《数学建模直观游戏》

学父五迁

原创作者：学父五迁
《数学建模直观游戏》附录

附录01. 参考资料

《奥林匹克中小学系列教材迎春杯数学竞赛指导讲座》
数学竞赛网
中小学教材，包括数学、物理、化学、生物、地理等科目，包括人教、沪教、苏教等出版社。
大学数学教材，主要是微积分和概率统计。
中小学各科目教案。
国外小学数学教材，《gomath》。

数学科普读物（包括但不限于以下列表）
推荐一些数学科普读物。
都是中学以上内容的。有些可以引入小学。
可在网上先参阅一下样章，看是否对脾胃。
《无穷无尽的数》
《漫话数学》
《生活中的数学》
《数学方法趣引》
《数学家的眼光》
《数学趣谈》
《数学眼光透视》
《数：科学的语言》
《虚数的故事》
以上是个人标准挑选的。
数学科普书籍太多了，我参阅了好多，以上这些是我反复参阅的。

小学的数学普及读物。
挺多。只是，感觉算不上“科普”，在系统性和深度上实在有限。
别说竞赛了，就是普通的数学考试，可能都应付不了。

如《数学童话故事》、《汉声数学》、《数学启蒙》（《mathstart》）、
《阶梯数学》、《奇迹幼儿数学》等等数学相关的故事绘本。
这些绘本图文并茂，包含了很多孩子们喜闻乐见的小故事。
其故事形式非常值得借鉴，但内容本身，仍然属于结构单调重复的虚构“数字”运算。
而且，在体系完善程度上，也难以完全替代小学数学课本。
还有一类“智商测试游戏”书籍，如《逻辑狗》、《多湖辉》、《百花思维》等。
这些书籍对于开发儿童的智力方面（如空间几何图形识别能力），有很好的作用。
只是这些题目围绕各种“智商”能力，内容本身离数学体系较远，和小学数学课本内容甚少重合。
在数学学习方面，这些书籍主要起激发兴趣和思考的辅助作用。

关于数学绘本，我看过一本讲座资料《数学绘本教学的开发》（繁体版）。
里面分类整理了翔实的数学绘本资料。
有兴趣的读者，可以找来看看。

信誼基金會之數學圖畫書
華一  精編  啟蒙  數學
遠流出版社之【魔數小子】系列
漢聲精選世界兒童數學叢書
時間教學相關繪本
數學繪本教學舉例
與時間概念有關之繪本的議題

学父五迁

原创作者：学父五迁
《数学建模直观游戏》附录

附录02. 常见问题

1.
问：本书能否当做一本中小学数学竞赛教程使用？

答：部分可以。
本书涵盖了很多与高阶知识联系紧密、实用意义较大的数学竞赛题型。
本书没有包含那些偏“纯粹娱乐性质”的题型——比如，填写“虫蚀”空格类，填写幻方类，等。
因此，本书可以当做一本题型不全面的数学竞赛教程来使用。

2.
问：本书能否当做一本小学数学教材使用？

答：完全可以。

3.
问：本书能否当做一本初中数学教材使用？

答：大部分可以。具体情况待写。


4.
问：本书能否当做一本高中数学教材使用？

答：部分可以。具体情况待写。

5.
问：本书能否当做一本大学数学教材使用（自考本科）？

答：小部分可以。作为启蒙读本使用。

6.
问：本书能否作为其他科目教材使用？如物理、化学、生物、地理等。

答：小部分可以。
本书涵盖了理科其他科目的重要计算题型，但远远不够全面。

7.
问：本书中出现的“立方格”教具例子，能否用其他教具替换。

答：大部分可以。
“立方格”教具的使用可以分为三种情况。
第一种情况，当做立方块使用。这种情况下，可以用其他现有的立方块模型代替。
第二种情况，当做“容器”使用，比如构造坐标系的时候。可以用棋盘、纸面坐标等代替。
只有在翻转对称操作（如逆函数）的时候，才不可以代替。但这种情况很少。
第三种情况，拼接特定结构（如杠杆、天平、框架等）的时候。这种情况就难以代替。不过，这种例子很少。

8.
问：本书是一本学生用书吗？

答：当然不是。本书是一本师长用书。老师和家长用的。

9.
问：本书是一本师长用书吗？

答：是。

10.
问：本书对应的学生用书是什么？

答：没有。
需要仿照华德福的自制课本理念，由学生自己制作。

学父五迁

原创作者：学父五迁
《数学建模直观游戏》

01. 数学可以学多早？学多快？

现代社会，孩子越来越聪明，应试竞争越来越激烈。
教育进度，也呈现出越来越早、越来越快的态势。
小学生的入学年龄，从七周岁提前到了六周岁。
现实操作中，不少孩子五周岁就上了小学。
十来岁就考上大学（甚至拿到自考本科证）的“早慧儿童”，屡见于报端。
中小学数学课本中的内容也越来越难，引入了越来越多的数学竞赛知识。
一些三年级的小学数学教材中，就已经引入了初阶“图论”——“一笔画问题”。
小学课本引入了更多原本属于中学的知识。中学课本引入了原本属于大学的高等数学知识。
一些三年级的小学数学教材中，就出现了“文字代数形式”的面积公式，
一些四年级的小学数学教材中，就出现了“字母代数形式”的一元方程式。
各种“成功”案例说明，提高小学生的学习效率，是完全可能而且可行的。

学父五迁

只是，我骨子里是个保守主义者，我一直秉承“安全第一，效率第二”的原则。
我内心一直无法免除一种深切的忧虑——这种多快好省的教学进度，符合儿童的思维发展规律吗？
会不会拔苗助长，竭泽而渔，过度透支儿童的思维发展潜力？

