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楼主: 学父五迁
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[教育专版] 《数学建模直观游戏》 [复制链接]

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81#
发表于 2014-10-28 14:28:47 |只看该作者
师长指导学生,画出从“1”到“99”的所有形线画。
对于小于“10”的数量,“十位”椭圆保持为空,可以省略。
我们把这种形线画叫做十进制形线画。

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82#
发表于 2014-10-28 14:29:28 |只看该作者

原创作者:学父五迁
《数学建模直观游戏》

11. 百位

上一章,我们构造了“99”的十柱型和十进制形线画。
接下来,我们就要像“100”进军了。
量变引起质变。“99”是一个关键的临界点。
一旦突破了这个临界点,推进到了“100”,我们就遇到大麻烦了。

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83#
发表于 2014-10-28 14:29:54 |只看该作者
“100”的十柱型只有一个“倍数项”。
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84#
发表于 2014-10-28 14:30:23 |只看该作者
我们可以看到,“100”的十柱型,由十层“除数层”组成。
也就是说,我们需要在“十位”椭圆中,记录十条横线。
“个位”椭圆中的横线数量从未超过九条。
难道现在我们要在“十位”椭圆中打破这个规律吗?
打破这个规律又如何呢?
打破这个规律之后,我们又会陷入到我们开始遇到的问题——记录数量的横线太多。
现在,我们有了十层“除数层”,我们在“十位”椭圆记录十条横线。
如果我们有了二十层“除数层”呢?我们也在“十位”椭圆记录二十条横线吗?
如果“除数层”有三十层、四十层、甚至九十层呢?我们该怎么办?
我们也在“十位”椭圆记录九十条横线吗?那我们得需要一个多大的“十位”椭圆?
那么,我们如何解决这个问题呢?
解决思路是现成的。
前面,我们为了减少记录量,引入了一个新椭圆——“十位”椭圆。
现在,我们遇到了同样的问题,我们故技重施,再引入一个新椭圆——“百位”椭圆。
“百位”椭圆中的每一条横线,都代表一板立方格——如图所示,方方正正的一板立方格。
这个方方正正的板,是个平方板,宽和高都是十个立方格,共有一百个立方格。
也就是说,“百位”椭圆中的每一条横线,都代表一百个立方格(一板立方格就是一百立方格)。
“百位”椭圆正是因此特性而得名。
于是,为了记录“100”的十柱型,我们需要三个椭圆,从左到右,依次排开。
最左边的“百位”椭圆中,记录一条横线,代表一板立方格(一百个)。
中间的“十位”椭圆,保持为空,表示没有另外的“除数层”。
右边的“个位”椭圆,保持为空,表示没有另外的“余数层”。

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85#
发表于 2014-10-28 14:31:35 |只看该作者
对于空椭圆,文中用“0”表示。
线段都是用椭圆包裹起来。
“100”的十进制形线画如下。
-  0  0
任务圆满完成。
这三个椭圆,在样式上没有任何区别。
这三个椭圆的进位法则也是一模一样,都是十进制,都是“逢十进一”。
“个位”椭圆是逢“十个立方格”,就进位到“十位”椭圆,在“十位”椭圆中加一条横线。
“十位”椭圆是逢“十层”,就进位到“百位”椭圆,在“百位”椭圆中加一条横线。
无论是形式,还是记录法则,这三个椭圆都完全一样。
唯一的区别在于,这三个椭圆的位置。
位置不同,代表的“数位”就不同。
“个位”椭圆中的一条横线,只代表一个立方格。
“十位”椭圆中的一条横线,代表一层,十个立方格。
“百位”椭圆中的一条横线,代表一块“百格平方板”,一百个立方格。
所谓“位高权重”,就是这个道理。数位高,权值就重。
我们可以看到,这种十柱型已经带有了明确的“十进制进位规则”。
这种十柱型就叫做十进制柱型。

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86#
发表于 2014-10-28 14:31:56 |只看该作者
现在,我们已经构造到“100”的十进制柱型了。
这是一个具有里程碑意义的事件。
西方一些学校有过“百日”的传统。
这个“百日”不是指婴儿出生满百日,而是指孩子入学满百日。
在这一天,每个孩子都会准备一百个小物件,比如,一百个珠子,一百张卡片,一百根小棍,等等。
在这个过程中,孩子们自然会数到一百。
这种大数量计数的直观经验,对于孩子来说,非常重要。

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87#
发表于 2014-10-28 14:32:35 |只看该作者
接下来,老师引导学生做一个重要的练习——把“100”的十柱型展开成一条。
一百个立方格全部铺开,是非常长的一条。
这么一个练习,是为了让学生们获得“二维平板展开为一维长度”的直观印象。
师长毋须讲解,学生自行操作体验即可。

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88#
发表于 2014-10-28 14:33:21 |只看该作者
接下来,我们还要推进到“1000”以上。
下面是一些关键步骤的十进制柱型和十进制形线画。
.......

