“题海战术”的令人心酸的真相

学父五迁

当然，以上的圆周运动模型只是一个帮助记忆的场景，并非正式的推导过程。

大学课本中给出的推导过程，并不复杂，只有两个技巧。
第一个技巧是正弦函数的和差化积，第二个技巧是“sin(x)/x”的无穷小极限是1。

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第二个技巧，“sin(x)/x”的无穷小极限是1，基本上是定性分析，很容易记住。

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第一个技巧涉及到和差化积，这是中学就已经掌握的技能。
但是，非常遗憾的是，很多学生高考之前记不住这个公式，高考之后更是忘得精光。

在大多数学生的心目中，三角函数丑不堪言。
如果要从中学数学中选出最丑陋的知识点，那么，三角函数部分肯定在入选之列。

这完全是课本内容安排失当导致的“人为丑化”。

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三角函数并不丑，相反，三角函数和一个非常美妙的结构——圆，关系密切，因此，具有很多美妙的性质。
刻画三角函数的最美妙的数学结构，是复数。

复数的一个重大优势在于复数的乘法。
复数的乘法就是旋转。
复数的幂次就是多次等角旋转。

只要看到旋转、尤其是正多边形等角旋转的情况，运用复数结构，准没错。

三角函数中最难记的种种倍角、分角、和角、差角恒等式，运用复数结构，迎刃而解，直接推出，无需记忆。
复数号称是三角函数恒等式的批量制作工厂。

不少辅导数目中运用三角形面积法等几何直观形式，帮助记忆这些三角恒等式。
首先，这种方法能够记忆的三角恒等式极为有限。其次，和复数乘法比起来，在复杂度上也没有优势。

复数，才是三角恒等式批量生产之王！

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正弦函数的和差化积，是从正弦函数的和角、差角公式中推导出来。

和角公式，可以轻易用复数乘法推导出来。

差角公式，可以轻易用复数除法（两个复数的除法，其结果的角度，就等于两个复数的角度之差）推导出来。

实际上，差角公式十分重要。
但是，大多数的中学大学课本都忽略了其重要意义。

差角公式有一些极为重要的应用场景。

两个向量夹住的平行四边形的面积，也是向量积——叉积——的模，就是差角公式的直接应用。
因此，一个极有规律的行列式就可以刻画差角公式。

假设两个平面向量，一个角度是a, 一个角度是b。
为简单起见，假设两个向量的模都是1。
两个向量之间的夹角就是 b - a

两个向量夹的平行四面形面积就是 差角 b - a 的正弦。

这个面积是有方向，右手法则，从 a向量 到 b向量。
a 写在第一行或第一列，b写在第二行或第二列。

cos(a)    sin(a)
cos(b)    sin(b)


sin(b - a) 就等于上述矩阵的行列式的值。

sin(b - a) = cos(a) sin(b) = cos( b ) sin (a)

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令人不解的是，复数的内容十分靠后，远在三角函数之后。
这是为什么呢？
我百思不得其解。
一个可能的原因是，前面已经讲过了向量，很容易和复数混淆。
是不是因为这样呢？
如果是因为这样，那么，向量和复数的异同点，就更应该着重区分了。
从运算法则上来看，复数可以看做是一种特殊的平面向量，其特殊之处在于其乘法（幂次、除法、根次等）。
当然，复数并非如此简单，还有一些更加高级的应用，如复空间。

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最后，再提一下欧拉公式。

被选为最美公式之一的欧拉公式（费曼十分着迷于欧拉公式），
用复指数形式表示了复数的三角函数参数方程形式。

e^(i a) = cos(a) + i sin(a)

这种指数形式极为简洁。
应用这种指数形式，复数之间的乘除法就变成了指数之间的加减法。

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正弦、余弦函数的导数，无论是记忆，还是推导，都不难。

其他的初等函数呢？

如果按照一定的顺序，再加上一些技巧，其他的初等函数也不难记忆和推导。

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首先，要掌握的是链式法则。
比如，一个函数的变量，可以用另一个参数方程来表达。

y = y(u)

u = u(x)

那么，可以定性地看出，

dy       du       dy
----    -----  = -------
du       dx       dx

链式法则非常直观，不需要记忆。

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其他的法则，如积法则、商法则、倒数法则，等等，都不用急。
这些法则都是函数之间的乘除关系。
有一种极为强大的技巧，能够把乘除关系变成加减关系。
这就是对数。
所以，我们首先要深入掌握对数函数 ln(x) 和 倒数函数 1/x 之间的关系。

ln'(x) = 1/x

我在“数学无代价应试”这个帖子里面，给出了“倒数函数求面积”的详细介绍。
小学阶段都可以运用“因数分解”这个情境来体验反比例函数关系和反比例函数求面积的方法，
体验其中的对数关系——乘除化为加减。直接用立方格积木就可以摆出来，非常直观。
小学高年级基础上，了解一点字母代数法，就可以得出 1/x 这个导数函数的面积函数（积分），
体会其中的对数关系——乘除化为加减。

