旗帜鲜明的反对竖式

学父五迁

明月照我心说： 在学习竖式的年龄不学竖式，却让一个连竖式概念都不清晰的小学生，去用代式？  

好吧。我就当做明月是真没看到前面帖子中出现过好多次的说法。
我想，不少人可能也略过了那些例子。顺便再解释一下。

前面的例子中，有这样的现象。
后一步，使用前面某一步已经计算过的中间结果（具体数字的算式）。
我简称为"代式" （具体算式的代换）。以区别中学的代数。
这里面没有出现任何未知数。都是具体数字。

爱海

楼主孩子几岁啊？

学父五迁

-- 如果因为认为一个事物的客观存在影响到另一个事物，就拒绝它的存在，从世界或某个范围内取消或者毁灭它，这是一种什么样的思想呢？它能否接纳不同的存在？如果恰好这个不同存在是一个人、一类生命，那它们是否会被剥夺存在的权利？

咳。明月，如果要玩文字游戏的话，我可以从任意一句话中挑出很多逻辑漏洞。
比如，上面这段话。
按照你的意思，像裹脚等文化现象，因为存在，所以就要接纳？
好吧。我终于耐不住了。也参与口水贴。就让这个贴更火一点吧。

学父五迁

-- 如果因为认为一个事物的客观存在影响到另一个事物，就拒绝它的存在，从世界或某个范围内取消或者毁灭它，这是一种什么样的思想呢？它能否接纳不同的存在？如果恰好这个不同存在是一个人、一类生命，那它们是否会被剥夺存在的权利？

不绕圈子了。
直接说白话。
这段话的逻辑是：存在即合理。或者加个客观。客观存在即合理。

这是逻辑倒置，倒因为果。

这个话题，本身就可以开个帖子了。

学父五迁

明月照我心说：  这个确实没注意。你的计算细节我大多没细看。我不关心你去证明竖式有害的过程。我要反对竖式无意义，只需反例就够。  

继续口水逻辑问题。 大家都轻松一下。 :D

明月采用的逻辑范式如下：

学父证明 "竖式" 全盘无意义（这里，学父加个限定条件：对于中小学生而言）。

明月只要说明，学父举出的其他例子有害（作为反例），就能证明竖式无害。

学父五迁

明月照我心说：  如果你认为这句话的意思是存在即合理，你并没有理解我说的话。也并没有理解客观存在的概念。客观存在，being  

我试着理解一下。

明月的“客观存在”，包括现存的客观知识体系。比如，竖式，珠算。

在明月看来，在小学低年级，引入珠算，都是无妨的。
对吧。

容宝爸爸

学父五迁 发表于 2014-11-23 23:11
嘿嘿。幸好讨论的是数学问题。随时都有具体实例可以验证。

明月可以随便抽查一个小学生（甚至初中生 ...

被老师点名回答问题，鸭梨山大。（我是在证明题，还在证明我自己呢？我还需要继续证明我自己吗？呵呵。还好我已经习惯容容妈总是笑话缺乏内在自信的人了。）

记忆中“循环小数”这个概念最初引入是在小学中高年级，大概是这样的描述性定义：
形如0.333..这样的无限位小数，其中重复出现的部分称为“循环节”，比如这里的“3”就是循环节（书上还会在3的头上印刷一点）。
又如0.1282828..这个循环小数，循环节是“28”。
如果按照这样的定义，学父的问题“求证循环小数的循环节必然存在”，那就按照定义自然成立了，当然我想这不太可能符合老师提问的初衷。

在后来学到分数时，小学高年级（初中？）书上给出一个规律（但没有证明）：任何一个分数可以表示为一个有限位的小数或者一个循环小数。
不知道学父是否想让同学们试着证明这个规律，这里也就姑且按照这个问题来做答吧。
先举个简单的例子1/3=0.33..=0.3(3），其中括号内为循环节。
10
09...商3
01...余1
-------------
10...余数×10继续被3除，注意1×10等于上面出现过的被除数10，也即意味着被除数重复，余数也会重复1，循环节出现！
09...商3
01...余1
-------------
10...余数×10继续被3除，注意1×10等于上面出现过的被除数10，也即意味着被除数重复，余数也会重复1，按照此规律无限循环下去！
09...商3
01...余1
-------------
10...余数×10继续被3除
.....


