在游戏中学数学——华德福对儿童数学教学的理解和实践

莫兰

人们通常认为乘法表是一个抽象而枯燥的东西，但实际上它可以带给我们很多的欢乐和游戏。
    在成人世界里，我们需要在各种场合下用到乘法表，这是毫无疑问的。然而，在很大程度上，我们已经忘却了孩子真正的需要，却把我们自己的需要投射到他们身上，因此我们教乘法表常常就像在做面包却不放酵母。这样子做出来的面包是一块又干又小的面疙瘩，要花费许多唾沫，使好大劲儿才能咽进肚子。
    那么，让我们换一种做法，借着数学的音乐，从运动和韵律开始吧。孩子们再次围成一个圈，顺时针向前走，每三步双脚一起跳：左-右-跳，左-右-跳。由于以前有过相应的训练，他们很快踏出了鲜明的四分之三拍节奏。在有条不紊地踏出拍子之后，他们或许可以开始唱下面这首歌或其他熟悉的3/4拍歌曲。

莫兰

Oh my darling
oh my darling
oh my darling
Clementine
you are lost
and gone forever
oh my darling
Clementine!
（哦亲爱的
亲爱的
亲爱的
克莱蒙汀
你走了
永远消失了
哦亲爱的
克莱蒙汀 ！）

莫兰

对于老师来说，此时的问题在于，要在正确的时间开始唱，以便跳跃时正好在唱正确的音节，对于这首歌来说，要在唱“darling”中的“dar”时跳。
接下来我们可以尝试一些更难，然而身体感觉更加自然的游戏。让孩子们左-右-跳，右-左-跳，双脚交替着前进。每一种节奏都有它自身的特质。作为孩子我们感受着这一特质而并未意识到数字的存在。当我们换到四分之四拍节奏时，这种感受就更为强烈了。这是一个全新而深远的天地，每一个作曲家都知道这一点。这两种节奏是全然不同的音乐表达。
    这一次我们踩着左-右-左-跳、左-右-左-跳的步伐前进。我们也可以在跳跃之后换脚，但这时换脚不像按3/4拍节奏前进时换脚那么容易，或者说不像那么自然，甚至感觉有什么地方错了。
    学生们需要花很多时间练习这两种节奏，然后再逐渐开始练习真正的乘法表。首先他们必须真正体验到“音乐”，体验到不同节奏中的不同感觉。然后，让数字从节奏中自然地流淌出来。在唱歌时保持原来的节奏，用数字来代替歌词，就可以很容易地做到这一点。例如
1-2-3 - 4-5-6 - 7-8-9……
    我们在3-6-9……上跳跃。

莫兰

在老师的帮助下，我们这样开始：
    “预备”，1-2-3-4-5-6……
    这个小小的“预备”很重要，后面我们会回头来讲。
    如果我们继续到30，数字变得更长，我们要说得很快才能跟上节拍。于是我们决定只在跳跃时才大声说出数字，中间的数字只在心中默默数出。
（1）（2）3（4）（5）6（7）（8）9……
    说出的数字是3-6-9-12-15……

莫兰

不过，即使在我们的嘴巴保持沉默的时候，我们的脚也一直在地板上踏出声音。我们的脚在数字和数字之间建立起清晰的连接，帮助我们理解了乘法表是怎么一回事。
    曾经有人说，在音乐中，最重要的不在于实际的音符，而在于我们的灵魂如何努力从一个音符到达另一个音符。音符犹如公路两旁的里程牌，带领我们向前的，是里程牌之间的路途。实际上，在我们的游戏中，正是那些无声的部分使我们的活动具有了内容。
    对于乘法表来说也是如此。我们要体会的不是数字，而是数字之间那有待发现的空间。正是这空间使得每一个数字的乘法表具有了不同的特质，而我们的脚可以帮助我们理解这一点。
    如果我们只是教学生们3-6-9……这些数字，那就好比教给他们波士顿和华盛顿之间的里程标记，这可说不上是地理课。
    我们的思维可以跳过数与数之间的空间，但我们的脚却不能。我们的脚就像测量间距的标尺，孩子们就活在这些间距中。
    全部的问题就在于如何带着孩子们体验这些间距。这才是正确的学习方法，在这之后我们才能学习边界之所在，也就是数字本身。

