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楼主: 学父五迁
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[教育专版] 《数学建模直观游戏》 [复制链接]

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21#
发表于 2014-10-26 22:27:54 |只看该作者
本书的名字中的“建模”二字,也是建立数学模型的意思。
不过,本书讲解的数学模型,面对中小学生。
本书的建模问题,并非现实社会中的未知问题,而是数学、物理、化学、生物、地理等各个科目中的现成数学定理。

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22#
发表于 2014-10-26 22:28:22 |只看该作者
本书运用故事力,将一些高年级、跨科目的重要定理,用小学生能够理解的故事形式,表现出来,
从而让小学生就能够理解并操作相应的数学模型。

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23#
发表于 2014-10-26 22:29:14 |只看该作者
除了这个高层次的含义之外,本书的“建模”还有低层次的含义——数学教具模型。
数学教具模型,并非什么新鲜理念,早已流行了一个多世纪了。
其中,几何造型的教具居多。
表现大数量模型的教具,并不是很多。
蒙台梭利教具中的十进制珠子展示教具是其中一个,能够表现个、十、百、千等大数量。
数量“10”用一条10个珠子的珠串来表示。
数量“100”用一个“10 X 10”的珠子平方板来表示。
数量“1000”用一个“10 X 10 X 10”的珠子立方体来表示。
一些家长反映,使用这套教具,四五岁的孩子就能够轻松掌握以及千以内的加减法进位退位等计算。
单从这个效果看,这套教具就比一般的一二年级数学课本要强许多。

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24#
发表于 2014-10-26 22:29:49 |只看该作者
不过,这套教具只能演示最基本的数量模型,而且,并非最佳演示模型。
皮亚杰曾在著作中提出一套类似的教具模型,以“立方块”为基本数量单元。
比起珠子,立方块更适合作为基本数量单元。
因为,立方块很容易扩展为长度(一维直线)、面积(二维平面)、体积(三维空间)的概念。
一些新编的小学数学课本、教案、竞赛教程中,也开始使用立方块模型,表示个、十、百、千等十进制数量概念。
单个立方块,就代表个位上的一个单位;十个立方块组成的条子,就代表十位上的一个单位;
10 X 10 的立方块构成的平方板,就代表百位上的一个单位;
10 X 10 X 10 的立方块构成的立方体,就代表千位上的一个单位。

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25#
发表于 2014-10-26 22:30:17 |只看该作者
在展示数学概念方面,立方块相对于珠子,优势显著。
在此基础上,我进一步改进,把“立方块”改进成了“立方格”——即,空心的立方块。
立方格不仅可以像立方块一样,成为单元数量模型,其本身还可以作为容器,装入豆子、珠子等数量模型。
这样,立方格教具就相当于蒙台梭利教具和皮亚杰教具结合了。

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26#
发表于 2014-10-26 22:30:45 |只看该作者
我为什么要做出这样的改造?
因为,立方格是“容器”。
这一点,具有深远的意义。
由于立方格是容器,因此,把立方格在各个维度方向拼接起来,就能构成一维、二维、三维的坐标系。
我们可以把豆子、珠子等小数量模型放入到坐标系的“格子”里,构成坐标点,表达更为复杂的数学模型。

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27#
发表于 2014-10-26 22:31:19 |只看该作者
本书中,数量表达形式的进化过程如下。
(1) 教具模型。立方格,袋装豆子,杯装豆子,等。
(2) 形线画。由一个外圈和圈内横线构成。外圈是一个正立椭圆,圈内是一条条短横线,代表数量。
(3) 具体数字。0到9这十个阿拉伯数字组成的数字。
(4) 文字代数形式。如“底 X 高”这样的面积公式。
(5) 字母代数形式。如“a + 5 = 12”这样的带有未知数的方程等式。

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28#
发表于 2014-10-26 22:31:49 |只看该作者
本书尽量推迟这个进化过程。
本书尽量把高阶知识转化成低阶形式,以便低年级小学生就可以提前接触高阶知识的具体运算步骤。
这正是本书的重要特色之一。
本书的课程安排,遵循着从“特殊到一般”的归纳过程。
前一个阶段的运算练习,通常是后一个阶段概念的特化后的具体运算步骤。
这样形成前后串接、藕断丝连、连续迭代的关系。
当师长后面讲到相关数学概念的时候,小学生已经提前获得了相关概念的具体运算操作的体验感受。

