幸福大观园

标题: “题海战术”的令人心酸的真相 [打印本页]
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-5 13:42:21     标题: “题海战术”的令人心酸的真相

“题海战术”的令人心酸的真相


在李网看到一个帖子，有感而发。

初一老师推荐的“清华学子一封信”
http://bbs.liyueer.com/forum.php?mod=viewthread&tid=93881
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-5 13:43:33

这封信中宣扬了“题海战术”，其主要论据是一串因果关系：
题海战术的训练，有助于（尤其在进度压力下）学习知识，因此有助于产生高价值的高科技成果。
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-5 13:43:56

高科技成果的产生原因，这个主题异常复杂，各国各界各行各业都有专门的研究机构，
我只了解一点皮毛，也不太关心这个主题，我没什么可说的。
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-5 13:44:19

我更关心这个因果链的前半截：题海战术的训练，有助于（尤其在进度压力下）学习知识。
（这个问题也相当复杂，远远比人们想象的复杂得多。但是，比起科技创新这个庞大无比的主题来，这个问题就简单多了。）
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-5 13:44:42

这个因果关系成立吗？
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-5 13:45:05

一看到这个说法，大多数人（包括我自己）的第一反应就是否定：
地球人都知道“题海战术”的负面效应——把老师变成了讲题机器，把学生变成了做题机器。
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-5 13:45:43

但是，奇怪的是，全世界的大部分学校都无法从根子上摆脱“题海战术”的噩梦，只是情节轻重不同。
以代表性的科目“数学”（文理科都要考）为例，我看过国内外的一些大中小学课本，
哪怕是小学数学课本，其内容的主要形式，竟然也是例题解题形式的。
（比如国内的人教版小学数学课本，芭小学采用的美国小学数学获奖课本《gomath》）
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-5 13:46:13

小学课本还算是好的，其中还有大量的形象数量模型展示。

到了中学之后，例题解题的比重进一步加大。
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-5 13:46:36

有时候，师长会善意的鼓励中学生：忍一忍，到了大学就好了，题海战术的噩梦就结束了。
一些大学师生也经常配合地发表一些高深莫测的神秘言论：“中小学只是学知识，大学里则不同，学到的主要是学习方法。”
这里的“学习方法”是指什么呢？和中小学的题海战术有何本质不同？
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-5 13:47:06

在流行的美国大学教材《向量与几何微积分》
（《Vector and Geometric Calculus》by Alan L. Macdonald）中，
作者在前言中写了这么一段。

We teachers know that students often do not read the text.
In stead, they solve assigned problems by looking for the closest template in text,
often without much understanding.

（翻译过来，大意如下。
我们老师知道，学生经常不读课本。
他们不大理解课本中的内容，他们不求甚解。
他们只是从课本中寻找模式最相近的“模板”例题，模仿其中的步骤来做题。）
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-5 13:47:35

以上这段话揭示了一个很多师生都心照不宣的事实。
大多数大学生的“学习方法”没有任何新意，基本上是延续了中小学时代的题海战术。
其实，这是理所当然的。
比起中小学来，大学的课业更繁重，进度更紧张，
而且更重要的是，大学课本中的题目更多，算法更加复杂。

（当然，对于“一考定终身”的文化来说，进了大学之后，
学生面对的选拔压力可能没有那么大了，顶多是个交钱补考问题。）
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-5 13:48:11

到了大学阶段，课本更是以例题、解题为主导了。

这一切到底是为什么呢？
为什么连课本的内容形式，都采用了“题海战术”？
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-5 13:48:40

一个现成的理由是因为选拔考试的存在。
学生要参加选拔考试 => 选拔考试的主要形式是做题 => 学生要进行做题训练

这个因果链能够解释“做题训练”的必要性，但是，无法解释“为什么课本也要以题目形式编制”。
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-5 13:49:55

为什么课本也要以题目形式编制？
难道题目形式的课本，能够更容易帮助学生理解？
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-5 13:50:58

答案显然是截然相反。
大多数的学生，在选拔考试之前，就几乎不能理解相关知识点的真正含义，只是机械地按照步骤做题。
在选拔考试之后，他们会迅速地把解题技巧忘掉（至于相关的知识点，就谈不上忘了，因为还没有真正接触到）。
之所以忘得这么快，不是因为他们忘性大，只是因为他们没有时间和精力理解那些知识。
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-5 13:51:24

这个事实并不是秘密，而是众所周知的事实。
所有的教育工作者都意识到这个问题，但是，这个问题一直就没有得到彻底的解决。
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-5 13:51:52

