幸福大观园

标题: 旗帜鲜明的反对竖式 [打印本页]

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作者: 学父五迁    时间: 2014-11-21 19:38:22     标题: 旗帜鲜明的反对竖式

免责声明：标题党。个人极端偏见。风险自负。

在我看来，破坏小学生数学思维的罪魁祸首就是“竖式”。
如果可能，尽量避免让小学生学习竖式。

我感觉，应该有很多数学教育家有这个观点。
结果，我搜了半天，只搜到一篇不那么激进的。

为什么要淡化竖式笔算——谈如何培养计算的灵活性与创造性
http://blog.sina.com.cn/s/blog_4a35ba11010149jj.html

除法是小学计算教学的难点，难就难在竖式除法上。一位很优秀的青年教师曾告诉我一件事：
她班里有个“差生”，怎么也不理解“312÷3”的竖式笔算的过程和方法，急得哭了。
后来这个孩子问她，300÷3=100，12÷3=4，100+4=104，这样算很容易就得出结果了，为什么一定要用竖式计算呢？
.....
掌握竖式除法必须突破两个难关：一是理解竖式除法的格式、步骤是怎样从具体的情境操作中抽象出来的，二是掌握“试商”的方法。
为了化解上述难点，教材编者精心设计，层层铺垫，一线老师也费尽心思，精益求精，但教学效果依然不尽如人意；

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作者: 学父五迁    时间: 2014-11-21 19:41:59

还有一个故事。
郑毓信还在《数学教育: 从理论到实践》一书中转引了台湾一位小学教师经历的如下事例:
记得两年前, 我女儿上幼稚园大班, 我儿子上小学三年级, 有一天带他们两人去吃每客199元的比萨,
付账时, 我问儿子和女儿: 妈妈一共要付多少元啊?
儿子嘴里喃喃念着: 三九, 二十七进二, 三九, 二十七进二;
女儿却低着头数着手指头。
一会儿, 儿子喊着: 妈妈! 你有没有纸和笔, 我需要纸和笔来写‘进位’, 否则会忘。
儿子还未算出。女儿却小声地告诉我: 妈妈! 你蹲下来一点, 我告诉你, 我知道要付多少钱了。
哦! 真的, 要付多少钱?
你拿600元给柜台的阿姨, 她会找你3元。
付完钱后, 牵着女儿的手走向店外, 再问: 小妹! 你怎么知道给阿姨600元, 还会找3元呢?
我用数的啊! 199再过去就是200、400、600, 三个人共要给600元,
但是阿姨一定要再找3元给我们才可以, 她多拿了3元嘛!”
以上只是“前奏”, 更“精彩的”还在后面:
“最近带他两人去吃‘沙拉吧’, 一人各380元,
付账时, 我问他们兄妹两人: 算算看, 要付多少元?
两人异口同声地回答: 给我纸和笔。我说: 没有纸和笔。
女儿答腔: 那就算不出来了。”
这位老师感慨地说:“只差两年, 我女儿就变成不会解题, 只会计算了。

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作者: 学父五迁    时间: 2014-11-21 19:42:32

在我看来，很明显，造成这个后果的罪魁祸首就是“竖式”。
不用竖式，直接采用多项式（横式），计算速度反而可能更快。

在长除法中。
竖式中，试商偏大偏小，还需要调商，重新做乘法。
多项式中，调商就容易得多，可以直接利用前面的结果。
原则上，竖式也可以用上之前的结果。
但是拘于形式，很难使用。

下面举两个例子。短除法和长除法的例子。
为了方便文字排版，我把竖式中的除数写在了右边，而不是左边。

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作者: 学父五迁    时间: 2014-11-21 19:43:04

1. 短除法 74 ÷ 3

74 ÷ 3
竖式

24      （试商2；试商4）
----
74  ÷  3
6        （试商2）
----
14
12       （试商4）
----
2

最终结果
74 ÷ 3 = 24 ...... 2

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作者: 学父五迁    时间: 2014-11-21 19:43:11

74 ÷ 3
多项式（横式）

（试商20）
74 - 20 X 3 = 14  
（试商4）
14 - 4 X 3 = 2   

最终结果
74 = 24 X 3 + 2

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作者: 学父五迁    时间: 2014-11-21 19:43:31



在长除法中。
竖式中，试商偏大偏小，还需要调商，重新做乘法。
多项式中，调商就容易得多，可以直接利用前面的结果。
原则上，竖式也可以用上之前的结果。
但是拘于形式，很难使用。


