旗帜鲜明的反对竖式

学父五迁

明月照我心 发表于 2014-11-22 14:59
容易吗  楼主不是说了，他认为学校教的这个东西，妨碍了孩子认识本质。  发表于 20 分钟前

容易吗  我 ...

这么说吧。

我反对的不是学校，是竖式。

现在，全世界所有的学校，都在教竖式。
"新教育"，同样在教竖式。
竖式不仅是学校教的。
在家上学，同样大部分都在教竖式。

我的建议是，竖式应该作为数学文化的部分而存在，就像珠算一样。

学父五迁

明月照我心 发表于 2014-11-22 15:06
我补一刀。来看这个链接：

http://bbs.liyueer.com/forum.php?mod=viewthread&tid=92068&page=7#pid ...

呵呵。明月确实牛。基础很扎实。
明月不妨谈谈对奥数的看法。

关于小学阶段是否要引入奥数，如何引入。
我现在也没有想清楚。

我只想引入一些思维方式。
在我看来，这些思维方式，体现了本质。
比如，对于这些题型，我目前的打算如下。

(1) 加减法之后，就引入除以“2”的整除。
（或除以“2”的幂次，比如，除以4、8等）

基本模型是模仿“隔板法”的模型（不引入任何概念）。

具体做法就是，将多个单位（“1”、“10”、“100”等）
分成两份。

比如，
1, 1, 1, 1, 1, 1
六个立方格之间，插板。

10, 10, 10, 10
四个十格长条之间，插板。

100, 100, 100, 100
四个百格平方板之间，插板。

(2) 除数大于等于2的带余除法。除数从2到9。

基本模型是仿造“抽屉原理”（鸽笼原理）。
尽量将数量分成平均的几柱。
看看最高的柱，最低是多少。

在玩这个游戏的过程中，学生可能会加深对除法的理解。

(3) 乘法

排列组合题型中的乘法原理，也许适合作为引入乘法的例子。

比如，棋盘上的路线数量模型，就很直观，而且暗合组合公式构成的贾宪三角形。

学父五迁

哈哈。
"容易吗"解读得很准哪。赞。

容易吗

珠算我了解有些私立在学的，而且是一年级.

学父五迁

明月照我心 发表于 2014-11-22 15:38
噢，你是在设计数学课程？

小学阶段不建议引入奥数。

三年级前的奥数题，基本上都是智商测试题型，考一些空间规律识别的能力。
三四年级之后的奥数题，才具有了“数学”涵义。

我比较保守一些。
12周岁之前，具体运算阶段（具体数字）。
12周岁之后，才是抽象思维阶段（代数）。

12周岁之前，我只是考虑借鉴这些形象模型。
我感觉，有些形象模型体现了数学思维，适合启发孩子的自悟过程。

学父五迁

我的总体思路就是：
帮助学生习得"设计算法"的能力，而不是强求学生熟练掌握某一种算法。
竖式，这种形格势禁的算法，对学生"设计算法"的思路有负面作用。

容宝爸爸

学父五迁 发表于 2014-11-22 14:11
这样吧。
先看三个具体问题。

今儿天气好，心情也好，也来挑战一下学父布置的作业：34908098898083535252÷498。
直接使用竖式法计算，无论大人还是孩纸都可能会对位对花了眼，或者一页草稿纸上演算不完就昏了头。

那么，试着考虑大事化小的思想同时结合稍做改良后的“竖式法”，分别执行如下计算过程：
1。先任意分段被除数，比如34908098898083535252 = 3490809，8898，08353，5252；
2。依次计算每个分段被除数，记录分段商，同时把本分段余数拼接到下一分段被除数之前再开始计算；
3。重复步骤2，直到所有分段都已经计算完毕；
4。最后把所有分段商依次拼接起来即是最终结果商，而最末分段的余数即是最终结果余数。