那么，到底是什么造成了这一切呢？

事实的真相，并不是什么秘密，但是很少有人宣诸于口。
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-5 13:52:18

因为，事实的真相令人悲哀，令人心酸。
所谓的学习难度问题，其实，只是一个印刷成本问题，转嫁到了学生身上而已。
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-5 13:52:43

初看到这个说法，您可能觉得惊异、荒谬。
这是因为，我跳过了因果链当中的几步。
下面我把这个因果链补足。
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-5 13:53:17

随便找一本大学课本来看看，很容易就会发现，满篇满本都是数学语言形式符号，而且基本上没有详细的语言说明。
委婉一点说，就像天书一样。
直白一点说，就像鬼画符一般。
别说普通人了，就是隔行的高级专家也看不懂。
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-5 13:54:39

这到底是为什么呢？
这些形式符号描述的算法流程为什么不能配上详尽的图文说明呢？
有一个主要原因——印刷成本问题。
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-5 13:55:49

那些数学算法的步骤异常琐碎复杂，如果配上详尽的文字说明，
那么，整本书将膨胀为之前的数十倍甚至数百倍。
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-5 13:58:41

举一个例子。

麦克斯韦方程（组），被选为最美方程之一。
只有四个形式极为简洁的方程，就刻画了电磁学的基本定律。
（当然，这种形式上的简洁，只是因为用了简写符号而已——使用了场论算符的多元偏微分方程）
[attach]44957[/attach]
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-5 13:59:25

只是大多数人看不懂这些方程，也体会不到其中的美感。
如果给麦克斯韦方程配上详尽文字说明的话，可能需要一本书。
比如，《图解直观数学译丛（副标题: 麦克斯韦方程直观）》这本一百多页的书就是出于这个目的。
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-5 13:59:54

如果有这样两种学习方法可选的话，
(1) 阅读这样的一本书理解麦克斯韦方程。
(2) 根据课本上的麦克斯韦方程和例题，做习题。

大部分学生会从题海战术中解放出来。
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-5 14:00:17

大学还只是高等教育的开始，后面还有浩如烟海的历史文献，几乎全都是简化的符号形式。
如果都配上详尽的文字说明的话。。。。。好吧。这将见证印刷业的大兴。
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-5 14:00:44

（电纸书、电子媒体形式的教材，是否能够解决印刷成本的问题？当然能。
但这是一个有关未来的科幻话题。我们暂且回到现实。我们现在的课本，仍然都是印刷出来的纸书。）
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-5 14:01:11

霍金说过一句话：书中每多一个公式，读者就会流失一半。

可见，人们是多么痛恨形式符号。
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-5 14:01:44

但是，大部分人没有选择，为了将来能够读懂高等教材中的形式符号，被逼无奈，大多数人从小就不得不开始学习形式符号。
形式符号的训练从小学就开始了，到了中学开始加强，到了大学。。。。
现在，一些大学开始引入数学建模实验，运用数学应用软件构造函数图形。
这对于掌握一些函数的变化规律有所帮助，但是，在帮助学生理解数学思想上并无直接帮助，编程语言同样是一种形式符号。
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-5 14:02:11

有人说：中小学都是满堂灌的填鸭式教育。
很少有人谈到大学。
实际上，看看大学的“大课”上的上百个学生济济一堂，再看看几十本砖头式的大学教材，
方才明白，什么才是真正的“填鸭”。
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-5 14:02:47

本帖最后由 学父五迁 于 2015-11-5 14:05 编辑

有师长说：“小学的数学，与其说是数学问题，不如说是语言问题。既有自然语言理解问题，也有形式符号理解问题。”
实际上，到了中学，数学更是语言问题——中学的形式符号更加复杂。
到了大学。。。。。欢迎来到符箓世界。
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-5 14:03:37

现在，我们做个科幻一般的假设。
假设（仍以数学为例），教材中的所有形式符号，都配上浅显易懂的图文说明（甚至动画演示、软件构型等），
那么，数学还有难度吗？
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-5 14:04:05

这个问题实际上是在问：除了形式符号上的难度之外，数学本身有难度吗？大部分人都能理解吗？毕竟，数学的算法那么复杂。
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-5 14:04:34

我的看法非常乐观。
复杂度，并不意味着难度。
数学中，大部分的算法复杂度，只是一些细节处理而已。
数学的主脉，并不复杂，也没有太高的理解难度。
数学的主要内容，都是围绕着数学模型（主要指函数关系）的变化规律展开的。
只要消除了语言形式符号上的难度，数学本身的理解难度就几乎消除了，呈现出一片坦途。
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-5 14:06:59

