《数学建模直观游戏》

学父五迁

师长可以提示学生注意一个现象。
上述二柱型中的“余数项”的出现规律，只包括三种状态。
第一种状态：没有“余数项”。
第二种状态：有一个“余数项”，即，有一层余数层；其中包含一个立方格。
第三种状态：有一个“余数项”，即，有一层余数层；其中包含二个立方格。
这三种状态以三为周期出现。
这种“余数项”的出现规律，已经体现了“同余”思想。
师长毋须讲解，学生操作体会即可。
如果场地和人数合适的话，师长可以组织学生分小组列队，模拟上述的三柱型。

学父五迁

师长可提示学生，比较一下“6”的二柱型和三柱型。
学生可以发现，“6”的二柱型和三柱型，在形状上是等价的。
“6”的二柱型横着摆放，就是“6”的三柱型。
“6”的三柱型竖着摆放，就是“6”的二柱型。
“层”和“柱”这两个维度是可以互换的。
“层”和“柱”这两个维度，实际上代表了两个乘数（也称作“因数”）。
这种形状上的等价，实际上代表了乘法的交换律。
师长毋须讲解，学生操作体会即可。
从这里，我们可以看到立方格模型的优势。
如果是蒙台梭利的十进制珠子展示器，或者圆饼教具，
如何能如此简单地横过来、竖起来？

学父五迁

原创作者：学父五迁
《数学建模直观游戏》

09. 四柱型、五柱型、六柱型到九柱型

这一章，我们继续构造每一个数量的四柱型。
下面给出从“1”到“9”的四柱型。
......
师长可以提示学生注意一个现象。
上述二柱型中的“余数项”的出现规律，只包括四种状态。
第一种状态：没有“余数项”。
第二种状态：有一个“余数项”，即，有一层余数层；其中包含一个立方格。
第三种状态：有一个“余数项”，即，有一层余数层；其中包含二个立方格。
第四种状态：有一个“余数项”，即，有一层余数层；其中包含三个立方格。
这四种状态以四为周期出现。
这种“余数项”的出现规律，已经体现了“同余”思想。
师长毋须讲解，学生操作体会即可。
如果场地和人数合适的话，师长可以组织学生分小组列队，模拟上述的四柱型。

学父五迁

师长可提示学生，比较一下“8”的二柱型和四柱型。
学生可以发现，“8”的二柱型和四柱型，在形状上是等价的。
“8”的二柱型横着摆放，就是“8”的四柱型。
“8”的四柱型竖着摆放，就是“8”的二柱型。
“层”和“柱”这两个维度是可以互换的。
“层”和“柱”这两个维度，实际上代表了两个乘数（也称作“因数”）。
这种形状上的等价，实际上代表了乘法的交换律。
师长毋须讲解，学生操作体会即可。

学父五迁

接下来，我们继续构造每一个数量的五柱型。
下面给出从“1”到“9”的五柱型。
.....
师长可以提示学生注意一个现象。
上述二柱型中的“余数项”的出现规律，只包括五种状态。
第一种状态：没有“余数项”。
第二种状态：有一个“余数项”，即，有一层余数层；其中包含一个立方格。
第三种状态：有一个“余数项”，即，有一层余数层；其中包含二个立方格。
第四种状态：有一个“余数项”，即，有一层余数层；其中包含三个立方格。
第五种状态：有一个“余数项”，即，有一层余数层；其中包含四个立方格。
这五种状态以五为周期出现。
这种“余数项”的出现规律，已经体现了“同余”思想。
师长毋须讲解，学生操作体会即可。
如果场地和人数合适的话，师长可以组织学生分小组列队，模拟上述的五柱型。
......
需要注意的是，随着除数越来越大，余数出现的周期规律，越来越难以体现了。

学父五迁

原创作者：学父五迁
《数学建模直观游戏》

10. 十进制

西方一些学校有过“百日”的传统。
这个“百日”不是指婴儿出生满百日，而是指孩子入学满百日。
在这一天，每个孩子都会准备一百个小物件，比如，一百个珠子，一百张卡片，一百根小棍，等等。
在这个过程中，孩子们自然会数到一百。
这种大数量计数的直观经验，对于孩子来说，非常重要。
下面，我们一步步构建大数量的十柱型，从而深入理解十进制的本质。
回顾之前的游戏。
数量模型构造游戏，我们推进到“9”就暂停下来了。
柱型游戏也只能推进到“九柱型”，就停下来了。
这一章，我们继续向前推进。