注：稍做改良“竖式法”，指合理吸取横式法的避免重复工作量的技巧，比如我们设想把中间结果记录在草稿纸的右上角，好像是一个九九表，只不过最多只有9个格子，每个格子里记录除数的某个1～9的整倍数，姑且称为“小9表”。
这样一方面，随着试算过程推进，“小9表”不断插入新值，而我们最多仅仅需要9次实际乘法运算（0乘任何数为0），即可在草稿纸右上角完整建立“小9表”，以后每一位的试算都直接查“小9表”，比较大小即可，也就是说，最多仅仅需要8次学父所说的草稿纸上的擦除试商失败结果的动作；另一方面，我们仍不放弃竖式法，能够看到的意义之一在于，每一步都严格只计算商的一位数，这样依次、规整、机械、重复的有限过程，其实非常有利于计算机器语言来描述，有助于我们理解如何让计算机来协助人类完成这些任务。


具体验算过程如下：
（一）第1分段3490809÷498的计算过程：
计算3490÷498
3490
3486
----------
0004（为了电脑显示排版整齐前面补0，实际草稿纸验算过程可不补0。）
这其中可能经历两次试商失败，不过也都把中间结果记录到草稿纸右上角的“小9表”，也不算走了弯路。
试商9失败：498×9=4482【可选速算：速算过程4482=（500-2）×9=4500-18】
试商8失败：498×8=3984【可选速算：速算过程3984=（500-2）×8=4000-16，验算3984=4482-498】
试商7成功：498×7=3486【可选速算：速算过程3486=（500-2）×7=3500-14，验算3486=3984-498】
所以，3490÷498=7（商）...4（余）

接下来算48÷498
48
00
------
48
试商0成功：48 < 498×1
所以，48÷498=0（商）...48（余）

接下来算480÷498
480
000
-------
480
试商0成功：480 < 498×1
所以，480÷498=0（商）...480（余）

接下来算4809÷498
4809
4482
---------
0327
试商9成功：参考草稿纸右上角的“小9表”的中间结果498×9=4482
所以，4809÷498=9（商）...327（余）


至此，分段3490809的计算结束：3490809498÷498=7009（商）...327（余），这里把余数327拼接到下一分段8898，记做(327)8898。

（二）第2分段(327)8898÷498的计算过程：
类似的，3278898÷498=6584（商）...66（余），把余数66拼接到下一分段08353，记做(66)08353。
（三）第3分段(66)08353÷498的计算过程：
类似的，6608353÷498=13269（商）...391（余），把余数391拼接到下一分段5252，记做(391)5252。
（四）第4分段(391)5252÷498的计算过程：
类似的，3915252÷498=7861（商）...474（余）。
注意到第4分段为被除数最末分段，依次拼接各分段商得到最终结果商，末分段余数即是最终结果余数：
34908098898083535252 = 3490809，8898，08353，5252
34908098898083535252÷498=7009，6584，13269，7861（商）...474（余）
34908098898083535252÷498=70096584132697861（商）...474（余）

最后提炼一下，这就是所谓的分治思想(divide-conquer)的实际应用：
当已知技术手段（比如竖式法）对大问题本身看似无能为力的时候，我们把原大问题等价拆分为多个已知技术手段可解的新小问题，然后再整合所有新小问题的解得到原大问题的解。

==========================================================================
引申一下，这个问题转化成：
小明的数学老师要大家完成一道除法题，他先在黑板上完整写出某个数作为除数，如835392，接着就在黑板上不停的写下一串数431343532343...，边写嘴里边说，“同学们别闲着啊，我在写被除数的时候，大家就开始算商，看谁算得最快。” ——怎么破，我们非得等到老师写完被除数再开始算商吗？如果我是小明，我肯定立刻动手，先在我的草稿纸的右上角先列出“小9表”（用加法乘法皆可）：
835392×1=835392
835392×2=1670784
835392×3=2506176
...
835392×9=7518528
然后我就开始从被除数的高位，开始一位数一位数的试商，查“小9表”，定商，求余数，。。。
也许不是班上脑子最敏捷或手脚最麻利的同学，但我相信这个的方法本身还是比较优化的，当然也期待其他同学更加天才的方法。

容易吗

疯了，你们是在搞数学竞赛吗？

容易吗

容宝爸爸 发表于 2014-11-22 18:13
今儿天气好，心情也好，也来挑战一下学父布置的作业：34908098898083535252÷498。
直接使用竖式 ...