大中小学的数学内容，基本上围绕着十九世纪初就大致发展完善的古典数学，以多元微积分方程为里程碑。
各行各业的应用中，多元微积分方程是应用最广的内容。
大中小学的数学，基本上都在为多元微积分方程做准备工作。
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-5 14:07:22

多元微积分方程，用来做什么呢？
就是根据细微局部的变化规律（微分），推导出整体的变化规律（求解微分方程，需要用到积分等方法）。
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-5 14:07:46

中小学的初等函数，主要是一些常见的变化规律（如线性、幂次多项式、指数、对数、正余弦等）。
这些初等函数，是微分方程中常见的通解形式。
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-5 14:08:13

听起来，好像很抽象、很难懂的样子，幸运的是，大中小学数学（古典数学）的内容，都有直观的几何意义和物理意义。
数学模型（函数关系）的变化规律，都有对应的直观几何意义：切线、截线、切面、截面、曲线、曲面，等等。
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-5 14:08:31

现代数学（二十世纪的数学发展）中一些内容非常抽象（比如，高维空间，纯粹的代数变换），没有直观的几何意义。
有些数学教育家认为，如果过于追求直观意义，可能会影响一些纯抽象理论的学习。
这个问题，我不关心，也不了解。
因为，大部分人（比如我）只需要学习到古典数学就为止了，很少有机会用到现代数学。
一般是数学系（或者某些偏理论的硕士），才会专门学现代数学方法。
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-5 14:09:21

接下来，谈论一些具体的例子——高考中的考点。
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-5 14:09:53

清华学子谈到了一个高考技能——配平化学方程式。

清华学子写文时应该是大三了，应该学过了线性代数。
其实，没有学习线性代数，即使是普通的高中生，也理应能够明白这一点：
配平化学方程式并不需要什么特殊的技巧，只是一个解方程组的通用方法而已。

直到大三了，他仍然下意识地把“配平化学方程式”当做一种特殊技能。
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-5 14:10:43

他能够考上清华，智力一定不错。
他之所以仍然没有脱离这个思想窠臼，我只能归因于他接触到的线性代数教材。
我不知道他学的是什么教材。
我看过一本清华大学出版社的《线性代数与解析几何》（俞正光著）。
其内容组织形式和国内其他院校线性代数教材（我也看过一些）大同小异，都是通篇的形式符号推导。
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-5 14:11:09

据我了解，公认的最好的线性代数教材是《线性代数及其应用》（(美)David）。
其中直接就给出了一个解方程组的例子——配平化学方程式。
看过这个例子之后，很容易就明白，再复杂的化学方程式，其配平过程也只不过是按部就班解方程组，不需要任何高级技巧。
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-5 14:11:42

这部教程的影响很大，都影响到了高中数学课本。
人教版《高中数学选修4-2.矩阵变换》的内容，和《线性代数及其应用》（(美)David）高度相似。
但我不能确认两者之间的联系。
我看过一些流行的向量微积分美国教材，包含了线性代数内容，其中的图例也几乎是一致的。
那些教材尚未翻译成中文。
国内的数学爱好者撰写了一部非常经典的《线性代数的几何意义》，其中也引用了这些图例。
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-5 14:12:11

不同的教材，其理解难度天差地别。
线性代数的矩阵，折磨了无数学子。
网上流传着一系列文章《理解矩阵》，就反映了这种受折磨的普遍情境。
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-5 14:12:32

至于国内的大学为什么不普遍采用这种形象的线性代数教材？
这可能和利益链相关。
大学教材基本上都是本校的名师（也许是多年前）主持编写的。。。
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-5 14:13:05

中小学教材就是那几个出版社。
中小学教材的进步相当大。
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-5 14:13:29

小学课本比我们从前那个时代形象生动多了，不多谈。
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-5 14:13:51

说说中学课本。
中学一线数学老师，开始大量运用教学软件《几何画板》制作课件，
对于中学教材改革起了很大促进作用。
中学课本中很多图例甚至建议的课后练习都是用《几何画板》做的。
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-5 14:14:13

比如，高考的考点中有一个重要内容——圆锥曲线，
引入了丹迪林（dandelin）双球与圆锥内表面相切的立体模型，
思维巧妙，形象具体，展现了数学之美。
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-5 14:14:46

当然，并非所有的教材改革都是亮点，其中也有缺点。
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-5 14:15:58

现在的高考的考点中包括一个应用十分广泛的统计学内容——线性回归相关系数。
课本中没有给出“线性回归相关系数”的推导过程，直接给出了结果公式，
形式十分复杂（分母中含有根号），给人一种形式丑陋难记的感觉。
学生没有任何别的办法，只能机械记忆，机械应用。
[attach]44959[/attach]
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-5 14:16:24