点评

一起成长  “把高阶知识转化成低阶形式”-我也有此想法,不过我是惰性气体,不容易行动起来  发表于 2014-10-30 09:20:35

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29#
发表于 2014-10-26 22:32:19 |只看该作者
下面说说具体年龄段的内容安排。
七周岁到十二周岁之间,共有五年时间。
本书为这五年时间安排了充裕的内容,即使是打算参加数学竞赛或提前自考的早慧儿童也能吃得饱。
这部分内容的表现形式,基本上不会超出前四种,最多只抽象到“文字代数形式”的程度,不会出现“字母代数形式”。
十二周岁之后,大门彻底打开,包括字母代数形式在内的一切数学语言,都可以自由引入了。
对于七周岁之前就开始学习数学的孩子,我更是要着力推荐本书了。
因为,本书注重形象思维,推迟抽象符号,比其他教材更“安全”。

点评

学父五迁  对。这些已经是最简单的代数形式了。这个程度的代数形式,是无妨的。抽象程度更高的代数,是可以把整个式子都代入进去的。  发表于 2014-10-30 12:37:16
一起成长  “字母代数形式”--不知道你家孩子多大,上什么性质的学校,现在小一教学就会涉及代数形式,不一定是字母,可能是个三角形或者小动物  发表于 2014-10-30 09:23:24

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30#
发表于 2014-10-27 10:49:44 |只看该作者
哇!原创的!
谢谢学父!

点评

学父五迁  :D 谢谢捧场。  发表于 2014-10-27 10:59:03

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31#
发表于 2014-10-27 10:50:30 |只看该作者
有时间仔细看。
现在都不爱动脑筋了,怂恿孩儿爸来钻研

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32#
发表于 2014-10-27 12:59:20 |只看该作者
估计得大孩子了吧,幼儿园的小朋友飘过

点评

学父五迁  汗。俺娃还有两个月三岁,还没上幼儿园。这是为娃将来七八年的学习生涯准备的。  发表于 2014-10-27 16:31:34
2009年夏至出生的小姑娘

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33#
发表于 2014-10-27 14:01:21 |只看该作者
这贴跟定了

点评

学父五迁  哈哈。共勉,共同学习。  发表于 2014-10-27 16:30:33
不是亲眼所见不要轻信那是真相;即使亲眼所见不要轻言那是全貌。

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34#
发表于 2014-10-27 14:02:27 |只看该作者
楼主,请问是边写边更新还是已经写好陆续搬上来?我主要是想知道您更新的进度

点评

学父五迁  边写边更新。这已经是第三次重写了。各科知识资料基本已经齐备,只是针对每一个知识点体系的具体教学模型方式在不断改进。  发表于 2014-10-27 16:30:14
不是亲眼所见不要轻信那是真相;即使亲眼所见不要轻言那是全貌。

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35#
发表于 2014-10-28 13:52:53 |只看该作者
原创作者:学父五迁
《数学建模直观游戏》

