《数学建模直观游戏》

学父五迁

“立方格-> 豆”映射游戏的步骤如下。
(1) 取出九个立方格（敞口的），并列平放在一起，构成数量“9”的立方格数量模型（平放形式）。
(2) 从大袋子中，一颗颗取出豆子，每取出一颗豆子，都放到一个空的立方格中。
(3) 所有立方格都放满了豆子之后，停止从大袋子中取豆子。
(4) 把立方格中的豆子，全都倒入到一个空的透明小塑料袋中。
这样，我们就把立方格数量（“9”）用小塑料袋里的豆子数量“记录”下来了。

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有人可能会问，为什么要多此一举？把立方格数量模型直接存放起来不就行了？
这里的原因在于，相对于豆子，立方格模型的体积较大，不宜存放和携带。
用小物件的数量，来记录大物件的数量，是一种非常普遍的做法。
古人结绳记事，就是这个道理。
还有些古人用瓦罐里的小石子儿记录牛羊的数量，也是出于同样的道理。

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接下来，我们要根据数量“记录”（也就是小塑料袋中的豆子数量）重新构造对应的立方格数量模型。
这就是“立方格<-> 豆”之间映射的另一个方向——“豆->立方格”映射。
为了便于孩子理解，我们引入一个“学生座位”小问题：班里有九个学生，每个学生都需要一个座位，请问，共需要几个座位？
透明小塑料袋里的豆子就代表学生；立方格就代表座位。
现在，我们需要为每一个豆子准备一个立方格。
(1) 从透明小塑料袋里取出一个豆子，放到大口袋里。
(2) 拿一个空的立方格，把豆子放里面。
(3) 跳转到第(1)步，继续重复这个流程，直到透明小袋子里面所有的豆子都被取出。
最后，我们就得到了九个立方格。
我们把这九个立方格并列平放在一起，和之前的那个“九”的立方格数量模型，摆在一起。
我们发现，这两列立方格，长度相同，个数相同。
这就说明，豆子记录法能够还原本的物件数量。
以上是“立方格<-> 豆”之间的映射游戏。

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值得一提的是，上述的“学生座位”小问题，可以很容易扩展为减法问题。
比如，班里有九个学生，有六个座位，还需要几个座位？
比如，班里有六个学生，有八个座位，还能多坐下几个学生？

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下面，我们来看“步数”（地板砖数量）与“豆子数量”之间的映射游戏。
同样，“地板砖 <-> 豆”之间的映射游戏，也分为两个方向。
一个方向是从“地板砖”到“豆”的映射，简写为“地板砖->豆”映射。
另一个方向是从“豆”到“地板砖”的映射，简写为“豆->地板砖”映射。
准备工作同上。
“地板砖 -> 豆”映射游戏的步骤如下。
(1) 在地板上走九步，走过九块地板砖。
(2) 每走一步，就从大袋子里（可用衣服口袋）取出一颗豆子，放到透明小塑料袋中。

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接下来，我们要根据数量“记录”（也就是小塑料袋中的豆子数量）重新走过那九块地板砖。
为了便于孩子理解，我们引入一个“寻宝”小故事。
某一块地板砖下，藏着宝贝。
我们需要根据“锦囊”（也就是透明小塑料袋）中的“妙计”（也就是豆子数量），找到那块藏宝的地板砖。
(1) 从透明小塑料袋里取出一个豆子，放到大口袋里。
(2) 走一步，前行一块地板砖。
(3) 跳转到第(1)步，继续重复这个流程，直到透明小袋子里面所有的豆子都被取出。
如果起点相同，方向相同，我们将走到之前走到的那块地板砖。
这就说明，豆子记录法能够还原来的步数。

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数量“9”的映射游戏完后之后，我们继续做数量“8”的映射游戏。
以此类推，直到所有的数量映射游戏都完成。
以上的游戏，单人熟练之后，可以进阶成双人小组形式。
两个小学生一组。
其中一个小学生提供豆子数量，另一个小学生根据豆子数量构造立方格数量模型。
交换角色。
其中一个小学生提供立方格数量模型，另一个小学生根据立方格数量模型把豆子装入透明小塑料袋。
交换角色。
遍历从“1”到“9”的所有数量。