实际上，“线性回归相关系数”的直观几何意义十分简洁美妙，
就是两条垂线之间的夹角（余弦）。
理解到这一点之后，“线性回归相关系数”根本就不用记，
直接应用课本中已经讲过的向量内积余弦知识即可。
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-5 14:17:13

为什么不引入这个直观几何意义？
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-5 14:17:31

一个可能原因是不知道。
不仅是中学课本，在我读过的国内的大学课本（概率统计）中，也很难找到这种直观几何意义。
我读过的国外的概率统计课本，大部分也没有讲这种直观几何意义。
只有少部分(经典?)教材才讲到了“线性回归相关系数”的直观几何意义。
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-5 14:18:03

还有一个可能原因是为了保证这部分知识点的独立性。
如果要引入“线性回归相关系数”的直观几何意义，就需要引入更多的相关背景内容。
在这样的考量下，就这么干巴巴地引进来了。
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-5 14:18:26

在我看来，这种教材改革就是一种败笔。
生生把数学之美给丑化得丑陋不堪。
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-5 14:18:50

这种干巴巴的引入，在考核上，没有太大意义，只能考核学生的机械记忆和应用能力。
在实用上，也没有多大意义。学生只学到了机械套用公式，考完了很快就忘了。
以后用到的时候，学生还是得重新查公式、套公式。
数学能力没有一点提升，还增加了对数学的反感。
作者: 天就-蓝了    时间: 2015-11-5 15:44:53

学父这是要升级的节奏哇  
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-5 15:59:19

天就-蓝了 发表于 2015-11-5 15:44
学父这是要升级的节奏哇


哈哈。可不是。
打算卖卖电脑。。我是说，慢慢变老。 :D
作者: 天就-蓝了    时间: 2015-11-5 16:28:54

学父五迁 发表于 2015-11-5 15:59
哈哈。可不是。
打算卖卖电脑。。我是说，慢慢变老。 :D

快了  快了  这就快了  一起加油
作者: Elf    时间: 2015-11-5 20:18:34

学父五迁 发表于 2015-11-5 14:11
据我了解，公认的最好的线性代数教材是《线性代数及其应用》（(美)David）。
其中直接就给出了一个解方程组 ...

能详细讲讲吗，有啥诀窍很快地配平化学方程式吗
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-5 21:45:19

本帖最后由 学父五迁 于 2015-11-5 21:58 编辑
Elf 发表于 2015-11-5 20:18
能详细讲讲吗，有啥诀窍很快地配平化学方程式吗


哈哈。这个简单哪。
就像把大象装进冰箱里一样。
第一步，把冰箱门打开。
第二步，把大象装进冰箱。
第三步，关上冰箱门。

配平化学方程式也是如此。
第一步，列出方程组。
第二步，解出方程组。
。。。


好吧。以上只是一个玩笑。
我不知道“快速”配平化学方程式的“诀窍”。
我只知道配平化学方程式的通用方法。

我就把《线性代数及其应用 (美)David》一书中的例子搬过来吧。
当丙烷气体燃烧时，丙烷（C3H8）与氧气（O2）结合产生二氧化碳（CO2）和水（H2O）。
形成如下的化学方程式。

(a1) C3H8 + (a2) O2 = (a3)CO2 + (a4)H2O

a1, a2, a3, a4 分别是四种分子的个数。

分子有上述4种。
所有的可能原子有碳（C）、氢（H）、氧（O）3种。

列个表格，列出每种分子中含有某种原子的个数。

          C3H8      O2      CO2      H2O
碳（C）     3        0       1        0
氢（H）     8        0       0        2
氧（O）     0        2       2        1


上述的化学方程式两边同时减去等式右端，变形如下。

(a1) C3H8 + (a2) O2 - (a3)CO2 - (a4)H2O = 0

上述的表格就变形如下（右端的分子中的原子个数变成负数）。

          C3H8      O2      CO2      H2O
碳（C）     3        0       -1        0
氢（H）     8        0       0        -2
氧（O）     0        2       -2       -1


如果学过矩阵初等行变换（非常简单，就是行之间加减乘除。原理同消元法一样），
那么，可以直接对上述矩阵进行初等行变换，得出结果。

如果没有学过矩阵初等行变换，那么，就列出下面的不定方程组。


3 a1             -   a3                 = 0
8 a1                        - 2 a4    = 0
         2 a2   - 2 a3   -    a4    = 0

