, 1, 1, 1, 1
六个立方格之间，插板。

10, 10, 10, 10
四个十格长条之间，插板。

100, 100, 100, 100
四个百格平方板之间，插板。

(2) 除数大于等于2的带余除法。除数从2到9。

基本模型是仿造“抽屉原理”（鸽笼原理）。
尽量将数量分成平均的几柱。
看看最高的柱，最低是多少。

在玩这个游戏的过程中，学生可能会加深对除法的理解。

(3) 乘法

排列组合题型中的乘法原理，也许适合作为引入乘法的例子。

比如，棋盘上的路线数量模型，就很直观，而且暗合组合公式构成的贾宪三角形。

学父五迁

哈哈。
"容易吗"解读得很准哪。赞。

学父五迁

明月照我心 发表于 2014-11-22 15:38
噢，你是在设计数学课程？

小学阶段不建议引入奥数。

三年级前的奥数题，基本上都是智商测试题型，考一些空间规律识别的能力。
三四年级之后的奥数题，才具有了“数学”涵义。

我比较保守一些。
12周岁之前，具体运算阶段（具体数字）。
12周岁之后，才是抽象思维阶段（代数）。

12周岁之前，我只是考虑借鉴这些形象模型。
我感觉，有些形象模型体现了数学思维，适合启发孩子的自悟过程。

学父五迁

我的总体思路就是：
帮助学生习得"设计算法"的能力，而不是强求学生熟练掌握某一种算法。
竖式，这种形格势禁的算法，对学生"设计算法"的思路有负面作用。

学父五迁

容宝爸爸 发表于 2014-11-22 18:13
今儿天气好，心情也好，也来挑战一下学父布置的作业：34908098898083535252÷498。
直接使用竖式 ...

哇。容爸太牛了。
一眼就看到问题的本质——乘法表。
因为每一步的商只有一位。
那么，乘法表就只有9条。

分段法更是体现了多项式的思想。

实际上，计算机中的并行运算，也是采取了类似的算法。

学父五迁

容易吗 发表于 2014-11-22 19:55
那么，竖式法到底该不该教，在你看来？

容爸有一句话。

-- 另一方面，我们仍不放弃竖式法，能够看到的意义之一在于，每一步都严格只计算商的一位数，这样依次、规整、机械、重复的有限过程，其实非常有利于计算机器语言来描述，有助于我们理解如何让计算机来协助人类完成这些任务。

学父五迁

容宝爸爸 发表于 2014-11-22 23:08
大家太抬举我了，我哪里牛啊，小码农一枚。
偶尔有些小点子，其实也不是原创的，或从这里哪里偷学而来，厚 ...

泡泡的算法尽管是并行，但总体运算量增长了。
如果高位段不能整除的情况下，高位段的除法运算量等同于整个竖式的运算量。
所以，泡泡的算法，只适合短除法。

容爸的算法尽管是串行，但总体运算量没有增长，和竖式一样，适合长除法。

看来，除法还挺难并行的。

容爸的构造乘法表和查表法，倒是非常符合计算机的算法。
这个表格可以用于任何相同除数的除法。

学父五迁

-- 这样一个运算过程是除法问题求解的一般抽象过程（抽象后会失去很多形象的元素），孩纸们应该接触这样一个解决问题的一般方法（一般方法对于具体问题的求解往往不是最优的；但是当其他最近解法都不灵的时候，还是得退到笨这个办法来。）

关于容爸提到的这个一般方法。
这个一般方法，是否一定要是竖式？
这是我考虑的问题。
我感觉，竖式不适合作为一般方法。

短除法，用不着竖式。
长除法，竖式又存在许多缺陷。
有时候，还需要额外弥补，如容爸所做的那样。
其实，容爸的思路中，那些竖式形式完全可以替换成普通乘法算式和减法算式。

更重要的问题是，竖式阻碍了学生对其他方法的探究。

如果是普通算式，学生可以使用"代式"。
容爸给出的竖式例子中，只能使用乘法表中的"代式"。
很难使用其他形式。

比如，除数 9 是一个非常特殊的除数。
因为，
10 = 9 + 1.
100 = 99 + 1
1000 = 999 + 1
这就意味着除数9的除法，可以直接转化为乘法和加法。

模仿明月的例子，给出一个除数9的长除法。

887568432 ÷ 9

76543210
87568432 =
8 X 1111111 X 9 + 8
7 X 111111 X 9 + 7
5 X 11111 X 9 + 5
6 X 1111 X 9 + 6 +
8 X 111 X 9 + 8
4 X 11 X 9 + 4 +
3 X 9 + 3 +
2
= 8 X 10^6  X 9 +
(8 + 7) X 10^5 X 9 +
(8 + 7 + 5) X 10^4 X 9 +
(8 + 7 + 5 + 6) X 10^3 X 9 +
(8 + 7 + 5 + 6 + 8) X 10^2 X 9+
(8 + 7 + 5 + 6 + 8 + 4) X 10 X 9 +
(8 + 7 + 5 + 6 + 8 + 4 + 2)

以上这种算法，完全就可以并行了。
当然，串行的效率也很高。
因为，高位加法的结果，可以直接用于低位中。

能做到这种转化，需要理解除法的本质：
将被除数分成除数的倍数和余数。

竖式的形式局限，对这个本质的理解，只起到负面作用。

学父五迁

明月照我心 发表于 2014-11-23 16:11
887568432 ÷ 9这个东西为什么搞得这么复杂啊？有必要吗？

我认为数学的本质不是简单的东西复杂化，而是 ...

嘿嘿。这只是个诱饵。
如果除数是 99 呢？ 999 呢？

887568432 ÷ 99

887568432 ÷ 999

这两个除数都不在乘法表范围内。
不过，乘法也容易构造。不妨试试看。