在游戏中学数学——华德福对儿童数学教学的理解和实践

莫兰

到达倒数第二个图时，很多学生会疑惑是不是还要继续下去——如果只有两个坚果，可以“每隔一个”取出一个吗？

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某一天，可以给每个孩子7个坚果，让他们放在圆圈上。他们立刻发现这和当初摆放5个坚果时遇到的困难是类似的。他们记起，当初老师曾帮助他们躺在地板上，手臂和腿张开，这样他们的四肢和头构成了一个五角星。

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然而7个坚果无法用这样的方式解决，因为我们少了一对手臂。头很好放置，两只脚应该彼此靠近一些，然后我们必须想象我们有一对翅膀。
（30页图）把7个坚果放在圆圈上并不容易

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最后我们插上双翼的人体落入合适的位置，一个美丽的七边形出现了。如果我们试图每隔一个坚果取出一个，我们会再次发现这行不通。我们只好满足于首先用手指，然后用铅笔去跟踪每隔一个坚果取出一个坚果时所应走过的路径。这时一些令人激动的东西出现了。
（31页图）我们将相隔一个坚果的每对坚果连接起来。

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如果我们每次移到相隔两个坚果的那个坚果，所出现的情景就更加令人激动了。
（31页图）我们将相隔两个坚果的每对坚果连接起来。

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这有些困难，但显然值得去做。

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我们来用同样的方式体验八边形。我们既可以让两个正方形构成星形，也可以用一条不中断的线画出八角星。

（32页图）

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九边形也是如此。可以用三个三角形构成星形，也可以用一条不中断的线画出九角星。
（32页图）

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在十边形中，可以有两个五角星，也可以用一条连续的线画出十角星。
（33页图）

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因此我们体验到，五角星和七角星只能用一根连续的线画出。如果我们继续研究其他多边形，我们会发现11边形和13边形也是如此。为什么会这样呢？

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以后孩子们会学习与此有关的更多内容，但此时他们已经接触到了与质数有关的诸多问题。

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六角星也是一个特殊的例子，因为它无法用一条连续的线画出，而是必须由两个三角形构成，一个朝上，一个朝下。

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犹太人认为六角星很特别，这绝非偶然。对于他们来说，六角星有深刻的象征含义。然而，我们在这里关心的只是使得六角星有别于其他星形的数学特质。

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在做这些坚果游戏的同时，我们还要在大厅里做一些游戏。大厅应该大到能够让所有孩子手拉手围成一个圈。或者也可以让一半学生围成圆圈，因为让旁观者和游戏者互换角色也很重要。

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我们让12个学生围成一个圈。现在，如果每逢第二个学生向前跨出一步或坐下，整个图景立刻就不一样了。如果每逢第三个学生向前跨出一步，我们会辨认出之前的正方形。如果每逢第四个学生向前跨出一步，我们就有了一个三角形。在12个人围成的一个圈里，所有这些都以一种美妙的方式进行着。但如果每逢第五个人向前跨出一步，我们会发现这行不通。12和5没有太多的共同点。如果每逢第六个人向前跨出一步，也有一些东西产生，但没有那么激动人心。

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这样一来，我们发现数字以特殊的方式彼此相属。如果圆圈中有13个人，就无法做到每逢第三个人或每逢第四个人向前跨出一步，同样每逢第五个人也行不通。但如果圆圈中有15个人，却可以每逢第五个人向前跨出一步，此时出现的是一个多么漂亮的三角形啊！15、5和3彼此非常协调。

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我们回到12个孩子围成的圈。让另一个孩子绕着圈走，同时展开一根绳子，每逢第四个孩子抓住这根绳子，立刻我们有了一个漂亮的三角形。同样，如果每逢第三个孩子抓住绳子，我们可以很轻松地创造出正方形（四边形）。4和3，3和4——很好记！

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如果有两根绳子，我们可以用两个三角形组成一个六角星。先拉出一个三角形，把这个三角形放在地上，拉出第二个三角形。把两个三角形都举到同样的高度，六角星出现了，它有一种不同寻常的美！然后我们可以做一个注意力练习，让孩子们将六角星旋转一圈。在这过程当中，大厅里一片寂静。六个没有抓绳子的学生可以后退一步，作为圆圈中的标记点。其他所有学生在努力地以同样的步伐旋转，让绳子保持在紧绷的状态，直到回到起点。作为圆圈标记点的孩子们现在也要一显身手了，这是一个很艰巨的任务：他们要跨过六角星而不将其破坏。这个任务可以由三年级的孩子来完成。

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这是一个严肃的游戏，从中可以学到很多东西。六角星的外围有六个小的三角形，理想状况下，这个六个三角形应该是相等的。同时他们彼此之间应该构成一种特定的关系。在转圈的过程中，六角星的形状在不停地变化，为了纠正任何错误，孩子们都必须意识到邻居的位置。在这样的练习中，通过观察和判断，学生们锻炼了实际的数学技巧，而这可以为今后思维层面的数学能力打下真正的基础。

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让绳子始终保持紧绷的状态是一件很难的事情。这需要密切的合作，需要随时观察三角形中另外两个人的动作。这本身就是一件很有价值的事情。可能会有一根绳子总是松弛着垂挂下来，于是三角形不复存在。为了让孩子们的手感受到应该如何做，几天之后可以给他们三根长木棍来构成三角形。木棍代替了绳子，孩子们意识到，现在三角形稳定了，不会再发生任何变形。同样的手比较着两种截然不同的体验，提前好几年就“懂得”了与三角形有关的许多知识，例如三角形的结构、全等三角形以及木匠为什么要在屋顶的椽木间钉上一根对角斜梁。
（36页图）三角斜梁可以使屋顶免于倒塌。