一道小学奥数题-- 工作进度问题

学父五迁

一道小学奥数题-- 工作进度问题

一件工作。
甲单独完成，需要10个小时。
乙单独完成，需要15个小时。
丙单独完成，需要20个小时。

三人一起进行工作，甲因有事，耽搁了几个小时没有工作，
一共用了6个小时，请问，甲耽误了几个小时。

学父五迁

解法：

假设工作量为1，那么，
甲的每小时工作量为 1/10，
乙的每小时工作量为 1/15，
丙的每小时工作量为 1/20。

为了方便计算，将上述三个人的每小时工作量的分数，进行通分。

甲的每小时工作量为 6/60，
乙的每小时工作量为 4/60，
丙的每小时工作量为 3/60。

学父五迁

为了方便计算，假设工作量为60，那么，

甲的每小时工作量为 6，
乙的每小时工作量为 4，
丙的每小时工作量为 3。

请注意，上述的一切假设，都是为了方便计算。
如果不明白的话，不用这个假设也行，用分数也是一样的，只是计算上麻烦一点。

乙丙工作了6个小时，工作量为 (4 + 3) × 6 = 42

甲的工作量就是  60 - 42 = 18

甲的工作时间就是 18 / 6 = 3

那么，甲耽误的时间就是 6 - 3 = 3 （小时）

学父五迁

如果用分数表示，那么，计算过程如下。

乙丙的工作量为  (1/15 + 1/20) × 6 = 7/10

甲的工作量为

1 -  7/10 = 3/10

甲的工作时间 3/10 除以 1/10，即，3个小时。

那么，甲耽误的时间就是 6 - 3 = 3 个小时。

学父五迁

有的小朋友是这么做的。


(1) 求出甲乙丙一起做，需要多长时间。

1 / (1/10 + 1/15 + 1/20) = 60/13

(2) 求出乙丙一起做，需要多长时间。

1 / (1/15 + 1/20) = 60/7

按理来说，上述两种情况，各自都是区别于题意的不同的独立情况，是两道不同的题，和原题无关。

但是，有的小朋友却认为，第(2)种情况的时间，减去第(1)种情况的时间，就是答案。

我发现，我很难解释，这种思路错在哪里。
因为，我很难找到，这种思路对在哪里。

学父五迁

为了更加形象地说明这个问题。
我列个图表。
一共有6行。

甲      乙      丙
-------------------------
6       4       3

.......................

6       4       3
------------------------- 以上几行（几小时），是甲乙丙一起工作的时间。

        4       3

.......................

        4       3
------------------------- 以上几行（几小时），是乙丙一起工作的时间，甲没有参与。

        24      18       -- 乙丙的统计结果 （乙丙都满了6行）                        

18      24      18       -- 甲乙丙的统计结果 （根据乙丙的统计结果，可以得到甲的统计结果 60 - 24 - 18 = 18）



那么，就可以算出甲占了几行。

18/6 = 3

学父五迁

为了更加形象地说明这个问题。
我列个图表。
一共有6行。

甲      乙      丙
-------------------------
6       4       3
?       4       3
?       4       3
?       4       3
?       4       3
?       4       3
------------------------- ? 表示 0 或者 6

        24      18       -- 乙丙的统计结果 （乙丙都满了6行）                        

18      24      18       -- 甲乙丙的统计结果 （根据乙丙的统计结果，可以得到甲的统计结果 60 - 24 - 18 = 18）



那么，就可以算出甲有几行6。

18/6 = 3

学父五迁

刚刚知道，这道题目是小学六年级奥赛题，允许列方程来解。
如果列方程的话，所有的应用题目，那不都是送分的吗？

不需要任何特殊技巧和思考，只要列出方程即可。
列方程，是一个通用技能，在将来的学习生活中，也极为重要。
因此，值得扎实掌握。
掌握了之后，所有的应用题，那就全是小菜一碟了。

学父五迁

这道题用方程，十分简单。
假设甲耽误了 a 小时，
那么，
甲乙丙共同工作的时间是 6 - a 小时，
乙丙的共同工作时间是 a 小时。

(6 - a) ( 6 + 4 + 3) + a (4 + 3) = 60

接下来，求解方程就是一套通用的流程了，毫无技术含量。

学父五迁

展开。
6 × ( 6 + 4 + 3) - a( 6 + 4 + 3) +  a (4 + 3) = 60

合并

6 × ( 6 + 4 + 3) - a × 6 = 60


请注意，为了清晰起见。
我选择这样一种讲法，
不讲“等式两边移项变号”，
只讲“等式两边同时加减一个相同项”。

等号两边同时加上 a × 6

6 × ( 6 + 4 + 3) = a × 6 + 60

等号两边同时减去 60

6 × ( 6 + 4 + 3) - 60 = a × 6

18 = 6a

等式两边同时除以 6。

3 = a

即 a = 3

学父五迁

可见，列方程是一种极为通用、极为简单的方法，不需要动太多脑筋。

相对来说，算术法就需要动很多脑筋了。

方程法和算术法之间有什么异同点呢？

算术法实际上就是方程法的求解过程。
两者的本质是一样的。

只不过，算术法需要更高的技巧要求，方程法不需要太多技巧。
而且，到了中学之后，应用题的算术法技巧，就没有任何用处了。
中学的应用题将全面转向代数思想，即，方程法。

如果允许列方程的话，
六年级奥数小学生，
应该及早抛却算术法的高难技巧，
应该及早转向方程法的简单通用机械流程。