莫兰

再一次，我们回到四分之四节拍。这一次我们数着数，每遇到4的倍数就跳一下：
1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12……
    之后，我们只是大声说出4-8-12……但依然用脚步走出这些数字的间距。很快我们发现，在说出的数字之间，间距拉长了，需要付出更大的专注才能保持节奏。不过游戏依然简单，很快我们觉得，我们的脚仿佛自动在走。
    从4到5，我们遇到了困难。我们练习边走边大声数：
1-2-3-4-5-6-7-8-9-10……

莫兰

当你自己这样做的时候，试着忘掉关于5的乘法口诀的所有知识。作为成人，我们知道我们要在5-10-15-20上跳，而孩子们并不知道这样一个序列，因此他们在学习一种节奏，而这个节奏并不容易。我们不妨记住，在孩子的生命中，他们只在极其短暂的一段时间里才有机会来体会这一节奏——作为纯粹的节奏来体会，因为5的乘法口诀实在太容易记了。
    六的乘法口诀要简单一些，因为它可以分为3加3，不过不需要向孩子们说明这一点。他们只是感觉它要简单一些，或者感觉自己做得更好。六的节奏可以很轻松地分为两个部分，就像我们可以很轻松地把六角星分为两个部分，它由两个三角形构成，没法用铅笔一笔画出来。这时，2和3之间的合作变得很明显。3拍节奏很容易掌握。我们很容易就踏出前后衔接的两个这样的节奏，就像我们很容易就看出两个三角形彼此衔接在一起。孩子们第一次体验到两个数字之间的合作，在这短暂的瞬间，他们窥探到一个全新的世界。

莫兰

这提醒我们，我们跳过了2的乘法口诀。但我们很容易再次通过圆圈来学习：
左-跳-左-跳……
    或者最好是：
左-跳-右-跳……
    然后：
1-2-3-4-5-6……
    最后是
（1）2（3）4（5）6……
    现在我们第一次把圆圈打断。一些学生站在教室的一端，手拉着手。他们一起踏步向前走，边走边说2的乘法口诀：
（1）- 2 -（3）- 4 -（5）- 6……

莫兰

还没到20，他们肯定就已经到达了对面的墙，但由于我们希望学习直到20的乘法口诀，因此我们需要回到开头，再试一遍，不过这次要用较小的步子。渐渐地，我们学会了把步子调整到适当的大小，这样我们数到10的时候正好走到教室中央，而数到20的时候则正好到达对面的墙。

莫兰

现在我们可以用同样的游戏来学习3的乘法口诀。这一次，难度更大了！也许我们应该走出教室，找一个其他班学生看不到我们的地方。
    接下来我们进入4的乘法口诀，5的乘法口诀，最后还有6的乘法口诀。6的乘法口诀很难用这种方式去走。不过可以让大家一起做某种手的动作，以此来代替默默的数数，而孩子们也很喜欢看到整整一排人一起向前跳。我们会注意到，在默默数数的时候，大家会更深地呼吸，更好地控制自己的动作，孩子们之间的合作也更加密切。

莫兰

不过现在我们要回到2和3的乘法口诀。我们在地板上画一条长长的线，然后用短竖线把它划分成许多小段，每一段对应一步的长度。也许没有必要画这条线，但为了保险起见，我们还是这么做，因为我们现在要做一些真正有难度的事情了。我们要到以后才真正需要去学习这些内容，但既然班上的孩子们是这么聪明，我们可以现在先尝试一下。
    两个孩子站在线的起点处，一边一个。一个孩子边走边大声说出2的乘法表，另一个孩子则边走边大声说出3的乘法表。一开始他们并没有拉手，但他们走得如此之好，因此他们试着开始拉手。这并不容易！不过幸好他们是好朋友，而且他们尽最大努力不让对方过于不自在。他们的友谊能够坚持下去，完全多亏了6-12-18-24……这些数字的帮助，在这些数字上他们可以一起跳，而在
2-3-4
8-9-10
14-15-16
……
这样的数字上，他们简直要把对方的手臂拧断。不过，由于他们十分专注，节奏得以继续下去。这对于说2的乘法表的孩子要更难，实际上是加倍的难。