接着，那个帖子讲解了，深入掌握了对数函数的导数之后，运用一下链式法则，就可以求出对数函数反函数——指数函数——的导数。

数学无代价应试
http://bbs.liyueer.com/forum.php?mod=viewthread&tid=93579

http://www.xingfudgy.com/forum.php?mod=viewthread&tid=29578

掌握了对数函数的导数之后，积法则、商法则、倒数法则都是小菜一碟。

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设 h, f, g 都是 x 的函数。

先看看积法则。

h = f g

其导数如何？

课本上给出的方法是传统方法，设变化量，求极限，比较复杂难记。

运用对数，就非常轻易。
首先，对等式两端取对数。

ln(h) = ln(f) + ln(g)

然后，等式两端再求导数。
根据链式法则和对数函数的导数公式。

h'       f'      g'
---  =  ----  +  ---
h        f       g


两端同时乘以h。
h = f g

于是，

h' = g f' + f g'

这就是积法则。

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再来看商法则。

h = f / g

其导数如何？

课本上给出的方法是传统方法，设变化量，求极限，比较复杂难记。

运用对数，就非常轻易。
首先，对等式两端取对数。

ln(h) = ln(f) - ln(g)

然后，等式两端再求导数。
根据链式法则和对数函数的导数公式。

h'       f'      g'
---  =  ----  -  ---
h        f       g


两端同时乘以h。
h = f / g

于是，
        f'            f  g'
h' = ------   -   ------------
        g             g  g

这就是商法则。

学父五迁

再来看倒数法则。

h = 1 / g

其导数如何？

课本上给出的方法是传统方法，设变化量，求极限，比较复杂难记。

运用对数，就非常轻易。
首先，对等式两端取对数。

ln(h) = - ln(g)

然后，等式两端再求导数。
根据链式法则和对数函数的导数公式。

h'           g'
---  =    -  ---
h            g


两端同时乘以h。
h = 1 / g

于是，
                f  g'
h' =    -   ------------
                g  g

这就是倒数 法则。

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任何乘除（幂次，根次）形式的函数的求导，都可以运用这种先取对数、再求导的技巧。

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Elf 发表于 2015-11-12 15:11
令人心酸的是，三角函数的题和一元二次方程都要百度一下才解得出来了

我也是。

一元二次方程，我还能勉强记得一个配方法，取抛物线中轴，再向两边加减一个截距。

三角函数恒等式，我哪怕知道复数推算比较容易，我也懒得去算，宁可上网去查。

这就是信息时代的优势啊。

可见，我们在学校中的训练，大都是没有必要的。

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Elf 发表于 2015-11-12 19:34
今天做了这么一道题：
3t(^2)+4t=132
鼓捣半天解不出来，百度了才模糊忆起，还有个平方根法。

对。肯定要学，但是，首重基本思想模型，而不是具体算法公式。
反复训练这些具体公式的记忆和应用，没有什么意义。
第一，很难记，很快就忘，第二，信息时代很容易查到具体公式和解法。

那个公式，我几乎都忘了。

好像是

b2 - 4ac

开平方根，

正负号，
加上 b, 或者 2b????
-b? - 2b?
再除以 2a. ????

?????

我完全不能确定我的记忆是否正确，如果要用这个公式，我只能重新去查。

但我仍然记得一些基本原理。

(3t)^2 + 4t = 132

x = 3t

x^2 + 4x/3 = 132

x^2 + 2   2x/3 + 4/9 = 132 + 4/9

(x + 2/3)^2 = 132 + 4/9

两边开平方，取正负值。

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Elf 发表于 2015-11-12 20:19
中国的学校可能题海战术太过火了，澳洲的学校做题又太少了。我就感觉我女儿做题能力不如我小时候，她能理解 ...

从实用意义说，这种训练早就过时了。
数学教育一般都滞后数学应用多年。

以前的学生还要学
对数表，对数尺，
手工开平方，
。。。。

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Elf 发表于 2015-11-14 19:19
那数学课的意义到底何在呢？在学完了买菜所需的算术之后。

是不是就是训练逻辑思维的？

训练逻辑思维，是教学大纲常见的说法。
我个人觉得，这完全是一种托词。
从网上满天飞的口号当论据的文章来看，我没有看到太多的逻辑训练结果。
人们的思维方式和数学训练制度化之前，没有太大的区别。

其主要目的，应该是
选拔。

足够的难度，才能淘汰足够多的参选人。
这主要是一个资源配比的问题。

学父五迁

平面几何证明题，是个历史遗留问题。
历史上，几次从课本中删除，再加回来。
我个人的看法是，空间几何极端重要，事情

学父五迁

平面几何证明技巧，不太重要。
其公理体系，也并非最佳逻辑体系演示范本。
甚至可以说，几乎没有作用。
公理体系，还是要靠数理逻辑。