“题海战术”的令人心酸的真相

学父五迁

三角函数并不丑，相反，三角函数和一个非常美妙的结构——圆，关系密切，因此，具有很多美妙的性质。
刻画三角函数的最美妙的数学结构，是复数。

复数的一个重大优势在于复数的乘法。
复数的乘法就是旋转。
复数的幂次就是多次等角旋转。

只要看到旋转、尤其是正多边形等角旋转的情况，运用复数结构，准没错。

三角函数中最难记的种种倍角、分角、和角、差角恒等式，运用复数结构，迎刃而解，直接推出，无需记忆。
复数号称是三角函数恒等式的批量制作工厂。

不少辅导数目中运用三角形面积法等几何直观形式，帮助记忆这些三角恒等式。
首先，这种方法能够记忆的三角恒等式极为有限。其次，和复数乘法比起来，在复杂度上也没有优势。

复数，才是三角恒等式批量生产之王！

学父五迁

第一个技巧涉及到和差化积，这是中学就已经掌握的技能。
但是，非常遗憾的是，很多学生高考之前记不住这个公式，高考之后更是忘得精光。

在大多数学生的心目中，三角函数丑不堪言。
如果要从中学数学中选出最丑陋的知识点，那么，三角函数部分肯定在入选之列。

这完全是课本内容安排失当导致的“人为丑化”。

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第二个技巧，“sin(x)/x”的无穷小极限是1，基本上是定性分析，很容易记住。

学父五迁

当然，以上的圆周运动模型只是一个帮助记忆的场景，并非正式的推导过程。

大学课本中给出的推导过程，并不复杂，只有两个技巧。
第一个技巧是正弦函数的和差化积，第二个技巧是“sin(x)/x”的无穷小极限是1。

学父五迁

这个圆周模型还有一个很大的好处。
可以非常直观地看出，正弦余弦函数的导数，恰好是四阶一个周期，回到了自身。
如果按照课本中的公式，要得到这个规律，还需要稍微想一下。

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这里给出的正向（逆时针）旋转90度（π/2）的形式，十分便于记忆，尤其是求高阶导数的时候。

比如，求上述圆周运动的向心力。
这就是位置函数的二阶导数。
这可以直接看出来。
因为我们已经知道，向心力（向心加速度）的方向正好和半径（向外）的方向相反，指向圆心。

于是，我们可以直接看出来轨迹函数的二阶导数（向心加速度）。

x'' = -x
y'' = -y

即，

x'' = cos''(t) = -cos( t )
y'' = sin''(t) = -sin( t )

学父五迁

高中和大学的课本中的公式中是怎么写的？

cos'(t) = -sin(t)
sin'(t) = cos(t)

课本中的这个形式和上述结果是一致的，只需要转换一下即可。
但是，课本中的形式，在记忆难度上就大了许多，因为不仅是函数名变了，还有正负号参与其中。

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在场论中，上述场景是一个颇为高级的概念 -- 向量场中的导数。
何谓“向量场”？
这个概念非常简单。

普通的函数关系中，函数值一般都是一个标量。这种函数关系所在的场叫做数量场。

如果函数值不是一个标量，而是一个拥有多个分量（多个维度）的向量，这种函数关系所在的场就叫做向量场。

那两个参数方程中的导数，并非偏导数，而是两个方向（维度）上的分量函数各自的导数。

偏导数是数量场中的概念。
一个多元函数的函数值是一个标量。
该函数值对于某个分量变量的变化率，就称为该分量（维度）上的偏导数。

在变量的维度（分量或变量的个数）上，数量场和向量场都可能是多元（多维）的。
但是，在函数值的维度上，数量场的函数值是一个标量（只有一个分量），
向量场的函数值是一个向量（多个分量）。

当然，向量场的函数值的每个分量函数，函数值都是标量，每个分量函数都是一个数量场。

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运动轨迹的圆周上某一点（x, y）的导数，是什么呢？
恰好是该点的速度（速度方向是圆周上该点的切线方向）。