用消元法或代入法解方程就行了。
这个方程组很适合用代入法，直接就可以看出  
a3 = 3 a1,   
a4 = 4 a1
代入最后一个方程，就可以得到
a2 = 5 a1

这是一个不定方程组，有无穷多组解。
取一组最小公约数为1的整数解即可。

a1 = 1
a2 = 5
a3 = 3
a4 = 4
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-5 22:25:09

下面描述一下矩阵初等行变换的过程。
为了清晰描述，我把每一步细节都记录下来了。
因此可能显得比上述的代入法繁琐复杂，实则不然，两者的繁简程度是一样的。
而且，如果熟悉了矩阵行变换之后，矩阵的写法更加简单，尤其适用于未知数更多的、更复杂的方程组。
当然，最重要的原因是，数学应用软件中的方程组形式，全都是矩阵形式。
如果要运用数学应用软件，必须熟悉矩阵方法。

如果使用矩阵初等行变换，需要先选取主列（换列）。
先看之前的矩阵。

           a1       a2      a3       a4

          C3H8      O2      CO2      H2O
碳（C）     3        0       -1        0
氢（H）     8        0       0        -2
氧（O）     0        2       -2       -1


可以看出，第三列、第四列、第二列 适合当主列
调整列顺序，行变换正负号，行约简。

            a3      a4     a2    a1

           CO2     H2O     O2   C3H8
碳（C）     1       0      0     -3
氢（H）     0       1      0     -4
氧（O）    -2      -1      2      0


第三行加上两倍的第一行、一倍的第二行。

          a3      a4     a2    a1

          CO2    H2O    O2   C3H8
碳（C）    1       0     0     -3
氢（H）    0       1     0     -4
氧（O）    0       0     2     -10

第三行约简。

          a3      a4     a2    a1

          CO2    H2O    O2   C3H8
碳（C）    1       0     0     -3
氢（H）    0       1     0     -4
氧（O）    0       0     1     -5


行变换完成。
这个矩阵写成方程式如下。

a3 - 3 a1 = 0
a4 - 4 a1 = 0
a2 - 5 a1 = 0

即

a3 = 3 a1
a4 = 4 a1
a2 = 5 a1
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-6 09:43:00

还是继续说说统计中的线性回归。
除了线性回归相关系数之外，课本内容（高考范围）还要求学生记下两个线性系数的公式。
（这两个线性系数相当于 y = ax + b 中的 a, b 系数）

这两个公式也相当复杂，尽管没有了根号形式，但也相当难记。
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-6 09:43:49

课本（人教版）中的阅读材料中给出了一种推导方法。
但这种推导方法不仅没有减轻负担，反而引入了一种难度更高的技巧——不等式配方法求极值。

“不等式配方法求极值”的技巧，是一种极为高难度的技巧。
这种技巧，即使连大学师生都难以掌握。
而且，用处很少。只有数学奥赛学生才能掌握，才有机会在奥赛中用到。

这意味着，普通学生几乎不可能利用这段推导方法来帮助记忆。
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-6 09:44:26

那么，求极值的通用方法是什么呢？
求导（求微商）。
线性回归有两个系数，a, b，因此就需要求 偏导（偏微商）。
这个技巧十分简单，很容易理解掌握。
很多概率统计学的大学课本讲的方法就是 求偏导。
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-6 09:44:54

所以，一个令人哭笑不得的事实是，中学中的一些算法的难度和复杂度上，远远高于大学的通用方法。

难怪数学家克莱因提出过“尽早在中学中引入高观点（在中学的初等数学引入高等数学观点）”。
遗憾的是，他在引入“高观点”的同时，还引入了“高形式”，使得这条路子的教学实验效果并不佳。
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-6 09:45:28

在线性回归的各种讲法中，最为形象直观漂亮的讲法，还要属于一些线性代数经典教程（如《线性代数及其应用 (美)David》）中的讲法。
在这种讲法中，最小二乘法有了形象的直观几何意义，一目了然。
而且这种讲法把相关的部分（平行分量）、不相关的部分（垂直分量）区分得清清楚楚，为以后学习统计学中更加复杂的相关打下基础。
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-6 09:45:59

一些人可能没有读到过（如《线性代数及其应用 (美)David》）中的这部分。
为了理解得更加深入，他们查到了麻省理工教材中的“最小二乘法”的直观几何意义讲法。
他们还编写了一个小册子《最小二乘法的几何意义》，
和《线性代数及其应用 (美)David》这本书的讲法是一致的。
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-6 09:46:37