03. 多项式与层柱法

本章是全书的方法论纲领,涵盖诸多关键数学思想,用到很多术语。
若是感到陌生或难解,略过即可。
后面的章节中,会对本章提到的内容,循序渐进的讲解。

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36#
发表于 2014-10-28 13:55:09 |只看该作者
[温馨提示:此段术语众多,可先绕行]
我们先来看多项式的概念。
一般的小学课本中,加减乘除四则运算的主要数学工具是“竖式”。
在漫长的数学发展史上,竖式的出现,具有里程碑般的重大意义。
比起算盘、算筹等更加古老的计算工具,竖式具有重大的优势,
整个计算过程在纸面展开,一目了然,数位对齐明确,进位借位清晰。
直到今天,竖式仍是小学课本里的重要数学工具。
遗憾的是,竖式尽管形式简便,却难以清晰表达每一步计算步骤,
从而阻碍了学生对数学思想原则的深入把握。
说得严重点,竖式,已经成为了学生通往数学思想之路的一道“障”。
本书放弃竖式,代之以“多项式”。
多项式,是整个数学体系中最为重要的数学表达形式之一。
多项式的基本概念很简单,就是一个多个加项的加法合式。
其中的加项可能有负号,那就体现为减法。
就是这么简单的一个形式,成为了数学中表达“数”的最通用形式。
从高等数学的观点来看,所有的数字,都能够表达为“幂级数”多项式。
比如,十进制数字543210,其“幂级数”多项式如下。
543210 = 5 X 10^5 + 4 X 10^4 + 3 X 10^3 + 2 X 10^2 + 1 X 10^1 + 0 X 10^0
为了行文方便,本书采用计算机程序中的乘方符号“^”来表达幂的乘方运算。
“^”之前是底数,“^”之后指数。
一些读者可能对幂、级数、底数、指数这些概念已经陌生了。
没有关系,这段可以跳过去。
后面的章节中,本书会循序渐进,逐一讲解这些概念。
相对于竖式,多项式的优点如下。
交换律、分配律、结合律是数学运算中的基础“三定律”。
小学生在多项式展开合并的过程中,能够直接体会分配律、交换律、结合律的数学原理。
而且,易于推出速算规律。几乎所有的速算规律都是应用“三定律”推导出来的。
除此之外,多项式能够清晰表达每一步计算步骤,体现其中的重要数学思想。
竖式无法应用“三定律”,无法推出速算规律,
无法一步步清晰体现具体计算步骤,更无法体现重要数学思想。
相对于多项式,竖式有两条形式上的优点。
第一点,竖式在数位表达、对位移位表达上,清晰简洁。
第二点,竖式比多项式少写了很多展开项。
对于第一点,多项式的移项操作熟练之后,在数位对位方面,能够全面超过竖式。
对于第二点,多项式的同样可以省略大量的中间展开合并步骤,只留下关键步骤,既保留优势,又弥补劣势。
综上,本书弃用竖式,采用多项式。
本书的各种数量模型表达,也是围绕着多项式来搭建的。
数学中,,最重要的数量表达法,叫做“进制”表达法。
我们日常中使用的数字,都是“十进制”数字。
其构造过程是这样的,我们先把具体物体分成十个一组,剩下的数量(即余数),就是个位数,组数就是十位数。
比如,有三组,剩下五个,那么,十进制数字就是“35”。
这个分组构造的过程,实际上是一个减数相同的“连减法”。
从总数量中,每次都“去除”一个“10”,最后,剩下的“余数”就是个位数。
我们知道,这种减数相同的连减法,实际上就是“除法”。
严格来说,叫做“带余除法”——即,带有余数的除法——只能应用在整数领域。
“带余除法”是整个小学阶段中,最为重要的数学运算。
“带余除法”是所有进制表达法的基础,也是重要数论概念“同余”的基础。
“同余”是中小学数学竞赛中的重要题型,也是大数运算校验中的重要实用方法。
“带余除法”的本质就是把一个数量分成两项。
第一项是除数的“倍数”,第二项是小于除数的“余数”。
“倍数项”加“余数项”,构成的二项和式,就是本书中最为重要的多项式。
我称之为“倍余式”。
本书中,“带余除法”和“同余”的讲解,都是围绕着“倍余式”的构造。
针对“倍余式”的构造,我特意设计了一个模型构造过程方法——层柱法。
层柱法的意思是,一层层地累积立方格,构造出一根根等高的立柱。
这实际上就是除法的流程。
每一层的立方格数量都相等,都等于“除数”。
我称之为“除数层”。
最后构造出来的立柱的数量——“柱数”,恰好就等于“除数”。
立柱的高度,就等于“商”。
层柱结构,就是一个长方形,也叫做矩形。
“层”代表横向维度,对应长方形的宽度;“柱”代表纵向维度,对应长方形的高度。
多余出来的不够一层“除数层”的立方格,就是“余数”部分,构成“余数层”。

点评

学父五迁  是啊。数学语言太过抽象了,小学生很难理解。动手操作,就容易理解多了。  发表于 2014-10-30 12:38:44
一起成长  我觉得在引入算式之前就可以用更形象直观的方式认识交换律、分配律、结合律,不用知道这些定律的名称,先有个直观的感受以后在接触算式时应该就水到渠成  发表于 2014-10-30 09:28:38

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37#
发表于 2014-10-28 13:55:53 |只看该作者
下面举个简单的例子。
比如,我们有八个立方格。这里用八个“口”字表示。
口口口口口口口口
我们需要把这些立方格分成三根柱子,柱数(即除数)等于三。
构造过程如下。
首先,我们从原有数量中“去除”三个立方格。
我们就得到了一层由三个立方格构成的“除数层”。
口口口
原有数量变成了五个立方格。
口口口口口
我们再从其中“去除”三个立方格。
我们又得到了一层由三个立方格构成的“除数层”。
我们把这一层新的“除数层”叠放在第一层“除数层”上面,我们就得到了两层“除数层”。
口口口
口口口
这两层“除数层”构成的模型,我们称之为“倍数项”模型。
“倍数项”模型就是一个层柱模型。
层宽就是柱数,也就是除数,等于三;柱高就是层数,也就是商,等于二。
原有数量现在只剩下两个立方格,不够三个,不够一层“除数层”。
这两个立方格就构成了一层“余数层”,我们也可以称之为“余数项”模型。
口口
原有的八个立方格就分成了两项——“倍数项”和“余数项”,对应一个“倍余式”。
口口口
口口口 + 口口
请注意,上面的加号“+”只是在文中使用,方便师长阅读。
上述的模型,包括两项——“倍数项”和“余数项”。
其中的“倍数项”模型由三根立柱组成,也可以称作“三柱型”。
除数是几,就分成几柱,就叫做“几柱型”。