再举个复杂的例子1/7=0.142857(142857），其中括号内为循环节。
10
07...商1
03...余3
-------------
30...余数×10继续被7除
28...商4
02...余2
-------------
20...余数×10继续被7除
14...商2
06...余6
-------------
60...余数×10继续被7除
56...商8
04...余4
-------------
40...余数×10继续被7除
35...商5
05...余5
-------------
50...余数×10继续被7除
49...商7
01...余1
-------------
余数×10继续被3除，注意1×10等于上面出现过的被除数10，也即意味着被除数重复，余数也会重复1，循环节出现，按照此规律无限循环下去！

形式化证明：
1。任何一个分数均可表示为一个整数与一个真分数的和，当这个分数本身就是真分数时，那么可写成0加上自身。
   为讨论方便，我们只考虑如何把一个真分数P/Q表示为小数，其中P,Q都为整数，P < Q。
2。P×10/Q = D1（商）...... R1（余数），注意到R1也是整数，并且0<= R1 < Q。
3。如果R1 = 0,余数为0，运算结束，说明这个真分数可以被表示为一个有限小数，命题获证！
4。如果R1不为0，让P2 = R1，继续计算P2×10/Q = D2（商）...... R2（余数）
5。类似的，如果R2 = 0,余数为0，说明这个真分数可以被表示为一个有限小数，命题获证！
6。类似的，如果R2不为0，让P3 = R2，继续计算P3×10/Q = D3（商）...... R3（余数）
。。。（类似的过程，重复步骤3～6）

我们可以断言，这样过程在最多经过Q次（Q为除数）重复之后，必然会出现某个余数Rn，要么余数Rn为0，要么余数Rn和此前出现的某个余数Rm相同（其中1 <= m < n <= Q），也就是说被除数出现循环，循环节就是(Dm..Dn-1)这么从Dm,Dm+1,Dm+2,...,Dn-2,Dn-1这么n-m个数构成的部分！为什么？
因为，经过这样的Q次重复过程后，如果RQ不为零，我们就得到Q个全部不为零的余数R1,R2,R3...RQ，(1 <= Rj <= Q-1, 1 <= j <= Q)，按照“鸽笼原理”，必然可以得到至少两个相同的余数，但是R1,R2,R3...RQ-1这么前面Q-1个余数互不相等（注意此前重复的Q-1次过程都没有出现循环节，而且余数都不等于零，否则不会进行到Q次重复），所以这两个相等的余数不可能都同时来自前面Q-1个余数，所以这两个相等余数中的一个必然是最后一个余数RQ，也就是说最后一个余数等于前面的某个余数。从而命题得证！

（所谓的“鸽笼原理”的，够高大上吧？！）

证毕。

学生课后思考：
1。原问题的逆命题：任何一个循环小数f均可表示为一个分数P/Q。
形式描述：为简化讨论，设该循环小数不大于0，也就是说整数部分不考虑，把f记做0.N1N2N3...Nd(M1M2M3..Mc)，其中不循环的部分有d位，循环节有c位，括号内是循环节。
f = 1/(10^d){N1N2N3...Nd + M1M2M3..Mc/(10^c - 1)}，即：
f = 1/(1000..0){N1N2N3...Nd + M1M2M3..Mc/(9999..9)},其中有d个0，c个9。
证明过程也不太难,我就不写了。

2。对于学父老师这道题，可能其他同学还有更加巧妙的解法，但我还是有信心以上这样一个推导过程是正确的（尽管可能不是最优）。而自己的思路从何而起，想了想，其实还是从小学课本上教的竖式运算开始的，就这样一个从原始被除数的第一位起的逐步迭代过程，余数->被除数->被除数->...。但是，我绝不敢妄言——在我看来这样一个“自然的”过程，其实是符合所有孩纸们，或者说大多数孩纸们的心理认知过程的。