总之，中学课本中阻碍理解的讲法，林林总总，不胜枚举。
大学课本呢？
这要问是哪一个大学的课本。
因为，每一个大学，基本上都用自己院校名师编写的课本，甚至很多大学都有自己的出版社。

我读过的大学教材中，绝大部分都是极难理解的形式推导形式，远远低于中学教材的平易程度。
只有少部分大学教材编得形象生动，超越了中学教材的平易程度。
作者: huanximm    时间: 2015-11-9 11:16:46

Elf 发表于 2015-11-5 20:18
能详细讲讲吗，有啥诀窍很快地配平化学方程式吗

我记得可以转换为数学题目，因为化学方程式两边的各种原子数目一定是相同的，变化的是他们的组合方式。化学反应前后，质量一定相等，原子数一定相等，这两个原则可以解决很多化学题目
作者: Elf    时间: 2015-11-9 14:10:59

以后数理化问题就问楼主了
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-9 14:46:42

Elf 发表于 2015-11-9 14:10
以后数理化问题就问楼主了

呵呵。欢迎之至。
欢迎大家一起探讨。
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-9 16:22:55


初等函数的微积分公式（求导），已经全面引入到高中课本，而且成为高考的考点。
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-9 16:23:16

高中课本直接给出了这些求导公式，学生只能硬记下来。

大多数的大学课本，给出了这些求导公式的形式推导过程，但是，形式上显得比较复杂，算法步骤繁多。

实际上，这些求导公式，都不需要记忆。

这些求导公式的推导过程，也不需要太多的形式推导，都有一些简洁直观的技巧。

下面一一介绍。
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-9 16:23:54

先从正弦、余弦函数开始。

正弦、余弦函数的导数，实际上不用记，而是可以直接“看”出来。
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-9 16:24:13

正弦、余弦函数有一个历史遗留下来的名字——三角函数。

其实，“三角”函数和三角形的关系，并不密切，
只是，三角形中有一些重要定理和“三角”函数相关，
如正弦定理、余弦定理（勾股定理的广义推广）。
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-9 16:24:45

“三角”函数和什么形状的关系最密切呢？
圆！
“三角”函数叫做“圆”函数，更加确切一些。
正弦余弦函数的图像中，横轴x轴方向上的分量（即，x值），
实际上就是圆弧（圆周上起点到某一点的圆弧）展开的长度。
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-9 16:25:20

很多时候，“三角”函数的种种特性，和“圆”结合起来，就一目了然了。

物理中，
速度就是反应位置变化的变化率（导数），
加速度是反应速度变化的的变化率（导数）。

正向（逆时针方向）的匀速的圆周运动，是一个刻画“正弦、余弦函数导数”的绝佳情境。

假设一个点（比如，垂直于磁力线方向飞入均匀磁力场的一个电子），做匀速圆周运动，运动轨迹为一个圆。
为了方便起见，假设圆周的半径是1（这是一个单位圆），
假设这个点的运动角速度（每一个位置对应的圆心角的变化率）是1弧度每秒。

那么，这个点的运动轨迹的参数方程如下。

x = cos(t)
y = sin(t)
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-9 16:30:18

本帖最后由 学父五迁 于 2015-11-9 21:21 编辑

运动轨迹的圆周上某一点（x, y）的导数，是什么呢？
恰好是该点的速度（速度方向是圆周上该点的切线方向）。

这个速度的方向恰好是圆周上这个点的切线方向。
这个切线恰好垂直于该点的半径（也是该点对应的向量），
这个切线相当于该点的半径正向（逆时针）旋转了90度(π/4)。

于是，可以直接“看”出 x, y 这一点沿横轴和纵轴两个方向上的分速度（即导数）。

x' = cos'(t) = cos( t + π/2)
y' = sin'(t) = sin( t + π/2)

这说明，正向匀速（1弧度/秒）单位圆周运动的速度（切线，导数）函数，也是一个圆，
而且，恰好比原函数（轨迹函数）提前了四分之一圆周——90度。
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-9 16:30:39

本帖最后由 学父五迁 于 2015-11-9 21:30 编辑

在场论中，上述场景是一个颇为高级的概念 -- 向量场中的导数。
何谓“向量场”？
这个概念非常简单。

普通的函数关系中，函数值一般都是一个标量。这种函数关系所在的场叫做数量场。

如果函数值不是一个标量，而是一个拥有多个分量（多个维度）的向量，这种函数关系所在的场就叫做向量场。

那两个参数方程中的导数，并非偏导数，而是两个方向（维度）上的分量函数各自的导数。

偏导数是数量场中的概念。
一个多元函数的函数值是一个标量。
该函数值对于某个分量变量的变化率，就称为该分量（维度）上的偏导数。

在变量的维度（分量或变量的个数）上，数量场和向量场都可能是多元（多维）的。
但是，在函数值的维度上，数量场的函数值是一个标量（只有一个分量），
向量场的函数值是一个向量（多个分量）。

