旗帜鲜明的反对竖式

容易吗

疯了，你们是在搞数学竞赛吗？

容宝爸爸

学父五迁 发表于 2014-11-22 14:11
这样吧。
先看三个具体问题。

今儿天气好，心情也好，也来挑战一下学父布置的作业：34908098898083535252÷498。
直接使用竖式法计算，无论大人还是孩纸都可能会对位对花了眼，或者一页草稿纸上演算不完就昏了头。

那么，试着考虑大事化小的思想同时结合稍做改良后的“竖式法”，分别执行如下计算过程：
1。先任意分段被除数，比如34908098898083535252 = 3490809，8898，08353，5252；
2。依次计算每个分段被除数，记录分段商，同时把本分段余数拼接到下一分段被除数之前再开始计算；
3。重复步骤2，直到所有分段都已经计算完毕；
4。最后把所有分段商依次拼接起来即是最终结果商，而最末分段的余数即是最终结果余数。

注：稍做改良“竖式法”，指合理吸取横式法的避免重复工作量的技巧，比如我们设想把中间结果记录在草稿纸的右上角，好像是一个九九表，只不过最多只有9个格子，每个格子里记录除数的某个1～9的整倍数，姑且称为“小9表”。
这样一方面，随着试算过程推进，“小9表”不断插入新值，而我们最多仅仅需要9次实际乘法运算（0乘任何数为0），即可在草稿纸右上角完整建立“小9表”，以后每一位的试算都直接查“小9表”，比较大小即可，也就是说，最多仅仅需要8次学父所说的草稿纸上的擦除试商失败结果的动作；另一方面，我们仍不放弃竖式法，能够看到的意义之一在于，每一步都严格只计算商的一位数，这样依次、规整、机械、重复的有限过程，其实非常有利于计算机器语言来描述，有助于我们理解如何让计算机来协助人类完成这些任务。


具体验算过程如下：
（一）第1分段3490809÷498的计算过程：
计算3490÷498
3490
3486
----------
0004（为了电脑显示排版整齐前面补0，实际草稿纸验算过程可不补0。）
这其中可能经历两次试商失败，不过也都把中间结果记录到草稿纸右上角的“小9表”，也不算走了弯路。
试商9失败：498×9=4482【可选速算：速算过程4482=（500-2）×9=4500-18】
试商8失败：498×8=3984【可选速算：速算过程3984=（500-2）×8=4000-16，验算3984=4482-498】
试商7成功：498×7=3486【可选速算：速算过程3486=（500-2）×7=3500-14，验算3486=3984-498】
所以，3490÷498=7（商）...4（余）

接下来算48÷498
48
00
------
48
试商0成功：48 < 498×1
所以，48÷498=0（商）...48（余）

接下来算480÷498
480
000
-------
480
试商0成功：480 < 498×1
所以，480÷498=0（商）...480（余）

接下来算4809÷498
4809
4482
---------
0327
试商9成功：参考草稿纸右上角的“小9表”的中间结果498×9=4482
所以，4809÷498=9（商）...327（余）


至此，分段3490809的计算结束：3490809498÷498=7009（商）...327（余），这里把余数327拼接到下一分段8898，记做(327)8898。

（二）第2分段(327)8898÷498的计算过程：
类似的，3278898÷498=6584（商）...66（余），把余数66拼接到下一分段08353，记做(66)08353。
（三）第3分段(66)08353÷498的计算过程：
类似的，6608353÷498=13269（商）...391（余），把余数391拼接到下一分段5252，记做(391)5252。
（四）第4分段(391)5252÷498的计算过程：
类似的，3915252÷498=7861（商）...474（余）。
注意到第4分段为被除数最末分段，依次拼接各分段商得到最终结果商，末分段余数即是最终结果余数：
34908098898083535252 = 3490809，8898，08353，5252
34908098898083535252÷498=7009，6584，13269，7861（商）...474（余）
34908098898083535252÷498=70096584132697861（商）...474（余）

最后提炼一下，这就是所谓的分治思想(divide-conquer)的实际应用：
当已知技术手段（比如竖式法）对大问题本身看似无能为力的时候，我们把原大问题等价拆分为多个已知技术手段可解的新小问题，然后再整合所有新小问题的解得到原大问题的解。

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引申一下，这个问题转化成：
小明的数学老师要大家完成一道除法题，他先在黑板上完整写出某个数作为除数，如835392，接着就在黑板上不停的写下一串数431343532343...，边写嘴里边说，“同学们别闲着啊，我在写被除数的时候，大家就开始算商，看谁算得最快。” ——怎么破，我们非得等到老师写完被除数再开始算商吗？如果我是小明，我肯定立刻动手，先在我的草稿纸的右上角先列出“小9表”（用加法乘法皆可）：
835392×1=835392
835392×2=1670784
835392×3=2506176
...
835392×9=7518528
然后我就开始从被除数的高位，开始一位数一位数的试商，查“小9表”，定商，求余数，。。。
也许不是班上脑子最敏捷或手脚最麻利的同学，但我相信这个的方法本身还是比较优化的，当然也期待其他同学更加天才的方法。