2. 长除法  8216734 ÷ 271


8216734 ÷ 271
竖式


    3  （试商 3）
-------
8216734 ÷ 277
831            （试商 3）

试商3失败，擦掉那一行，重新试商2

    295     （试商2；试商9；试商5）
-------
8216734 ÷ 277
554       （试商2）
-------
2676
2493      （试商9）
--------
1777     （试商5）
1385
--------
  392

试商5失败，擦掉那一行，重新试商6。

    29641     （试商2；试商9；试商6；试商4；试商1）
-------
8216734 ÷ 277
554       （试商2）
-------
2676
2493      （试商9）
--------
1777     
1662     （试商6）
--------
  1153
  1108
--------
    454   
    277    （试商1）
--------
    177

最终结果。
8216734 ÷ 277 = 29641 ...... 177

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作者: 学父五迁    时间: 2014-11-21 19:43:52

8216734 ÷ 271
多项式

（万位。）
821 ÷ 277
（试商3。）
3 X 277 = 831  
（试商过头了。改成试商2。）
（可以直接使用前面试商3的结果。）
2 X 277 = 831 - 277 = 554
821 - 554 = 267

（千位。）
2676 ÷ 277
（试商9。）
（可以直接使用前面试商3的结果。）
9 X 277 = 3 X 831 = 2493
2676 - 2493 = 177

（百位。）
1777 ÷ 277
（试商5。可以直接使用试商2和试商3的结果。）
5 X 277 = 554 + 831 = 1385
1777 - 1385 = 392
试商1。
392 ÷ 277
392 - 277 = 115
（商的百位是5 + 1 = 6。）
（这里的商，是可以叠加的，而不用擦除重算。）

（十位。）
1153 ÷ 27
（试商4。）
（可以直接使用前面试商3的结果。）
227 X 4 = 831 + 277 = 1108
1153 - 1108 = 45

（个位）
454 ÷ 277
（试商1。）
454 - 277 = 177


最终结果。

8216734 = 29641 X 277 + 177

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作者: 容易吗    时间: 2014-11-21 20:12:47

我第一反应都是用竖式。被摧残的人啊！

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作者: 明月照我心    时间: 2014-11-21 22:43:17



这可不是什么被摧残。只会横式方法，理解不了竖式方法的人，我只能说，他们抽象理解力和透过现象看本质的能力不够罢了。横竖本质上是一样的。

并不是竖式的错。

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作者: 明月照我心    时间: 2014-11-21 22:49:39



竖式做乘除法节省多少空间啊。竖式做加减法，还可以加强理解位数的概念。

另外，学数学不能只学一种方法。如果单纯讲究速度的话，可以另外专门练习多位数的横式乘除法啊。练习多了自然就熟了。这可就不是学校教的马面鱼了。而是金枪鱼了。

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作者: 明月照我心    时间: 2014-11-22 10:03:47

我怎么有一种感觉。我们现在反对传统学校，是不是反过了？

反传统当然好，但反对所有和传统有关的一切，是不是走错了方向？

前进应该是一个扬弃的过程。绝不是全盘否定。

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作者: 学父五迁    时间: 2014-11-22 13:00:41

明月照我心 发表于 2014-11-21 22:49
竖式做乘除法节省多少空间啊。竖式做加减法，还可以加强理解位数的概念。

另外，学数学不能只学一种方法 ...

竖式节省空间，是因为“降位”。
下一步除法，后一位直接空降。
这恰好不容易对位。
位数多了，行数多了，就非常难以对位。
很容易漏位错位。
恰好阻碍了对位数的理解。
不信，问问那些用竖式的小学生，能否判断出当前的商，落在哪一位上？

明月不妨用竖式算算自己出的那道题目。
56354496328813668/9
:D
我可以给个多项式对照版。


我前面给的长除法例子已经展示了。
在除数位数较多的长除法中，竖式的“试商”，很难重复使用。
一旦试错了，还要重算。
如果要重复使用，就要写在竖式之外的地方。
这就叫做“形格势禁”。

这种重复使用“商 X 除数”的做法，已经是“代数”（代式）的雏形。
结果，竖式基本阻断了学生的这种体验。
只有商和之前完全相同的时候，学生才可能想到代入。
但是，那个结果不是很容易找，需要找到商，再划一条竖线下来，找到是哪一步的结果。
在我看来，在重要数学思想的体验方面，竖式起到的全是负面作用。