当然，向量场的函数值的每个分量函数，函数值都是标量，每个分量函数都是一个数量场。
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-9 16:31:01

高中和大学的课本中的公式中是怎么写的？

cos'(t) = -sin(t)
sin'(t) = cos(t)

课本中的这个形式和上述结果是一致的，只需要转换一下即可。
但是，课本中的形式，在记忆难度上就大了许多，因为不仅是函数名变了，还有正负号参与其中。
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-9 16:31:34

这里给出的正向（逆时针）旋转90度（π/2）的形式，十分便于记忆，尤其是求高阶导数的时候。

比如，求上述圆周运动的向心力。
这就是位置函数的二阶导数。
这可以直接看出来。
因为我们已经知道，向心力（向心加速度）的方向正好和半径（向外）的方向相反，指向圆心。

于是，我们可以直接看出来轨迹函数的二阶导数（向心加速度）。

x'' = -x
y'' = -y

即，

x'' = cos''(t) = -cos( t )
y'' = sin''(t) = -sin( t )
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-9 16:32:20

这个圆周模型还有一个很大的好处。
可以非常直观地看出，正弦余弦函数的导数，恰好是四阶一个周期，回到了自身。
如果按照课本中的公式，要得到这个规律，还需要稍微想一下。
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-9 16:32:41

当然，以上的圆周运动模型只是一个帮助记忆的场景，并非正式的推导过程。

大学课本中给出的推导过程，并不复杂，只有两个技巧。
第一个技巧是正弦函数的和差化积，第二个技巧是“sin(x)/x”的无穷小极限是1。

作者: 学父五迁    时间: 2015-11-9 16:33:09

第二个技巧，“sin(x)/x”的无穷小极限是1，基本上是定性分析，很容易记住。
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-9 16:33:48

第一个技巧涉及到和差化积，这是中学就已经掌握的技能。
但是，非常遗憾的是，很多学生高考之前记不住这个公式，高考之后更是忘得精光。

在大多数学生的心目中，三角函数丑不堪言。
如果要从中学数学中选出最丑陋的知识点，那么，三角函数部分肯定在入选之列。

这完全是课本内容安排失当导致的“人为丑化”。
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-9 16:34:09

三角函数并不丑，相反，三角函数和一个非常美妙的结构——圆，关系密切，因此，具有很多美妙的性质。
刻画三角函数的最美妙的数学结构，是复数。

复数的一个重大优势在于复数的乘法。
复数的乘法就是旋转。
复数的幂次就是多次等角旋转。

只要看到旋转、尤其是正多边形等角旋转的情况，运用复数结构，准没错。

三角函数中最难记的种种倍角、分角、和角、差角恒等式，运用复数结构，迎刃而解，直接推出，无需记忆。
复数号称是三角函数恒等式的批量制作工厂。

不少辅导数目中运用三角形面积法等几何直观形式，帮助记忆这些三角恒等式。
首先，这种方法能够记忆的三角恒等式极为有限。其次，和复数乘法比起来，在复杂度上也没有优势。

复数，才是三角恒等式批量生产之王！
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-9 16:34:58

正弦函数的和差化积，是从正弦函数的和角、差角公式中推导出来。

和角公式，可以轻易用复数乘法推导出来。

差角公式，可以轻易用复数除法（两个复数的除法，其结果的角度，就等于两个复数的角度之差）推导出来。

实际上，差角公式十分重要。
但是，大多数的中学大学课本都忽略了其重要意义。

差角公式有一些极为重要的应用场景。

两个向量夹住的平行四边形的面积，也是向量积——叉积——的模，就是差角公式的直接应用。
因此，一个极有规律的行列式就可以刻画差角公式。

假设两个平面向量，一个角度是a, 一个角度是b。
为简单起见，假设两个向量的模都是1。
两个向量之间的夹角就是 b - a

两个向量夹的平行四面形面积就是 差角 b - a 的正弦。

这个面积是有方向，右手法则，从 a向量 到 b向量。
a 写在第一行或第一列，b写在第二行或第二列。

cos(a)    sin(a)
cos(b)    sin(b)


sin(b - a) 就等于上述矩阵的行列式的值。

sin(b - a) = cos(a) sin(b) = cos( b ) sin (a)
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-9 16:35:33