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38#
发表于 2014-10-28 13:56:32 |只看该作者
在一般的小学数学课本中,“除法”的讲解方式一般都是“分堆法”。
比如,六个苹果,分给三个小朋友,怎么分啊?
你一个,我一个,他一个。一人一个。这么分下去。
最后的结果是,每个小朋友面前都有一堆苹果。
三个小朋友,就有三堆苹果。每堆苹果有二个。
这种“分堆法”有一个很大的问题,很难表现真实的“除法”算法。
真实的“除法”算法是连减法,每次减去相同的除数。
比如,这个分苹果例子中,就是不断地减去三。
但是,“减去三”这个操作,在这个例子中体现得并不明显。
你一个,我一个,他一个。一人一个。确实每次共减去了三个。
但是,小朋友在模拟分堆的过程中,并不会特别注意到“每次共减去了三个”这件事儿,
只会注意到每个人面前的小堆中有几个苹果了。
“层柱法”突出了“每次去除了三个”这件事儿,解决了这个问题。

点评

学父五迁  我也是建议不引入这些术语。直接示范操作。用词方面,可以用"完整长方形"代替"倍数项","整条"代替"除数层","小条"代替"余数层"。  发表于 2014-10-30 12:40:31
一起成长  楼主我有个困惑请教下:在给孩子作了这样的形象演示之后要不要引入书本中的概念和名词,我现在的倾向是不引入,怕孩子上课听到这些词后觉得自己学过了然后就开小差  发表于 2014-10-30 09:42:07
一起成长  我觉得你这个柱子法比这分堆法更体现除法特性.  发表于 2014-10-30 09:39:24

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39#
发表于 2014-10-28 13:57:22 |只看该作者
原创作者:学父五迁
《数学建模直观游戏》

04. 一生二

孩子到了上小学的年龄,基本上都能从“1”数到“100”了。
但我们不能认为,刚上学的孩子已经真正理解了这些“数”的含义。
为了保险起见,对于刚上小学的孩子,我设计了这么一套“计数”游戏。
这套“计数”游戏基于立方格数学模型。
为什么不从“扳手指数数”开始?
有这么几个原因。
第一个原因,手指数目有限。我们都听说过“手指头不够,扳脚趾头数数”之类的笑话。
第二个原因,手指长短不一,形态各异,“个性”显著,并不适合抽象出“数”的概念。
相比之下,豆子、珠子之间形态极为相近,而且个数不受限,比手指更加适合充当计数的模型。
当然,如前面章节所述,我认为,立方格这种“规整”的形状,是更为适合的计数模型。
随着学习的进阶,小学生将接触到“数轴”、“测量”等概念。
豆子、珠子只适合表达“离散”的“整数”,难以表达“数轴”、“测量”等概念。
而立方格则可以轻易地“数轴”、“测量”等概念。
因此,我主推立方格作为主要的计数模型。
手指、豆子、珠子等,则作为次要的计数模型。
多种计数模型轮换使用,能够帮助小学生建立不同计数模型之间“映射”的概念,从而抽象出“数”的本质。
“映射”是“集合论”中的概念,表示两种计数模型之间的一一对应关系。
“映射”同样是“函数”概念的基础。
“映射”是数学概念的重中之重,也是本书的重中之重。
本书的原则是,意会大于言传,尽量避免使用语言直接“灌输”,尽量帮助孩子在层层递进的游戏中体会“顿悟”的喜悦。
孩子初学计数时,师长不要急于求成,不要急于灌输数字符号的读写。
首要的任务是,帮助孩子建立“数量模型”的形象直观概念。
这个过程需要一步步来,慢慢来,一个数量一个数量的来。

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40#
发表于 2014-10-28 13:58:01 |只看该作者
下面,我们从数量“1”开始。
师长进行示范,教导孩子进行“1”的计数动作。
(1) 把一个立方格摆放在桌面上。
(2) 用手指点着这个立方格。
(3) 拍一下手,口中念“第一个”。
(4) 口中念“共一个”。
可能会有人觉得,步骤太多,小题大做。
但这些基础步骤,是后面更复杂程序的基础。
孩子跟着师长的示范,照做几次。
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