3。回顾自己的成长历程，最多也就算勤奋有余，天赋不足的学生，至多也就够得个精神文明奖；但造化弄人也是有幸让我本科学理，研究生学工，能够体会从两种不同的思维角度来考虑相同一个问题的差别。
比如微积分的很多定理及其应用，在数学分析和高等数学里，你体会到这些知识和相关领域的问题，对于不同的人有着不同的兴趣点和关注点。
话说回来，虽然这里再次侥幸给出学夫给题目的解答，即便解答正确最多也就证明了我证明了这道题，而我证明了这道题其实也不能完全证明我自己（能力，态度，。。。），更不能证明我关于竖式横式的任何观点。至此，我其实已经不太愿意继续在数学和教育学上冒险提出其他让大家接受（哪怕不是作为经典/权威而广泛持久接受）的观点了，也不愿意接着在数学和教育学结合的相关命题上进一步证明自己的观点和推理的正确，不敢奢望大家赞同。品位无高下，闻道有先后，点到为止，大家玩得高兴就行，莫伤了和气哦。
（从学父老师这学会了不少方法，同时也体会到分享思考成果的快乐，有时间我还会来做题的。）

学父五迁

明月照我心说：  裹脚并非being，而是doing。讨论到此时，我猜测你所反对的并非是竖式这个being，而是教竖式这个doing？  

好吧。这个不用猜测。
我一直承认竖式的数学文化遗产的"存在"价值。
前面我描述不明确。

我明确一下。
(1)
我明确反对：小学四年级之前引入竖式。

(2)
小学四年级之后，我认同，竖式作为数学文化遗产和一种算法模型参考而引入。
可以作为辅助的运算工具。
但我明确反对，竖式作为主要地位的运算工具。

huanximm

这个贴一下吸引我的眼球了，我一直对数学教育这个话题挺感兴趣的，我觉得语文教育比较好搞，但是数学教育真的要动心思，花脑力，很多孩子就是因为对数学的畏难引发了对学习的畏难，而且，数学一旦变成总分里面总是扯后腿的，要想改进，比起其他学科更难，（这个，是有在教辅一线的朋友告诉我的），家有一枚刚上小学的女同学，

huanximm

我觉得首先作为父母，如果想对孩子的数学教育有所助力，必须自己先搞明白，数学是干嘛的，一千个人可能有一千个答案，我自己是觉得学习数学，是理解这个世界是有客观严肃的规律的，而且，问题都是有办法可以解决的，数学是可以帮我们找到合适的办法。实际上，学校里的数学就是学习方法，只是现在因为教学进度，老师更侧重于告诉孩子怎么把问题归类，然后找到方法，然后怎么执行方法，没有对孩子理解方法背后的意义有更高的要求，但是这能怪老师吗，现实竞争就这么大，既然离不开地球，倒不如想想我们家长可以做什么，

huanximm

先吃饭吧还是，

学父五迁

容宝爸爸 发表于 2014-11-24 11:22
被老师点名回答问题，鸭梨山大。（我是在证明题，还在证明我自己呢？我还需要继续证明我自己吗？呵 ...

分子分母同时乘以 10

1/3 = 0.1 X (10 / 3)


---------

1/3 = 0.3 + 0.1 X (1/3)

到了这一步，计算就已经完成了。
因为，右边的 1/3 已经出现在某一个等式的左边。

等式代入右边的1/3.

