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楼主: 学父五迁

[教育专版] “题海战术”的令人心酸的真相 [复制链接]

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发表于 2015-11-22 17:15:22 |显示全部楼层
以上这些性质全都可以用整数数列表示出来。

可以在 0-x-y 坐标系上描绘出 整数点坐标,连接出图像。

整数点描点熟悉之后,可以试着构造 分数点、小数点。
尤其是 -1 < x < 1 的区间中。

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发表于 2015-11-22 17:15:54 |显示全部楼层

以上是定性分析抛物线函数图像的性质。
下面是定量分析的代数形式推导。

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发表于 2015-11-22 17:16:21 |显示全部楼层
初等数学的配方法,比较复杂。
不过,一元二次函数,比较简单,初等数学的配方法,也可以勉强使用。

y = a x^2 + b x + c

配方法的目的就是把那个一次项  bx  从公式中消掉。
公式中只剩下  二次项(平方项)  和 常数项(余项)。
常数项是不变的。
二次项,有一个很好的性质,永远大于等于0,可以求出等于0时的最值。
问题就简化为二次项内部的那个式子了。

y = a x^2 + b x + c

y = a ( x + b/2a)^2 + (c - b^2 / 4a)


简化起见,令 余项

(c - b^2 / 4a) = d

于是,

y = a ( x + b/2a)^2 + d


x = -b/2a 时,

平方项就等于 0,这个式子就等于 d

于是,

x = -b/2a 时,

这个式子就达到了最值。
最值就是 d。

a > 0,  d 就是最小值。

a < 0,  d 就是最大值。

点评

Elf  明白了,平方项是0的时候是最值  发表于 2015-11-22 21:09:28

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发表于 2015-11-22 17:17:51 |显示全部楼层
求导的方法就简单许多。


y = a x^2 + b x + c

y' = 2ax + b

当 y' = 0 时,y 取得最值。

y' = 0 = 2ax + b

解得 x = -b/2a


代入

y = a x^2 + b x + c

得到

y = c - b^2/4a = d


这就是最值。

最大值最小值的分析,只需要一些定性分析。

(-∞, -b/2a) 和 (-b/2a, ∞) 这两个区间上,y 的变化情况。

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发表于 2015-11-22 17:21:51 |显示全部楼层
如果是我来教学设计的话,我会在很早的阶段(早到刚上小学的时候),就引入数学模型变化量的思想(多元微积分的方向导数,全微分等),用小立方格就可以摆出来。
12周岁之后,全面引入形式推导符号,包括微积分符号。
因为,微积分本身并不难理解,但是,形式符号不太容易理解,尤其是一下子就接触到大量的求导公式。
如果这些变化率的各种情景早已玩得烂熟,那么,这些符号、公式,就一点难度都没有了。

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发表于 2016-2-2 20:42:02 |显示全部楼层
楼主,我又来问问题啦。请看题板:

如果点(x,y)和点(a+b, a-b)和(a-b,a+b)的距离相等,请证明 x=a, y=b.

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发表于 2016-2-2 23:20:35 来自手机 |显示全部楼层
Elf 发表于 2016-2-2 20:42
楼主,我又来问问题啦。请看题板:

如果点(x,y)和点(a+b, a-b)和(a-b,a+b)的距离相等,请证明 x= ...

我能一眼看出,
(a+b,a-b),(a-b,a+b)这两点关于 x=y 对称。
x=y 就是两点的中垂线。
因此,满足条件的点就是 x=y

至于题目的结论,我证明不了。

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发表于 2016-2-3 14:56:31 |显示全部楼层
学父五迁 发表于 2016-2-2 23:20
我能一眼看出,
(a+b,a-b),(a-b,a+b)这两点关于 x=y 对称。
x=y 就是两点的中垂线。

你都证明不出来,我就可以怀疑题目出错了
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