那么，竖式法到底该不该教，在你看来？

学父五迁

容宝爸爸 发表于 2014-11-22 18:13
今儿天气好，心情也好，也来挑战一下学父布置的作业：34908098898083535252÷498。
直接使用竖式 ...

哇。容爸太牛了。
一眼就看到问题的本质——乘法表。
因为每一步的商只有一位。
那么，乘法表就只有9条。

分段法更是体现了多项式的思想。

实际上，计算机中的并行运算，也是采取了类似的算法。

学父五迁

容易吗 发表于 2014-11-22 19:55
那么，竖式法到底该不该教，在你看来？

容爸有一句话。

-- 另一方面，我们仍不放弃竖式法，能够看到的意义之一在于，每一步都严格只计算商的一位数，这样依次、规整、机械、重复的有限过程，其实非常有利于计算机器语言来描述，有助于我们理解如何让计算机来协助人类完成这些任务。

汐岩

我是这么想，如果孩子买个小书架，别人问她：你这书架这么小，以后你有6578997654本书了，该放哪里？我觉得孩子根本不会操这心，现在好用就够了，以后，自然会有以后的办法，不断改进才是人生乐趣所在。你一下给她一个可以放6578997654本书的书架，她觉得很难理解，而且这辈子再也没有机会买真正适合自己的书架了，更悲催的，或许她一辈子只买了50本书，可是仍然要用一个放6578997654本书的书架装这50本书

容易吗

刚才容爸给我解释了一下竖式算法的本质，他理解的本质，我说我有个感觉，这就像美术里的简笔画有木有。他基本认可我这个比方，但是他认为还是该教过孩子，因为这是提炼过的，精华的东西。

容宝爸爸

大家太抬举我了，我哪里牛啊，小码农一枚。
偶尔有些小点子，其实也不是原创的，或从这里哪里偷学而来，厚颜的自己竟记不得师出何处了。
今天想到分段被除数这个想法，先是直觉应该行，但起初并没有得到容妈的支持。
（是啊，跟领导说话怎么能够没根没据呀，所以就花了些时间写了个帖子。自我感觉就文章来说，立意不怎么高妙，就只求工笔清秀加点印象分了。）

孩纸教育我本人是外行，但还喜欢像孩纸一样充满好奇心的来探索吧。试着集中回复一下哈，如有不妥，请大家呵呵即可。
@容易妈：“那么，竖式法到底该不该教，在你看来？”
抱歉，我的观点可能让领导失望了。我个人目前认为，可能还是应该交给孩纸们这样一个“古板”而“没有人性”的办法，让他们体会这个计算过程。
这样一个运算过程是除法问题求解的一般抽象过程（抽象后会失去很多形象的元素），孩纸们应该接触这样一个解决问题的一般方法（一般方法对于具体问题的求解往往不是最优的；但是当其他最佳解法都不灵光的时候，还是得退到笨这个办法来。），通过一次次反复逐位求商体会这样一个迭代过程，而这种迭代过程也有所体现今后某些高大上的数学思想（如归纳法）等，还有试商的过程其实还是蛮有挑战性的，经过一些练习后孩纸的数的直觉可能会更好，失败的次数也越来越少，至少让他们形成正确判断当一次试商失败后，到底应该商+1还是商-1，而这些也会体现后来其他学科的某些方法（如算法设计的二分法）。对于方法本身的认识，甚至还可能作为孩纸批评性思维训练的良好素材，不回避“经典”存在的缺陷，大可想想办法可否改进。位数多了不容易对位怎么办？补零吧。试商过程重复计算怎么提升效率呢？维护和利用中间结果啊。（其实这两个办法我也是看了学父的帖子，在恍然大悟，尽管这些思想我在其他地方也常用，可我为什么以前没有想到用来解决这两个问题呢？！）