令人不解的是，复数的内容十分靠后，远在三角函数之后。
这是为什么呢？
我百思不得其解。
一个可能的原因是，前面已经讲过了向量，很容易和复数混淆。
是不是因为这样呢？
如果是因为这样，那么，向量和复数的异同点，就更应该着重区分了。
从运算法则上来看，复数可以看做是一种特殊的平面向量，其特殊之处在于其乘法（幂次、除法、根次等）。
当然，复数并非如此简单，还有一些更加高级的应用，如复空间。
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-9 16:35:58

最后，再提一下欧拉公式。

被选为最美公式之一的欧拉公式（费曼十分着迷于欧拉公式），
用复指数形式表示了复数的三角函数参数方程形式。

e^(i a) = cos(a) + i sin(a)

这种指数形式极为简洁。
应用这种指数形式，复数之间的乘除法就变成了指数之间的加减法。
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-9 16:36:17

正弦、余弦函数的导数，无论是记忆，还是推导，都不难。

其他的初等函数呢？

如果按照一定的顺序，再加上一些技巧，其他的初等函数也不难记忆和推导。
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-9 16:36:47

首先，要掌握的是链式法则。
比如，一个函数的变量，可以用另一个参数方程来表达。

y = y(u)

u = u(x)

那么，可以定性地看出，

dy       du       dy
----    -----  = -------
du       dx       dx

链式法则非常直观，不需要记忆。
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-9 16:37:19

其他的法则，如积法则、商法则、倒数法则，等等，都不用急。
这些法则都是函数之间的乘除关系。
有一种极为强大的技巧，能够把乘除关系变成加减关系。
这就是对数。
所以，我们首先要深入掌握对数函数 ln(x) 和 倒数函数 1/x 之间的关系。

ln'(x) = 1/x

我在“数学无代价应试”这个帖子里面，给出了“倒数函数求面积”的详细介绍。
小学阶段都可以运用“因数分解”这个情境来体验反比例函数关系和反比例函数求面积的方法，
体验其中的对数关系——乘除化为加减。直接用立方格积木就可以摆出来，非常直观。
小学高年级基础上，了解一点字母代数法，就可以得出 1/x 这个导数函数的面积函数（积分），
体会其中的对数关系——乘除化为加减。

接着，那个帖子讲解了，深入掌握了对数函数的导数之后，运用一下链式法则，就可以求出对数函数反函数——指数函数——的导数。

数学无代价应试
http://bbs.liyueer.com/forum.php?mod=viewthread&tid=93579

http://www.xingfudgy.com/forum.php?mod=viewthread&tid=29578

掌握了对数函数的导数之后，积法则、商法则、倒数法则都是小菜一碟。
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-9 16:37:46

设 h, f, g 都是 x 的函数。

先看看积法则。

h = f g

其导数如何？

课本上给出的方法是传统方法，设变化量，求极限，比较复杂难记。

运用对数，就非常轻易。
首先，对等式两端取对数。

ln(h) = ln(f) + ln(g)

然后，等式两端再求导数。
根据链式法则和对数函数的导数公式。

h'       f'      g'
---  =  ----  +  ---
h        f       g


两端同时乘以h。
h = f g

于是，

h' = g f' + f g'

这就是积法则。
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-9 16:38:15

再来看商法则。

h = f / g

其导数如何？

课本上给出的方法是传统方法，设变化量，求极限，比较复杂难记。

运用对数，就非常轻易。
首先，对等式两端取对数。

ln(h) = ln(f) - ln(g)

然后，等式两端再求导数。
根据链式法则和对数函数的导数公式。

h'       f'      g'
---  =  ----  -  ---
h        f       g


两端同时乘以h。
h = f / g

于是，
        f'            f  g'
h' = ------   -   ------------
        g             g  g

这就是商法则。
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-9 16:38:40

再来看倒数法则。

h = 1 / g

其导数如何？

课本上给出的方法是传统方法，设变化量，求极限，比较复杂难记。

运用对数，就非常轻易。
首先，对等式两端取对数。

ln(h) = - ln(g)

然后，等式两端再求导数。
根据链式法则和对数函数的导数公式。

h'           g'
---  =    -  ---
h            g


两端同时乘以h。
h = 1 / g

于是，
                f  g'
h' =    -   ------------
                g  g

这就是倒数 法则。
作者: 学父五迁    时间: 2015-11-9 16:39:47

任何乘除（幂次，根次）形式的函数的求导，都可以运用这种先取对数、再求导的技巧。
作者: 式微式微    时间: 2015-11-11 15:32:15

看起来好厉害，我的数学都还给老师了。



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