莫兰

在下图中，我们用两条短竖线表示跳跃，用一条短竖线表示普通的步伐。我们可以看到两个孩子的步伐时而协调，时而不协调，两种状态有节奏地交替着。如果游戏进行顺利的话，我们仔细听就会听到一种新的、由两个调子构成的旋律。两种相互冲突的节奏创造出了更高的和谐。
    （83页图）“I can jump, I can count, see my jump, see me count.”（我会跳，我会数，看我跳，看我数）
    在这些插曲之后，我们又回到圆圈。我们手拉手，围成一个漂亮的圆。我们站在原地，开始做一个小小的游戏——手臂先向后摆动，然后向前摆动，同时数出相应的数字。2的乘法表又一次出现了，尤其是如果我们把手摆到身后的时候，不发出声音，只是在心里默数的话。如果我们能够从空中向下俯瞰，这一情景会非常悦目，特别是如果孩子们彼此靠得不太近的话。
    （84页图）俯瞰时的游戏场景

莫兰

现在我们要问，我们可不可以一只手往前摆，另一只手往后摆，就像我们走路的时候一样。我们来试试看。首先我们放开彼此的手，试着像走路一样摆动它们。我们都以同样的方式摆动，所有的右手往前，左手往后，然后右手往后，左手往前。很快我们就走得很整齐了，不过只是手在动。很明显，我们的手无法相握，只能在挥动手臂时彼此相撞。我们都看得很清楚，如果要取得和谐，相邻学生的动作就必须相反。在这个时候，会有一些学生已经想到奇数和偶数。不过眼下我们采取一种实用的方法而不是理论性的方法，比如说，我们选择5个学生，让他们站成一个圆圈。其中一个开始时右手向前，左手向后，他的两位邻居则以相反的方向摆动手臂，与他达成一致。但当这两个邻居的邻居试图加入时，却发现行不通。5个学生玩不起来这个游戏。

莫兰

然后我们试着用6个学生，这一次可以。但7个学生时又出现了同样的问题，于是我们匆匆换成8个。突然之间我们发现，我们可以使用2的乘法表上的数字。我们称这些数字为“偶数”，每个人都觉得这个名字非常形象。其他的数字称作“奇数”，这也是一个很恰当的名字。
    不过，体会这些偶数的最好办法却是一边数数，一边先往前挥一只手，再往后挥另一只手。不论我们是否彼此拉手，这都可以做到。你自己试一试，就会同意孩子们的意见：这不仅看上去很协调，而且做起来也很好玩。
    同样，试着想象一下，如果孩子们以慢动作做这个游戏，从高空看是什么样子。作为成人，我们可以这样做，但孩子们更多是用肢体而不是用头脑来感受它。
（86页）像走路一样挥动手臂