学父五迁

我们先推进到“10”。
我们先构造“9”的一柱型，然后，在上面多加一个立方格，就得到了“10”的一柱型。
现在，我们可以构造十柱型了。
我们构造“10”的“十柱型”。
“10”的“十柱型”只有一个“倍数项”。
口口口口口口口口口口
我们在“10”的一柱型上面多加一个立方格，就得到了“11”的一柱型。
我们构造“11”的“十柱型”。
“11”的十柱型有，既有“倍数项”，又有“余数项”。
口口口口口口口口口口 + 口
我们在“10”的一柱型上面多加一个立方格，就得到了“12”的一柱型。
我们构造“12”的“十柱型”。
“12”的十柱型有，既有“倍数项”，又有“余数项”。
口口口口口口口口口口 + 口口
以此类推，我们一直推进到“19”。
“19”的十柱型有，既有“倍数项”，又有“余数项”。
口口口口口口口口口口 + 口口口口口口口口口
我们在“19”的一柱型上面多加一个立方格，就得到了“20”的一柱型。
我们构造“20”的“十柱型”。
“20”的“十柱型”只有一个“倍数项”。
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口

学父五迁

在这个构造的过程中，师生很容易就总结出快捷的十柱型构造规律。
只要在前面的十柱型模型的“余数项”上加一个立方格。
如果“余数层”达到了十个立方格，“余数层”就变成了“除数层”。
这一层就要移动到“倍数项”上面去了。

学父五迁

我们在“20”的一柱型上面多加一个立方格，就得到了“21”的一柱型。
我们构造“21”的“十柱型”。
“21”的十柱型有，既有“倍数项”，又有“余数项”。
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口 + 口
后面的步骤，我们可以跳着前进。
比如，从“21”跳到“29”、“30”、“31”，再跳到“39”、“40”、“41”。
总之，关键步骤就是围绕着“10”的整倍数。
以此类推，我们一直推进到“99”。
我们构造“99”的“十柱型”。
“99”的“十柱型”有一个“倍数项”和“余数项”。
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口 + 口口口口口口口口口

学父五迁

师长可以提示学生注意一个现象。
上述二柱型中的“余数项”的出现规律，只包括十种状态。
第一种状态：没有“余数项”。
第二种状态：有一个“余数项”，即，有一层余数层；其中包含一个立方格。
第三种状态：有一个“余数项”，即，有一层余数层；其中包含二个立方格。
第四种状态：有一个“余数项”，即，有一层余数层；其中包含三个立方格。
第五种状态：有一个“余数项”，即，有一层余数层；其中包含四个立方格。
第六种状态：有一个“余数项”，即，有一层余数层；其中包含五个立方格。
第七种状态：有一个“余数项”，即，有一层余数层；其中包含六个立方格。
第八种状态：有一个“余数项”，即，有一层余数层；其中包含八个立方格。
第九种状态：有一个“余数项”，即，有一层余数层；其中包含九个立方格。
第十种状态：有一个“余数项”，即，有一层余数层；其中包含十个立方格。
这十种状态以十为周期出现。
这十种状态正好对应“0”到“9”这十个十进制数字。

学父五迁

十进制数字中，每一个数位的数字，只有这十种可能。
通过这个游戏，学生能够切身体会到，个位数字，其实就是除以十之后的余数。
师长毋须讲解，学生操作体会即可。

学父五迁

有了这么多的数量模型，现在就有一个问题了。
我们如何用形线画来记录这些数量呢？
按照之前的形线画记录法，数量“99”就需要用九十九条线段来记录。
随着数量越来越大，用于记录数量的横线也越来越多。
这实在是繁冗的数量记录法。

学父五迁

我们需要引入一种更为简洁的数量记录法，用于记录更大的数量。
我们知道，所有的柱型模型都由“倍数项”和“余数项”两部分组成。
因此，我们可以分别记录“倍数项”和“余数层”这两部分。
“倍数项”的每一层都是相同的“除数层”，都含有十个立方格。
因此，我们只需要记录“层数”，也就是，记录“10”的个数。
所以，我们需要一个椭圆作为“10的个数”的记录位置。
我们把这个椭圆简称为“十位”椭圆。
“余数层”只有一层，我们需要记录“余数层”中的立方格个数。
所以，我们需要一个椭圆作为“立方格个数”的记录位置。
我们把这个椭圆简称为“个位”椭圆。
于是，每一个“十柱型”都需要两个椭圆——“十位”椭圆和“个位”椭圆。
下面，我们用形线画来记录“10”的十柱型。
我们在纸上画两个椭圆，左右相邻，左边是“十位”椭圆，右边是“个位”椭圆。
“十位”椭圆中的线段数量，代表“倍数项”的层数。
“个位”椭圆中的线段数量，代表“余数项”的立方格个数。