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原创作者：学父五迁
《数学建模直观游戏》

07. 数字？刻线？形线画？

把大物件的数量，“映射”为小物件的数量，确实便于存储和携带。
只是，这种映射还是不够给力。
毕竟，小物件再小，也是有体积的。数量多了，也是不小。
而且，还有一个问题，小物件的点数，可能比大物件还麻烦。
比如，数豆子，比数立方格麻烦许多。
立方格规规整整摆在那里，很容易就数完了。
豆子圆溜溜的，不好摆放，数起来就不那么方便。
这也是为什么立方格数量模型由于豆子数量模型的主要原因之一。
这么说来，如果我们把立方格继续变小，变成比豆子还小，是否就可以解决这个问题了？
这可不一定。人的视力精度和手指操作精度是有限的，不太擅长处理过于细小的物件。

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有没有更好的方法？
当然有。这就是数字。正式名称是“阿拉伯数字”（最先由印度人发明，由阿拉伯人传播）。
作为大人，我们早已掌握了数字的概念和用法。
于是，小学数学课一开始（甚至更早），师长就理所当然地引入了数字。
不过，在我看来，小学阶段初期就引入数字，有些过于急进了。
数字是数量的抽象表达符号。
相对于数量模型来说，数字是一种过于抽象的符号。
小学阶段是形象思维阶段，应当重视形象数学模型的构建。
当然，到了处理大数量的阶段，数量模型就不够用了，小学生必须要掌握数字。

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因此，在处理大数量之前，我们需要做两项工作。
第一项工作，我们尽量把数量用模型来表现。
第二项工作，我们逐步教会小学生掌握数字。

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本章的内容就是帮助小学生掌握数字的前身——刻线记事。
同结绳记事一样，刻线记事同样是古人常用的数量“记录”方法。
古人在泥板、石板、木板等载体上刻下一条条的线段，把数量记录下来。
为什么是线段，而不是其他形状？当然是因为好刻。
还可能有另外一个原因——线段与“算筹”形态相似。
所谓“算筹”，就是一把小木棍，是古人常用的数量模型。
就像我们前面用立方格、地板砖、豆子当做数量模型一样。
一些带有颜色的高级算筹甚至可以表达正负数。
比如，红色算筹就表示负数（支出，欠款），蓝色算筹就表示正数（收入，节余）。
所以，直到现在，人们仍然习惯把亏损数额称为“赤字”。
华德福提倡“由画入字”，通过“形象画”，一步步演化为文字（包括字母和汉字）。

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下面，我就设计一套表示数量的“形线画”。
首先，我设定，每一条数量记录，都应该圈在一个上下高、左右窄的正立椭圆里面。
正如透明小塑料袋是豆子的容器一样，这个正立椭圆也是线段的容器。
那么，这个容器的形状为什么是一个正立椭圆？
这当然是为了将来引入数字“0”。
数字“0”正是一个正立椭圆的形状。
一个“空”的容器，不正是表达了数量“0”的概念吗？
椭圆内用交叉的横线和竖线的个数来映射数量。横线代表“奇数”序数，竖线代表“偶数”序数。

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下面，我直接给出从“1”到“9”的“形线画”表达（省略了外圈的正立椭圆）。
“1”的形线画就是一条横线。
-
“2”的形线画就是：“1”的形象画中，最后一条横线上，交叉一条竖线。
+
“3”的形线画就是：“2”的形象画中，加一条横线。
+
-
“4”的形线画就是：“3”的形象画中，最后一条横线上，交叉一条竖线。
+
+
“5”的形线画就是：“4”的形象画中，加一条横线。
+
+
-
“6”的形线画就是：“5”的形象画中，最后一条横线上，交叉一条竖线。
+
+
+
“7”的形线画就是：“6”的形象画中，加一条横线。
+
+
+
-
“8”的形线画就是：“7”的形象画中，最后一条横线上，交叉一条竖线。
+
+
+
+
“9”的形线画就是：“8”的形象画中，加一条横线。
+
+
+
+
-
以上就是从“1”到“9”的形线画表示（还需要加上一个正立椭圆的外圈）。

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之所以这样设计，一是为了节省空间，二是为了让学生提前熟悉一下加减法的符号，三是为了让奇数偶数一目了然。
如果最后一行是一条横线（减号），那么就是奇数。
如果最后一行是横竖交叉（加号），那么就是偶数。

