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标题: 一道小学奥数题-- 工作进度问题 [打印本页]

作者: 学父五迁    时间: 2015-12-9 21:27:30     标题: 一道小学奥数题-- 工作进度问题

本帖最后由 学父五迁 于 2015-12-10 16:52 编辑

一道小学奥数题-- 工作进度问题

一件工作。
甲单独完成,需要10个小时。
乙单独完成,需要15个小时。
丙单独完成,需要20个小时。

三人一起进行工作,甲因有事,耽搁了几个小时没有工作,
一共用了6个小时,请问,甲耽误了几个小时。

作者: 学父五迁    时间: 2015-12-9 21:27:55

本帖最后由 学父五迁 于 2015-12-10 16:52 编辑

解法:

假设工作量为1,那么,
甲的每小时工作量为 1/10,
乙的每小时工作量为 1/15,
丙的每小时工作量为 1/20。

为了方便计算,将上述三个人的每小时工作量的分数,进行通分。

甲的每小时工作量为 6/60,
乙的每小时工作量为 4/60,
丙的每小时工作量为 3/60。

作者: 学父五迁    时间: 2015-12-9 21:28:28

为了方便计算,假设工作量为60,那么,

甲的每小时工作量为 6,
乙的每小时工作量为 4,
丙的每小时工作量为 3。

请注意,上述的一切假设,都是为了方便计算。
如果不明白的话,不用这个假设也行,用分数也是一样的,只是计算上麻烦一点。

乙丙工作了6个小时,工作量为 (4 + 3) × 6 = 42

甲的工作量就是  60 - 42 = 18

甲的工作时间就是 18 / 6 = 3

那么,甲耽误的时间就是 6 - 3 = 3 (小时)

作者: 学父五迁    时间: 2015-12-9 21:28:51

如果用分数表示,那么,计算过程如下。

乙丙的工作量为  (1/15 + 1/20) × 6 = 7/10

甲的工作量为

1 -  7/10 = 3/10

甲的工作时间 3/10 除以 1/10,即,3个小时。

那么,甲耽误的时间就是 6 - 3 = 3 个小时。

作者: 学父五迁    时间: 2015-12-9 21:29:19

有的小朋友是这么做的。


(1) 求出甲乙丙一起做,需要多长时间。

1 / (1/10 + 1/15 + 1/20) = 60/13

(2) 求出乙丙一起做,需要多长时间。

1 / (1/15 + 1/20) = 60/7

按理来说,上述两种情况,各自都是区别于题意的不同的独立情况,是两道不同的题,和原题无关。

但是,有的小朋友却认为,第(2)种情况的时间,减去第(1)种情况的时间,就是答案。

我发现,我很难解释,这种思路错在哪里。
因为,我很难找到,这种思路对在哪里。

作者: 学父五迁    时间: 2015-12-9 21:42:01

为了更加形象地说明这个问题。
我列个图表。
一共有6行。

甲      乙      丙
-------------------------
6       4       3

.......................

6       4       3
------------------------- 以上几行(几小时),是甲乙丙一起工作的时间。

        4       3

.......................

        4       3
------------------------- 以上几行(几小时),是乙丙一起工作的时间,甲没有参与。

        24      18       -- 乙丙的统计结果 (乙丙都满了6行)                        

18      24      18       -- 甲乙丙的统计结果 (根据乙丙的统计结果,可以得到甲的统计结果 60 - 24 - 18 = 18)



那么,就可以算出甲占了几行。

18/6 = 3

作者: 学父五迁    时间: 2015-12-10 15:48:37

为了更加形象地说明这个问题。
我列个图表。
一共有6行。

甲      乙      丙
-------------------------
6       4       3
?       4       3
?       4       3
?       4       3
?       4       3
?       4       3
------------------------- ? 表示 0 或者 6

        24      18       -- 乙丙的统计结果 (乙丙都满了6行)                        

18      24      18       -- 甲乙丙的统计结果 (根据乙丙的统计结果,可以得到甲的统计结果 60 - 24 - 18 = 18)



那么,就可以算出甲有几行6。

18/6 = 3

作者: 学父五迁    时间: 2015-12-11 17:35:43

刚刚知道,这道题目是小学六年级奥赛题,允许列方程来解。
如果列方程的话,所有的应用题目,那不都是送分的吗?

不需要任何特殊技巧和思考,只要列出方程即可。
列方程,是一个通用技能,在将来的学习生活中,也极为重要。
因此,值得扎实掌握。
掌握了之后,所有的应用题,那就全是小菜一碟了。

作者: 学父五迁    时间: 2015-12-11 17:36:11

这道题用方程,十分简单。
假设甲耽误了 a 小时,
那么,
甲乙丙共同工作的时间是 6 - a 小时,
乙丙的共同工作时间是 a 小时。

(6 - a) ( 6 + 4 + 3) + a (4 + 3) = 60

接下来,求解方程就是一套通用的流程了,毫无技术含量。

作者: 学父五迁    时间: 2015-12-11 17:36:35

展开。
6 × ( 6 + 4 + 3) - a( 6 + 4 + 3) +  a (4 + 3) = 60

合并

6 × ( 6 + 4 + 3) - a × 6 = 60


请注意,为了清晰起见。
我选择这样一种讲法,
不讲“等式两边移项变号”,
只讲“等式两边同时加减一个相同项”。

等号两边同时加上 a × 6

6 × ( 6 + 4 + 3) = a × 6 + 60

等号两边同时减去 60

6 × ( 6 + 4 + 3) - 60 = a × 6

18 = 6a

等式两边同时除以 6。

3 = a

即 a = 3

作者: 学父五迁    时间: 2015-12-11 17:37:20

可见,列方程是一种极为通用、极为简单的方法,不需要动太多脑筋。

相对来说,算术法就需要动很多脑筋了。

方程法和算术法之间有什么异同点呢?

算术法实际上就是方程法的求解过程。
两者的本质是一样的。

只不过,算术法需要更高的技巧要求,方程法不需要太多技巧。
而且,到了中学之后,应用题的算术法技巧,就没有任何用处了。
中学的应用题将全面转向代数思想,即,方程法。

如果允许列方程的话,
六年级奥数小学生,
应该及早抛却算术法的高难技巧,
应该及早转向方程法的简单通用机械流程。





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