学父五迁

以“49”为例。
“49”的“十柱型”有一个“倍数项”和一个“余数项”。
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口 + 口口口口口口口口口
形象画记录如下。请注意，下面的两列符号都需要用正立椭圆包裹起来。
+  +
+  +
    +
    +
    -

学父五迁

以“70”为例。
“70”的“十柱型”只有一个“倍数项”。
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
形象画记录如下。请注意，“个位”椭圆保持为空，文中用“0”表示。
+  0
+
+
-

学父五迁

师长指导学生，画出从“1”到“99”的所有形线画。
对于小于“10”的数量，“十位”椭圆保持为空，可以省略。
我们把这种形线画叫做十进制形线画。

学父五迁

原创作者：学父五迁
《数学建模直观游戏》

11. 百位

上一章，我们构造了“99”的十柱型和十进制形线画。
接下来，我们就要像“100”进军了。
量变引起质变。“99”是一个关键的临界点。
一旦突破了这个临界点，推进到了“100”，我们就遇到大麻烦了。

学父五迁

“100”的十柱型只有一个“倍数项”。
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口
口口口口口口口口口口

学父五迁

我们可以看到，“100”的十柱型，由十层“除数层”组成。
也就是说，我们需要在“十位”椭圆中，记录十条横线。
“个位”椭圆中的横线数量从未超过九条。
难道现在我们要在“十位”椭圆中打破这个规律吗？
打破这个规律又如何呢？
打破这个规律之后，我们又会陷入到我们开始遇到的问题——记录数量的横线太多。
现在，我们有了十层“除数层”，我们在“十位”椭圆记录十条横线。
如果我们有了二十层“除数层”呢？我们也在“十位”椭圆记录二十条横线吗？
如果“除数层”有三十层、四十层、甚至九十层呢？我们该怎么办？
我们也在“十位”椭圆记录九十条横线吗？那我们得需要一个多大的“十位”椭圆？
那么，我们如何解决这个问题呢？
解决思路是现成的。
前面，我们为了减少记录量，引入了一个新椭圆——“十位”椭圆。
现在，我们遇到了同样的问题，我们故技重施，再引入一个新椭圆——“百位”椭圆。
“百位”椭圆中的每一条横线，都代表一板立方格——如图所示，方方正正的一板立方格。
这个方方正正的板，是个平方板，宽和高都是十个立方格，共有一百个立方格。
也就是说，“百位”椭圆中的每一条横线，都代表一百个立方格（一板立方格就是一百立方格）。
“百位”椭圆正是因此特性而得名。
于是，为了记录“100”的十柱型，我们需要三个椭圆，从左到右，依次排开。
最左边的“百位”椭圆中，记录一条横线，代表一板立方格（一百个）。
中间的“十位”椭圆，保持为空，表示没有另外的“除数层”。
右边的“个位”椭圆，保持为空，表示没有另外的“余数层”。

学父五迁

对于空椭圆，文中用“0”表示。
线段都是用椭圆包裹起来。
“100”的十进制形线画如下。
-  0  0
任务圆满完成。
这三个椭圆，在样式上没有任何区别。
这三个椭圆的进位法则也是一模一样，都是十进制，都是“逢十进一”。
“个位”椭圆是逢“十个立方格”，就进位到“十位”椭圆，在“十位”椭圆中加一条横线。
“十位”椭圆是逢“十层”，就进位到“百位”椭圆，在“百位”椭圆中加一条横线。
无论是形式，还是记录法则，这三个椭圆都完全一样。
唯一的区别在于，这三个椭圆的位置。
位置不同，代表的“数位”就不同。
“个位”椭圆中的一条横线，只代表一个立方格。
“十位”椭圆中的一条横线，代表一层，十个立方格。
“百位”椭圆中的一条横线，代表一块“百格平方板”，一百个立方格。
所谓“位高权重”，就是这个道理。数位高，权值就重。
我们可以看到，这种十柱型已经带有了明确的“十进制进位规则”。
这种十柱型就叫做十进制柱型。