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89#
发表于 2014-10-28 14:34:34 |只看该作者
原创作者:学父五迁
《数学建模直观游戏》

12. 百位模型的十位状态

随着立方格用得越来越多,学生们可以分成小组,合作构造十进制柱型。
“199”的十进制柱型。
......
师长提示学生观察百位数量的十进制柱型特征。
“倍数项”本身也分成了两项——“百倍项”和“十倍项”。
“十倍项”的层数,只有十种情况。
第一种状态:一层也没有。即,没有“十倍项”。
第二种状态:有一个“十倍项”,其中包含一层“除数层”。
第三种状态:有一个“十倍项”,其中包含二层“除数层”。
第四种状态:有一个“十倍项”,其中包含三层“除数层”。
第五种状态:有一个“十倍项”,其中包含四层“除数层”。
第六种状态:有一个“十倍项”,其中包含五层“除数层”。
第七种状态:有一个“十倍项”,其中包含六层“除数层”。
第八种状态:有一个“十倍项”,其中包含七层“除数层”。
第九种状态:有一个“十倍项”,其中包含八层“除数层”。
第十种状态:有一个“十倍项”,其中包含九层“除数层”。
这十种状态以十为周期出现。
这十种状态正好对应“0”到“9”这十个十进制数字。
十进制数字中,每一个数位的数字,只有这十种可能。

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90#
发表于 2014-10-28 14:34:56 |只看该作者
通过这个游戏,学生能够切身体会到十进制数字的构造过程。
总数除以十,得到一个商和一个余数。余数就是个位数。
商再除以十,得到的余数,就是十位数。
十进制数字的构造过程,正是不断地除以十并求余的过程。
师长毋须讲解,学生操作体会即可。

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91#
发表于 2014-10-28 14:35:33 |只看该作者
原创作者:学父五迁
《数学建模直观游戏》

13. 千位

这一章,我们就要向“1000”进军了。
量变引起质变。“999”是一个关键的临界点。
一旦突破了这个临界点,推进到了“1000”,我们就再一次遇到麻烦了。
“1000”的十进制柱型中,有了十板“百格板”。
这十板“百格板”合在一起,就构成了一个长宽高都为十的大立方体。
我们称之为“千格立方体”,因为这个立方体中共有一千个立方格。
出于同样的理由,我们不希望“百位”椭圆中的横线数量超过九。
出于同样的原理,我们引入一个“千位”椭圆,用于记录“千格立方体”的数量。
因此,“1000”的十进制形线画由四个椭圆组成,从左到右,依次排开,
分别是“千位”椭圆、“百位”椭圆、“十位”椭圆、“个位”椭圆。
最左边的“千位”椭圆中,记录一条横线,代表一个“千格立方体”。
第二位的“百位”椭圆,保持为空,表示没有另外的“百格平方板”。
第三位的“十位”椭圆,保持为空,表示没有另外的“除数层”。
最右边的“个位”椭圆,保持为空,表示没有另外的“余数层”。
“1000”的十进制形线画如下。
-  0  0  0

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92#
发表于 2014-10-28 14:36:03 |只看该作者
接下来,老师引导学生做一个重要的练习——把“1000”的十进制柱型展开成十个平方板。
十个平方板全部铺开,是非常长的一条。
这么一个练习,是为了让学生们获得“三维体积展开为二维平板”的直观印象。
接下来,把其中一个平方板展开成一条。
仅此一条的长度,就等于之前的十个平方板铺开的长度了。
如果地方足够大的话,把所有平方板全都展开。
一千个立方格排成一条,几乎能超越一间教室的长度。
师长毋须讲解,学生自行操作体验即可。

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93#
发表于 2014-10-28 14:37:05 |只看该作者
“1000”之后的关键数量的十进制柱型和十进制形线画如下。
......
师长提示学生观察千位数量的十进制柱型特征。
“倍数项”本身也分成了三项——“千倍项”、“百倍项”和“十倍项”。
“百倍项”(“百格平方板”)的块数,只有十种情况。
第一种状态:一块“百格平方板”也没有。即,没有“百倍项”。
第二种状态:有一个“百倍项”,其中包含一块“百格平方板”。
第三种状态:有一个“百倍项”,其中包含二块“百格平方板”。
第四种状态:有一个“百倍项”,其中包含三块“百格平方板”。
第五种状态:有一个“百倍项”,其中包含四块“百格平方板”。
第六种状态:有一个“百倍项”,其中包含五块“百格平方板”。
第七种状态:有一个“百倍项”,其中包含六块“百格平方板”。
第八种状态:有一个“百倍项”,其中包含七块“百格平方板”。
第九种状态:有一个“百倍项”,其中包含八块“百格平方板”。
第十种状态:有一个“百倍项”,其中包含九块“百格平方板”。
这十种状态以十为周期出现。
这十种状态正好对应“0”到“9”这十个十进制数字。
十进制数字中,每一个数位的数字,只有这十种可能。

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94#
发表于 2014-10-28 14:37:24 |只看该作者
通过这个游戏,学生能够切身体会到十进制数字的构造过程。
总数除以十,得到一个商和一个余数。余数就是个位数。
商再除以十,得到一个商和一个余数。余数就是十位数。
商再除以十,得到一个商和一个余数。余数就是百位数。
十进制数字的构造过程,正是不断地除以十并求余的过程。
师长毋须讲解,学生操作体会即可。

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95#
发表于 2014-10-30 12:43:18 |只看该作者

模型操作,重在意会,不在言传。
开始阶段,尽量少用术语。
那些术语是为了方便师长阅读。

对于孩子。
师长可以用词如下。
在讲到除法之前的很长一个阶段里,
师长可以用“完整长方形”来代称“倍数项”,
可以用“整行”来代称“除数层”,
可以用“小行”来代称“余数项”或“余数层”。

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96#
发表于 2014-10-30 14:08:52 |只看该作者

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97#
发表于 2014-11-2 17:50:28 |只看该作者
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