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引入了这些“数”的形线画之后，我们需要把从“1”到“9”的立方格数量模型全都用形线画记录在纸上。
一个立方格，对应一条线段
这就是“立方格数量模型”到“形线画”的映射，简写为“立方格 -> 形线画”映射。
然后，我们根据这些形线画，重新构造出对应的立方格数量模型。
这就是“形线画”到“立方格数量模型”的映射，简写为“形线画 -> 立方格”映射。
这个步骤就很简单了，每一条线段对应一个立方格。

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原创作者：学父五迁
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08. 二柱型和三柱型

我们前面构造的数量模型，都是一个长条。
根据第四章《多项式与层柱法》讲述的“层柱法”，这种一根“柱”的模型叫做叫做“一柱型”。
这一章，我们运用“层柱法”，为每一个数量构造其他柱型。
请注意，同一个数量的不同柱型之间，可能加以比较。
因此，构造完成之后的柱型，需要保留下来。

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首先，我们为每一个数量构造“二柱型”。
以数量“5”为例。
二柱型的柱数为二，那么除数就为二。每一层“除数层”就由二个立方格构成。
数量“5”的一柱型，用五个“口”字表现如下。
为了节省文本空间，文中把数量“5”的一柱型横着摆放。
口口口口口
第一步，先从总数量中“去除”二个立方格，构成一个层宽为二的“除数层”。
口口
原来的数量变成了三个。
口口口
第二步，再从中“去除”二个立方格，构成一个层宽为二的“除数层”，叠加在之前的“除数层”上面。
口口
口口
原来的数量变成了一个。不够一层“除数层”。这是“多余”的立方格。构成一个“余数层”。
于是，数量“5”的二柱型构造完毕，由两项组成——“倍数项”和“余数项”。
口口
口口 + 口
这两项并列摆在一起，就是数量“5”的二柱型。
上述这些名词，只是为了师长阅读理解方便，并不要求小学生掌握。
小学生只要能跟着师长的示范，跟着操作就行了。

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下面给出从“1”到“9”的二柱型。
“1”的二柱型，只有一个“余数项”。
口
“2”的二柱型，只有一个“倍数项”。
口口
“3”的二柱型，既有“倍数项”，也有“余数项”。
口口 + 口
“4”的二柱型，只有一个“倍数项”。
口口
口口
“5”的二柱型，既有“倍数项”，也有“余数项”。
口口
口口 + 口
“6”的二柱型，只有一个“倍数项”。
口口
口口
口口
“7”的二柱型，既有“倍数项”，也有“余数项”。
口口
口口
口口 + 口
“8”的二柱型，只有一个“倍数项”。
口口
口口
口口
口口
“9”的二柱型，既有“倍数项”，也有“余数项”。
口口
口口
口口
口口 + 口
实际上，构造二柱型的过程，就是一个除以二的过程，就是判断奇偶数的模型操作算法。
现阶段，师长不必讲解这些概念，只需让小学生亲手操作体会。

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师长可以提示学生注意一个现象。
上述二柱型中的“余数项”的出现规律，只包括两种状态。
第一种状态：没有“余数项”。
第二种状态：有一个“余数项”，即，有一层余数层；其中包含一个立方格。
这两种状态交替出现，即，以二为周期出现。
这种“余数项”的出现规律，已经体现了“同余”思想。
师长毋须讲解，学生操作体会即可。
如果场地和人数合适的话，师长可以组织学生分小组列队，模拟上述的二柱型。

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接下来，继续构造每一个数量的三柱型。
下面给出从“1”到“9”的三柱型。
“1”的三柱型，只有一个“余数项”。
口
“2”的三柱型，只有一个“余数项”。
口口
“3”的三柱型，只有一个“倍数项”。
口口口
“4”的三柱型，既有“倍数项”，也有“余数项”。
口口口 + 口
“5”的三柱型，既有“倍数项”，也有“余数项”。
口口口 + 口口
“6”的三柱型，只有一个“倍数项”。
口口口
口口口
“7”的三柱型，既有“倍数项”，也有“余数项”。
口口口
口口口 + 口
“8”的三柱型，既有“倍数项”，也有“余数项”。
口口口
口口口 + 口口
“9”的三柱型，只有一个“倍数项”。
口口口
口口口
口口口