1/3 = 0.3 + 0.03 + 0.01 X (1/3)

这个代入，可以不断进行。

1/3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + 0.001 X (1/3)

---------

从前有座山，山里有座庙，庙里有个老和尚，正在讲故事：
从前有座山，山里有座庙，庙里有个老和尚，正在讲故事：

----------

可能有些人，觉得这个代入，不太容易理解。
在我看来，造成这种理解之“障”的原因，恰好就是竖式。

这里的思路在于，分数化成小数的过程，就是试图把分母化成10的幂次。
如果是无限小数，就需要一位一位（或几位几位）的依次转化。

在竖式中，这些关键的步骤，并没有明确凸显出来。
(1) 余数 X 10的幂次，成为下一个被除数
(2) 分子分母同时乘以 10的幂次，恰好就构成了小数的一个或多个数位上的值。
(3) 小数的每一位，分母都是除以 10 的幂次。比如， 0.1 = 1/10, 0.01 = 1/100
或几位， 0.109 = 109/100

如果弃用竖式，这些步骤，就会明确凸显出来。

---------

既然明月较真，就把容爸给出的抽屉原理放在这里。
由于除数固定，余数有限，那么，无限的步骤里，必然出现相同的余数。
也就是出现相同的被除数。之后的步骤，就开始循环重复。
因此，循环节必然存在。

--------


0.3 + 0.03 + 0.003 ....

转化为分数，比较容易证明。课本上的证明方法就很好。

上述这个小数的10倍.

3 + 0.3 + 0.03 + 0.003 ....

减去原来的小数，就剩下原来小数的9倍，也就是 3。
那么，原来小数就是 3 / 9 。

循环节长度大于1的情况，就是原来小数乘以 10的幂次 （次数等于循环节的长度），再减去原来小数。

分母就是  9999 ....

学父五迁

明月照我心 发表于 2014-11-24 11:53
“求证循环小数的循环节必然存在”
————
没错，我承认学父很多类似的要求证明，或者一些自造的概念 ...

关于数学的意义，这个话题很大。不好说。

至少有一个意义很明确：选拔考试。

竖式和高考的负相关，前面已经举了一个例子。

爱无言

看这个帖子，我的感觉是我不认识汉字。

爱无言

最近的几个热帖都是这个感觉啊！佩服这几个脑容量都很大闹运动都很敏捷的人。

学父五迁

明月照我心 发表于 2014-11-24 12:01
学父五迁  这个算法可以采用竖式形式。但是，竖式形式反而起到了掩盖作用。  发表于 18 分钟前
—— ...

-- 拜托，竖式的作用是数的计算，不是推理和证明。要用竖式去做推理和证明，难怪会得岀结论：竖式没用竖式无意义。竖式算不算躺枪ing～～～～

明月是真的不明白，还是装作不明白？

循环节的产生，是从算法中涌现的。
没有算法，怎么证明循环节？

这不仅是证明的问题。
作为算法，竖式难以明确地描述循环节的产生和定位。
这不是算法的缺陷吗？

弃用竖式的其他基本算法，可以明确地描述循环节的产生和定位。
想找出比竖式更含糊的算法，都难找。

至于证明，是为了让大家有意识去审视算法。

而且，小学生完全有能力证明这个规律。基本算法，加上抽屉原理，就够了。
比竖式的掌握，简单许多。

不必要求小学生证明，但也不能剥夺小学生证明的潜力。

之所以，大多数人不去想（不愿想、想不出），我简单归因为：竖式的局限。
在我看来，因果相关性很明确。

学父五迁

huanximm 发表于 2014-11-24 11:34
我觉得首先作为父母，如果想对孩子的数学教育有所助力，必须自己先搞明白，数学是干嘛的，一千个人可能有一 ...

我认为，数学的一个主要目的是选拔考试。小学低年级阶段的竖式引入以及高年级的继续大量练习，违背了选拔考试的目的。

我可没有怪老师。
我怪的是教学大纲。
而且是全世界范围内的教学大纲。

这扯不上什么自认为高明，只是提出一个参考论点。
如果能有点作用，当然更好。没有作用，我也不失望，本来就是闲谈。

我希望，小学生都能够更容易地学数学。

至于数学的更加高大上的目的和方法，这个帖子暂时还没有那么高的层次。
希望在大家的帮助下，拔高到那个层次。:D