这个速度的方向恰好是圆周上这个点的切线方向。
这个切线恰好垂直于该点的半径（也是该点对应的向量），
这个切线相当于该点的半径正向（逆时针）旋转了90度(π/4)。

于是，可以直接“看”出 x, y 这一点沿横轴和纵轴两个方向上的分速度（即导数）。

x' = cos'(t) = cos( t + π/2)
y' = sin'(t) = sin( t + π/2)

这说明，正向匀速（1弧度/秒）单位圆周运动的速度（切线，导数）函数，也是一个圆，
而且，恰好比原函数（轨迹函数）提前了四分之一圆周——90度。

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很多时候，“三角”函数的种种特性，和“圆”结合起来，就一目了然了。

物理中，
速度就是反应位置变化的变化率（导数），
加速度是反应速度变化的的变化率（导数）。

正向（逆时针方向）的匀速的圆周运动，是一个刻画“正弦、余弦函数导数”的绝佳情境。

假设一个点（比如，垂直于磁力线方向飞入均匀磁力场的一个电子），做匀速圆周运动，运动轨迹为一个圆。
为了方便起见，假设圆周的半径是1（这是一个单位圆），
假设这个点的运动角速度（每一个位置对应的圆心角的变化率）是1弧度每秒。

那么，这个点的运动轨迹的参数方程如下。

x = cos(t)
y = sin(t)

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“三角”函数和什么形状的关系最密切呢？
圆！
“三角”函数叫做“圆”函数，更加确切一些。
正弦余弦函数的图像中，横轴x轴方向上的分量（即，x值），
实际上就是圆弧（圆周上起点到某一点的圆弧）展开的长度。

学父五迁

正弦、余弦函数有一个历史遗留下来的名字——三角函数。

其实，“三角”函数和三角形的关系，并不密切，
只是，三角形中有一些重要定理和“三角”函数相关，
如正弦定理、余弦定理（勾股定理的广义推广）。

学父五迁

先从正弦、余弦函数开始。

正弦、余弦函数的导数，实际上不用记，而是可以直接“看”出来。

学父五迁

高中课本直接给出了这些求导公式，学生只能硬记下来。

大多数的大学课本，给出了这些求导公式的形式推导过程，但是，形式上显得比较复杂，算法步骤繁多。

实际上，这些求导公式，都不需要记忆。

这些求导公式的推导过程，也不需要太多的形式推导，都有一些简洁直观的技巧。

下面一一介绍。

学父五迁

初等函数的微积分公式（求导），已经全面引入到高中课本，而且成为高考的考点。

学父五迁

Elf 发表于 2015-11-9 14:10
以后数理化问题就问楼主了

呵呵。欢迎之至。
欢迎大家一起探讨。

Elf

以后数理化问题就问楼主了

huanximm

Elf 发表于 2015-11-5 20:18
能详细讲讲吗，有啥诀窍很快地配平化学方程式吗

我记得可以转换为数学题目，因为化学方程式两边的各种原子数目一定是相同的，变化的是他们的组合方式。化学反应前后，质量一定相等，原子数一定相等，这两个原则可以解决很多化学题目

学父五迁

总之，中学课本中阻碍理解的讲法，林林总总，不胜枚举。
大学课本呢？
这要问是哪一个大学的课本。
因为，每一个大学，基本上都用自己院校名师编写的课本，甚至很多大学都有自己的出版社。

我读过的大学教材中，绝大部分都是极难理解的形式推导形式，远远低于中学教材的平易程度。
只有少部分大学教材编得形象生动，超越了中学教材的平易程度。

学父五迁

一些人可能没有读到过（如《线性代数及其应用 (美)David》）中的这部分。
为了理解得更加深入，他们查到了麻省理工教材中的“最小二乘法”的直观几何意义讲法。
他们还编写了一个小册子《最小二乘法的几何意义》，
和《线性代数及其应用 (美)David》这本书的讲法是一致的。