再说另一方面，我也承认竖式计算法本身就不是除法的全部，更不应该把这个方法交给孩纸后，让孩纸形成错觉这是除法的全部。我直到今天才被科普了学父推荐的链接后才明白，横式法竟然包含以前自己小学时候学的某些速算题涉及的心算或估算，不知道理解得对不对，也许把横式法称为“非竖式计算法”更能让人明白一些。我坚信这种心算（口算）以及其他估算过程与形象思维高度关联，确实很符合孩纸天性，而且可能也符合大部分人的日常的绝大多数思维活动，可谓是一个人的生存必备技能，比如超市白菜0.98元/斤，5斤共4.90元，这可以迅速准确心算；青菜1.58元/斤，3斤白菜和2斤青菜哪个贵，这个可以迅速估算。不知道这些口算估算法可不可以说是泡妈提到的属于自己的那50本书？

让孩纸们学会用斧头，也要会用剪刀，更重要的是要他们明白：什么时候该用剪刀，什么时候该用斧头。

@明月照我心：“这些个复杂的横式、改良竖式，打算是教给谁呢？小学生？”
我承认，这些个算法真没法教给他们，更不忍心让他们扮演计算机的角色去解决某些特定的问题。
不知道现不现实，如果能够抛砖引玉，让某些有兴趣的孩纸体会到这种方法改进背后的原因（为什么要改？为什么留？新的方法和旧的方法有何异同？甚至说我今后可不可以有更好的其他尝试呢？），那么我就很欣慰了。

@学父五迁：“分段法更是体现了多项式的思想。实际上，计算机中的并行运算，也是采取了类似的算法。”
1。您一说，我也觉得我上面的分段法有一点像多项式。
2。另外发现，我上面分段拼接这个算法的并行性不好，因为后一段被除数的计算总要依赖前一段余数进行拼接。
而泡泡用的那个办法，仿佛更体现多项式的精髓（被除数的每位数都要考虑的其对应的权值，如1，10，100，1000等），才能真正并行。例如125÷7，把被除数分拆100+25，（100+25）÷7=（100÷7）+（25÷7）。
先是divide部分：
100÷7=14（商）...2（余数）
25÷7=3（商）...4（余数）
注意到，两个除法运算都独立进行，互不依赖对方的输出作为自己的输入。

再是combine部分：
先是两个商直接相加14+3=17，而后再把余数相加（2+4）后再做一次除法：
（2+4）÷7=0（商）...6（余数），
把商0与17累计得到最终商17，余数6即是最终余数6，即：125÷7=17（商）...6（余数）。

3。好像我那种分段拼接方法，更适合解决无限的随机输入数据流，处理被除数的每一位数的策略总是相同的，也就是说并没有区分这位数所在位置对应的权值是多少，是10，100，1000等。也就是说当老师在黑白写被除数，写了很长很长一大段，但他在写完之前，你并不知道已知的被除数的第一位数到底对应的权值是100，还是1000，还是10000。。。，但是您在已知除数的前提下，仍然可以开始从被除数的第一位开始计算，而且确信这样算最终结果也是正确的。

具体使用我的分段法，来解决同样的问题：125÷7，把被除数分拆两段12，5。
第一步：12÷7=1（商）...5（余数）
第二步：(5)5÷7=7（商）...6（余数）
把商1与7依次拼接得到最终商17，末段余数6即是最终余数6，即：125÷7=17（商）...6（余数）。

注意到，第一步12÷7其实并不是（12×10）÷7，这就是我的方法和泡泡的方法的区别。

4。最后在补充一句，其实我那个所谓的拼接办法，真的会让明眼人呵呵的，或许大家明天早上就一醒来就立刻会心呵呵了。
说了那么多，只不过是把竖式计算法改换了一下记录方法而已。也就是把原来拼在一盘皮萨，分别把其中每一小块摆到圆桌上的每个小朋友面前的盘子里而已，而从吊灯角度俯视，这些皮萨依旧是一个圆饼啊，只不过分得开了些嘛。
这就像小学一年级时，我们写的等式：“2 + 3 = 5”；
到了高年级，却写成：
“2 + 3
= 5”

所以，这也是我没有再厚着脸证明我哪个所谓的“被除数分段法”的原因，真的没有什么技术含量，卖弄了这些文字，大家见谅才是。