学父五迁

我的总体思路就是：
帮助学生习得"设计算法"的能力，而不是强求学生熟练掌握某一种算法。
竖式，这种形格势禁的算法，对学生"设计算法"的思路有负面作用。

学父五迁

明月照我心 发表于 2014-11-22 15:38
噢，你是在设计数学课程？

小学阶段不建议引入奥数。

三年级前的奥数题，基本上都是智商测试题型，考一些空间规律识别的能力。
三四年级之后的奥数题，才具有了“数学”涵义。

我比较保守一些。
12周岁之前，具体运算阶段（具体数字）。
12周岁之后，才是抽象思维阶段（代数）。

12周岁之前，我只是考虑借鉴这些形象模型。
我感觉，有些形象模型体现了数学思维，适合启发孩子的自悟过程。

容易吗

珠算我了解有些私立在学的，而且是一年级.

学父五迁

哈哈。
"容易吗"解读得很准哪。赞。

学父五迁

明月照我心 发表于 2014-11-22 15:06
我补一刀。来看这个链接：

http://bbs.liyueer.com/forum.php?mod=viewthread&tid=92068&page=7#pid ...

呵呵。明月确实牛。基础很扎实。
明月不妨谈谈对奥数的看法。

关于小学阶段是否要引入奥数，如何引入。
我现在也没有想清楚。

我只想引入一些思维方式。
在我看来，这些思维方式，体现了本质。
比如，对于这些题型，我目前的打算如下。

(1) 加减法之后，就引入除以“2”的整除。
（或除以“2”的幂次，比如，除以4、8等）

基本模型是模仿“隔板法”的模型（不引入任何概念）。

具体做法就是，将多个单位（“1”、“10”、“100”等）
分成两份。

比如，
1, 1, 1, 1, 1, 1
六个立方格之间，插板。

10, 10, 10, 10
四个十格长条之间，插板。

100, 100, 100, 100
四个百格平方板之间，插板。

(2) 除数大于等于2的带余除法。除数从2到9。

基本模型是仿造“抽屉原理”（鸽笼原理）。
尽量将数量分成平均的几柱。
看看最高的柱，最低是多少。

在玩这个游戏的过程中，学生可能会加深对除法的理解。

(3) 乘法

排列组合题型中的乘法原理，也许适合作为引入乘法的例子。

比如，棋盘上的路线数量模型，就很直观，而且暗合组合公式构成的贾宪三角形。

学父五迁

明月照我心 发表于 2014-11-22 14:59
容易吗  楼主不是说了，他认为学校教的这个东西，妨碍了孩子认识本质。  发表于 20 分钟前

容易吗  我 ...

这么说吧。

我反对的不是学校，是竖式。

现在，全世界所有的学校，都在教竖式。
"新教育"，同样在教竖式。
竖式不仅是学校教的。
在家上学，同样大部分都在教竖式。

我的建议是，竖式应该作为数学文化的部分而存在，就像珠算一样。

学父五迁

明月照我心 发表于 2014-11-22 14:27
第一，我不认为竖式和横式有什么本质区别。

第二，我不认为学校不教竖式改教横式，对学生理解数学和提高 ...

第一，我认为，竖式是裹足跳舞，形格势禁，局限了学生的思维。

第二，我认为，学校不需要教竖式或横式。我前面给出的横式，是我自己随便写的。
学生只要掌握了除法的本质规律（我称之为"倍余式"），学生可以自由创作出各种算法套路。

第三，关于“芝麻和西瓜、本末倒置”之说。在我看来，安全无小事儿。

容易吗

数学不好的人，现在终于感觉到大脑营养不够空间不够看得想睡觉了。欢迎烨子妈来报仇补刀。

学父五迁

明月照我心 发表于 2014-11-22 13:30
我又想起那句话：无他，唯手熟耳。

这些可以自己通过练习而获得的熟练技能，自己没有获得，为什么也要归 ...

这样吧。
先看三个具体问题。

(1) 名词解释：请举例说明，什么叫做"试商" ？请举例说明，试商可能发生的各种情况。

(2) 请用竖式证明无限循环小数的循环节的必然存在。
这个问题最有意义，可优先考虑。

(3) 做一个除数位数较长的长除法。
比如，
34908098898083535252 ÷ 498

这个题目是我随便给的。
既然要做长除法，这种题目才有意义。

请用竖式解答。
一个技巧：用文本排版竖式时，左边的空位可以用"0"补齐，就可以对齐数位。