莫兰

接下去让学生们再做一遍这个游戏，问他们，如果人数为奇，能不能做这个游戏。他们很快发现是可以的，只是要做些调整。一个学生可以两只手都往同一个方向挥动，从而成为左右邻居之间“失落的一环”。我们可以在另一个位置加上另外一个“失落的一环”，于是游戏呈现出新的形式。实际上，我们的人数再次变为偶数，并不真正需要这两环了。
    下一个游戏，我们再次站成一圈。其中一个学生左脚先向前跨一步，然后右脚向前跨一步，同时说“1-2”。第二个学生也以同样的方式向前跨步，同时说“3-4”，圆圈中的其他人一个接一个继续下去，直到我们弄清楚，今天有多少只脚来上学了。第二轮的时候，我们把重点放在每一个第二拍上，重重地跺脚，这样2的乘法表就出现了。同样的方法可用于4的乘法表，只是这一次，每隔一个学生在向前迈出右脚时重重跺脚。这要难一些，有的学生会在向前迈步时跺脚，尽管他的数字不是4的倍数。但真正的困难是在我们试着以同样的方式练习3的倍数的时候。要过好久大家才会发现，之所以有问题，是因为两条腿的生物在试图踏出三拍子的旋律。有的人不需要跺脚，有的人需要跺右脚，有的人则需要跺左脚。邻居的脚会下意识地想要帮助，就像一个司机，即使坐在乘客的位置上，也会不由自主地做出踩刹车的动作。
    这个游戏给学生们带来很多快乐。也可以只用少数几个学生试一试。只用三个人玩3的倍数是相当乏味的，但如果让2个或4个学生玩这个游戏，则会有意思得多。
    所有这些游戏都可以修改为让孩子们坐在课桌上玩。例如，3的乘法表可以修改为在强拍时双手互拍，而在弱拍时则用手拍打课桌。一直到6的乘法表，节奏感都是非常强的，虽然孩子们事先并不知道这些乘法表。除此以外还需要其他的方法。基本上，是声音使得乘法表在孩子们心中留下印象，而不是让孩子们去硬记一系列数字。记忆在孩子们的学习中非常重要，但如何记忆也同样重要。
    同样重要的是，这种学习乘法表的方法应该反映在孩子们的课本上，也就是说，以一种视觉的方式呈现出来。在后面的章节中我们会回到这一主题（第七章），并讨论如何用最好的方式学习较大数字的乘法表。
    一直到现在，我们都没有提过应在课程的哪个部分使用这些游戏，甚至没有提到以何种顺序使用它们。每一位老师都会凭自己的经验知道，何时是使用特定游戏的“正确”时机。很大程度上，这取决于老师选择以什么样的顺序向学生教授数学，也取决于他使用什么教材。笔者在一所斯坦纳/华德福学校任教多年，根据学校的理念，也出于自己的信念，从不使用印刷的数学课本，而是根据班上孩子在不同年龄的需要来确定教学方法。笔者认为，不应让若干年之前所写的一本书（哪怕是非常出色的一本书）的作者，一位对我们班级逐日不同的需要一无所知的作者，来确定自己课堂上的讲授内容。
    同样，我也不能在这里规定每个游戏的使用时间或顺序。确定何时何处使用这些游戏的，应该是老师——用自己的手指去感受班级脉搏的老师。出于同样的考虑，很显然，老师可以自由修改特定的游戏，以适应特定班级和特定情境的需要。
    因此，请把前文以及后文所述的游戏仅仅当作能够以一种或另一种形式使用，从而给班级学习带来活力的建议。此外请记住，我们编这些游戏，首先——而且最重要的——是为了孩子们。这些孩子们来到学校，希望得到一个老师，而不是像经常发生的那样，得到一本课本。对于年级小的孩子，尤其在数学这门课上，就更是如此了。
    数学这门课最显著的一个特点就是，我们很容易发现或创造出一些模糊的理论，去满足成人的智力。然而数学这门课，就其本质而言，是鼓励身体活动的，而身体活动是促进儿童意志发展所必不可少的。

莫兰

先放这些哈。
好遗憾，没有图。

弦歌

这本书很不错啊，啥时候有中文出版

小滕宝宝

说实话，翻译这本书的过程中，我收获还是挺多的，对于儿童如何学数学有了一个比较感性的认识。
莫兰 发表于 2011-10-20 09:19

居然才发现此帖，关注

蒲公英

谢谢莫兰，只看了几贴就觉得不错，先顶一下。

柳林风声

非常感谢莫兰，贴得好辛苦呢
很关心这本书啥时会出版？