再给一个问题。
如何用竖式证明循环小数的必然产生？
不妨一试。

多项式除法能不能简写？
当然能。只要熟练了，比竖式还要简单。
前面是怕大家不熟悉，才加上了文字说明。

在被除数上写上10的幂次。
（标记规律和使用很简单。
原理不用解释，学生以后学了乘方自然就会明白）
（如果是小数，就从1开始，按递增顺序标注。
或者1', 2'表示 -1, -2 次幂）


6543210
8216734 ÷ 271

从“4”次幂开始，“递”降。

(4)
821
3 X 277 = 831  
2 X 277 = 831 - 277 = 554
821 - 554 = 267
2
(3)
2676
9 X 277 = 3 X 831 = 2493
2676 - 2493 = 177
9
(2)
1777
5 X 277 = 554 + 831 = 1385
1777 - 1385 = 392
392 - 277 = 115
5 + 1 = 6
(1)
1153
227 X 4 = 831 + 277 = 1108
1153 - 1108 = 45
4
(0)
454 - 277 = 177
1

商：29641
余数：177

以上的流程，我只是随便一写。
这种格式，非常自由。
我可以轻易使用这种格式证明循环小数的必然产生及产生过程。

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作者: 明月照我心    时间: 2014-11-22 13:22:47

我试了。对我来说，二者差不多是一样的。竖式更直观，用眼辅助心算。而横式更难一些，只用心算。

我觉得这是计算能力的问题。心算能力是需要反复练习才能获得的，练习是课后可以自己做的，学校已经教了基本方法。

所以我说，这是金枪鱼。钓金枪鱼要靠自己，不能什么都靠学校。

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作者: 明月照我心    时间: 2014-11-22 13:30:05



我又想起那句话：无他，唯手熟耳。

这些可以自己通过练习而获得的熟练技能，自己没有获得，为什么也要归罪于学校呢？

学校是个筐，什么罪名都能往里装？

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作者: 明月照我心    时间: 2014-11-22 13:33:34

那父母呢，孩子呢，什么都不用做，就完全依靠学校？

我想起了那个故事：相信神，但是先拴好自己的骆驼。

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作者: 学父五迁    时间: 2014-11-22 14:11:15

明月照我心 发表于 2014-11-22 13:30
我又想起那句话：无他，唯手熟耳。

这些可以自己通过练习而获得的熟练技能，自己没有获得，为什么也要归 ...

这样吧。
先看三个具体问题。

(1) 名词解释：请举例说明，什么叫做"试商" ？请举例说明，试商可能发生的各种情况。

(2) 请用竖式证明无限循环小数的循环节的必然存在。
这个问题最有意义，可优先考虑。

(3) 做一个除数位数较长的长除法。
比如，
34908098898083535252 ÷ 498

这个题目是我随便给的。
既然要做长除法，这种题目才有意义。

请用竖式解答。
一个技巧：用文本排版竖式时，左边的空位可以用"0"补齐，就可以对齐数位。

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作者: 容易吗    时间: 2014-11-22 14:27:27

数学不好的人，现在终于感觉到大脑营养不够空间不够看得想睡觉了。欢迎烨子妈来报仇补刀。

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作者: 明月照我心    时间: 2014-11-22 14:27:39

第一，我不认为竖式和横式有什么本质区别。

第二，我不认为学校不教竖式改教横式，对学生理解数学和提高计算速率和正确性有多大的帮助。

第三，我觉得纠缠横式竖式的数学教学，是扔西瓜捡芝麻，本末倒置。

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作者: 学父五迁    时间: 2014-11-22 14:59:22

明月照我心 发表于 2014-11-22 14:27
第一，我不认为竖式和横式有什么本质区别。

第二，我不认为学校不教竖式改教横式，对学生理解数学和提高 ...

第一，我认为，竖式是裹足跳舞，形格势禁，局限了学生的思维。

第二，我认为，学校不需要教竖式或横式。我前面给出的横式，是我自己随便写的。
学生只要掌握了除法的本质规律（我称之为"倍余式"），学生可以自由创作出各种算法套路。

第三，关于“芝麻和西瓜、本末倒置”之说。在我看来，安全无小事儿。

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作者: 明月照我心    时间: 2014-11-22 14:59:28


容易吗  楼主不是说了，他认为学校教的这个东西，妨碍了孩子认识本质。  发表于 20 分钟前

容易吗  我能说楼主说的这个问题跟怪不怪学校没关系么？  发表于 13 分钟前

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这两句话，不有些矛盾吗？

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作者: 学父五迁    时间: 2014-11-22 15:01:25

明月照我心 发表于 2014-11-22 14:59
容易吗  楼主不是说了，他认为学校教的这个东西，妨碍了孩子认识本质。  发表于 20 分钟前

容易吗  我 ...