学父五迁

根据著名儿童发展学家皮亚杰的理论，从小学开始，少年儿童的数学思维发展分为两个阶段。
第一个阶段是基本运算阶段，大致在七周岁到十二周岁之间，对应小学阶段。
“基本运算”的主要意思是“基于具体数字和数量的运算”。
在这个阶段，小学生主要发展形象思维能力。
第二个阶段是形式运算阶段，十二周岁以上，对应中学、大学阶段。
“形式运算”的主要意思是“抽象字母符号的代数形式运算”。
在这个阶段，中学生主要发展抽象思维能力。

学父五迁

根据上述理论，我有了一个基本的认识。
十二周岁之后，加快学习进度，比较安全；安全问题主要集中在十二周岁之前的小学阶段。

学父五迁

十二周岁之后，加快学习进度，比较安全；安全问题主要集中在十二周岁之前的小学阶段。
前苏联儿童发展学家维果茨基也观察到了类似的现象。
维果茨基发现，尽管很多儿童已经掌握了“因为”、“所以”这样的表达因果关系的词汇，
但是，他们实际上并不真正清楚原因和结果之间的因果关系，他们只是模仿了这些词汇的表达而已。
维果茨基比皮亚杰稍微激进一些。
维果茨基认为，经过适当的科学训练，可以适度加快儿童的认知过程。

学父五迁

美国的儿童发展学家，普遍都激进一些。
皮亚杰曾经微讽地提到：如果你研究出儿童的基本运算阶段从七周岁开始，
美国人立刻就会去研究，这个年龄能不能提前到六岁？五岁？四岁？

学父五迁

这正是美国的研究风格，带动了全世界的“早教”、“快教”潮流。
即使我最欣赏的华德福教育方法也不能免俗。

学父五迁

华德福教育方法讲求艺术教学手法、整体学习、节律学习、身体运动韵律学习等，反对过早过度开发孩子的抽象思维。
华德福的课程设计着眼于运用学生的所有感官、全部身心来体验学习的内容。
比如，华德福的几何课讲到“圆”，可能会先让学生在操场上去跑几个圈子，
然后，回到课堂，用“形线画”的方法，把刚才跑过的“圆”形路径画出来。
华德福小学生在初次接触奇数偶数概念的时候，会在“晨圈”的时候，一边走圈子，一边根据自己的落脚大声数数。
比如，落左脚，数奇数，落右脚，数偶数。
华德福小学生背乘法表也是如此，一边走圈，一边大声背诵乘法表。
这是华德福教学的特色，将身体运动的节律和背诵结合起来，运用全身心记忆。

学父五迁

我非常欣赏这种理念，参阅了不少相关华德福著作。
结果，我吃惊地发现，一些现代华德福教育已经与时俱进了，在小学一年级就引入了“字母代数”形式。
其理论依据是，华德福重视语言学习，“字母代数形式”也不过是一种数学语言，和其他语言没什么区别。

学父五迁

这种说法，和我对华德福教学方法的理解完全不同。
据我理解，华德福重视语言，是重视口语，重视听说，重视声音符号的语言形式。
对于文字符号，华德福建议先从形线画过渡到写字之后，再开始阅读。

学父五迁

具体数字符号，对于具体的物体数量来说，已经是一级抽象了。
字母代数形式，对于具体数字符号来说，又是更高一级的抽象了。
那些现代的华德福教育家，对这么重大的区别，如此轻描淡写，令我难以适从。

学父五迁

当然，我只是一个华德福教育的门外汉。
我一直被华德福的核心理念《人智学》“障”在了堂奥之外，我对华德福教学方法只有皮毛上的理解。

学父五迁

每个人都有固执的一面，我还是坚持自己的保守主义。
本书旨在保护小学生的形象思维。

学父五迁

要达到保护的目的，空喊口号是毫无意义的。
优质教育资源毕竟是有限的，优质教育资源的分配必然需要一个公平的竞争机制。
在这样的现实下，对大众呼吁“晚上学”、“慢教学”这些口号，注定是徒劳无功的。

学父五迁

在我看来，要保护小学生的形象思维，只能从教学形式本身入手。
本书力图达到两个目的。
第一个目的，本书力图比其他教学资料——包括绘本、童话、故事、课本、教材、竞赛辅导书、科普读物等——教得更多、更快、更好。
只有达到了这个目的，才可能吸引大众，才谈得上第二个目的。
第二个目的，尽量多使用教具模型操作、身体韵律、形线画、游戏、故事等形象教学方法，
尽量推迟具体数字符号的引入，尽量推迟抽象代数符号的引入，从而最大限度地保护和发展小学生的形象思维。

学父五迁

原创作者：学父五迁
《数学建模直观游戏》

02. 数学模型

狭义上讲，“数学模型”这个词语，专指数学工具在现实中的应用。
“数学建模”这个词语，就是指使用各种数学工具，分析并归类现实问题，
抽取重要参数，设计数学函数公式，归纳出相应的“题目类型”，建立对应的“数学模型”。
比如，电梯调度问题、交通管理问题、社区规划问题，都属于数学建模问题。

学父五迁

自然科学中的其他科目，如物理、化学、生物、地理等，
也都要用到数学工具，推导出数学公式，建立数学模型。
这也是数学建模的过程。

学父五迁

数学建模，就是数学工具在现实领域中的应用。
数学建模大赛，在所有数学竞赛中，实用意义最高。
遗憾的是，数学建模大赛，是大学阶段的竞赛，中学阶段没有建模大赛。
这可能是因为，中学生掌握的数学工具还不够丰富。