这么说吧。

我反对的不是学校，是竖式。

现在，全世界所有的学校，都在教竖式。
"新教育"，同样在教竖式。
竖式不仅是学校教的。
在家上学，同样大部分都在教竖式。

我的建议是，竖式应该作为数学文化的部分而存在，就像珠算一样。

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作者: 明月照我心    时间: 2014-11-22 15:06:15

容易吗 发表于 2014-11-22 14:27
数学不好的人，现在终于感觉到大脑营养不够空间不够看得想睡觉了。欢迎烨子妈来报仇补刀。

我补一刀。来看这个链接：

http://bbs.liyueer.com/forum.php ... p;page=7#pid2509709

楼主是不是认为学校直接教这些题的解法比较好？

我在上学的时候，绝对没有在教材上看到过这些题。但我今天的所有解法，也绝对没有超岀学校教的那点基础。

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作者: 明月照我心    时间: 2014-11-22 15:20:40

学父五迁 发表于 2014-11-22 14:59
第一，我认为，竖式是裹足跳舞，形格势禁，局限了学生的思维。

第二，我认为，学校不需要教竖式或横 ...

请相信，竖式没那么大伤害。竖式不是暴风雨，不是地震，不是原子弹。不会威胁到孩子的安全。

要是连一个竖式都能危害到孩子的安全，从此局限禁固了孩子的思绪，影响他思维的发展。这不是有着人类思维的孩子～～～

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作者: 学父五迁    时间: 2014-11-22 15:22:51

明月照我心 发表于 2014-11-22 15:06
我补一刀。来看这个链接：

http://bbs.liyueer.com/forum.php?mod=viewthread&tid=92068&page=7#pid ...

呵呵。明月确实牛。基础很扎实。
明月不妨谈谈对奥数的看法。

关于小学阶段是否要引入奥数，如何引入。
我现在也没有想清楚。

我只想引入一些思维方式。
在我看来，这些思维方式，体现了本质。
比如，对于这些题型，我目前的打算如下。

(1) 加减法之后，就引入除以“2”的整除。
（或除以“2”的幂次，比如，除以4、8等）

基本模型是模仿“隔板法”的模型（不引入任何概念）。

具体做法就是，将多个单位（“1”、“10”、“100”等）
分成两份。

比如，
1, 1, 1, 1, 1, 1
六个立方格之间，插板。

10, 10, 10, 10
四个十格长条之间，插板。

100, 100, 100, 100
四个百格平方板之间，插板。

(2) 除数大于等于2的带余除法。除数从2到9。

基本模型是仿造“抽屉原理”（鸽笼原理）。
尽量将数量分成平均的几柱。
看看最高的柱，最低是多少。

在玩这个游戏的过程中，学生可能会加深对除法的理解。

(3) 乘法

排列组合题型中的乘法原理，也许适合作为引入乘法的例子。

比如，棋盘上的路线数量模型，就很直观，而且暗合组合公式构成的贾宪三角形。

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作者: 学父五迁    时间: 2014-11-22 15:28:17


哈哈。
"容易吗"解读得很准哪。赞。

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作者: 明月照我心    时间: 2014-11-22 15:38:49



噢，你是在设计数学课程？

小学阶段不建议引入奥数。

抽象思维是在7岁左右才发展的，成熟也要11、12岁吧。已经快小学毕业了。

我觉得基础非常重要。数学的基础不只在于数学，首先在于文字的理解力。很多人连奥数题的意思都没完整理解，更不用说找岀已知条件和问题关键了。

小学的数学不在于多，不在于杂和繁复变化。千万别让孩子眼花缭乱。要简单，直指核心。要树立目标感，和唯一道路。

中高年级可以把鸡兔同笼这种题当游戏去玩。

以上是我的看法。

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作者: 容易吗    时间: 2014-11-22 15:45:47

珠算我了解有些私立在学的，而且是一年级.

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作者: 学父五迁    时间: 2014-11-22 15:51:51

明月照我心 发表于 2014-11-22 15:38
噢，你是在设计数学课程？

小学阶段不建议引入奥数。

三年级前的奥数题，基本上都是智商测试题型，考一些空间规律识别的能力。
三四年级之后的奥数题，才具有了“数学”涵义。

我比较保守一些。
12周岁之前，具体运算阶段（具体数字）。
12周岁之后，才是抽象思维阶段（代数）。

12周岁之前，我只是考虑借鉴这些形象模型。
我感觉，有些形象模型体现了数学思维，适合启发孩子的自悟过程。

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作者: 学父五迁    时间: 2014-11-22 16:01:04


我的总体思路就是：
帮助学生习得"设计算法"的能力，而不是强求学生熟练掌握某一种算法。
竖式，这种形格势禁的算法，对学生"设计算法"的思路有负面作用。

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作者: 明月照我心    时间: 2014-11-22 17:07:20

学父五迁 发表于 2014-11-22 16:01
我的总体思路就是：
帮助学生习得"设计算法"的能力，而不是强求学生熟练掌握某一种算法。
竖式，这种形 ...

我认为设计算法至少初中以上才学习。

你又本末倒置了。设计算法是为了什么？

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作者: 明月照我心    时间: 2014-11-22 17:09:22

问下，学父是数学专业的吗？

为何对数学教学如此感兴趣？

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作者: 容宝爸爸    时间: 2014-11-22 18:13:10

学父五迁 发表于 2014-11-22 14:11
这样吧。
先看三个具体问题。

今儿天气好，心情也好，也来挑战一下学父布置的作业：34908098898083535252÷498。
直接使用竖式法计算，无论大人还是孩纸都可能会对位对花了眼，或者一页草稿纸上演算不完就昏了头。

那么，试着考虑大事化小的思想同时结合稍做改良后的“竖式法”，分别执行如下计算过程：
1。先任意分段被除数，比如34908098898083535252 = 3490809，8898，08353，5252；
2。依次计算每个分段被除数，记录分段商，同时把本分段余数拼接到下一分段被除数之前再开始计算；
3。重复步骤2，直到所有分段都已经计算完毕；
4。最后把所有分段商依次拼接起来即是最终结果商，而最末分段的余数即是最终结果余数。

注：稍做改良“竖式法”，指合理吸取横式法的避免重复工作量的技巧，比如我们设想把中间结果记录在草稿纸的右上角，好像是一个九九表，只不过最多只有9个格子，每个格子里记录除数的某个1～9的整倍数，姑且称为“小9表”。
这样一方面，随着试算过程推进，“小9表”不断插入新值，而我们最多仅仅需要9次实际乘法运算（0乘任何数为0），即可在草稿纸右上角完整建立“小9表”，以后每一位的试算都直接查“小9表”，比较大小即可，也就是说，最多仅仅需要8次学父所说的草稿纸上的擦除试商失败结果的动作；另一方面，我们仍不放弃竖式法，能够看到的意义之一在于，每一步都严格只计算商的一位数，这样依次、规整、机械、重复的有限过程，其实非常有利于计算机器语言来描述，有助于我们理解如何让计算机来协助人类完成这些任务。


具体验算过程如下：
（一）第1分段3490809÷498的计算过程：
计算3490÷498
3490
3486
----------
0004（为了电脑显示排版整齐前面补0，实际草稿纸验算过程可不补0。）
这其中可能经历两次试商失败，不过也都把中间结果记录到草稿纸右上角的“小9表”，也不算走了弯路。
试商9失败：498×9=4482【可选速算：速算过程4482=（500-2）×9=4500-18】
试商8失败：498×8=3984【可选速算：速算过程3984=（500-2）×8=4000-16，验算3984=4482-498】
试商7成功：498×7=3486【可选速算：速算过程3486=（500-2）×7=3500-14，验算3486=3984-498】
所以，3490÷498=7（商）...4（余）

接下来算48÷498
48
00
------
48
试商0成功：48 < 498×1
所以，48÷498=0（商）...48（余）

接下来算480÷498
480
000
-------
480
试商0成功：480 < 498×1
所以，480÷498=0（商）...480（余）

接下来算4809÷498
4809
4482
---------
0327
试商9成功：参考草稿纸右上角的“小9表”的中间结果498×9=4482
所以，4809÷498=9（商）...327（余）


至此，分段3490809的计算结束：3490809498÷498=7009（商）...327（余），这里把余数327拼接到下一分段8898，记做(327)8898。

（二）第2分段(327)8898÷498的计算过程：
类似的，3278898÷498=6584（商）...66（余），把余数66拼接到下一分段08353，记做(66)08353。
（三）第3分段(66)08353÷498的计算过程：
类似的，6608353÷498=13269（商）...391（余），把余数391拼接到下一分段5252，记做(391)5252。
（四）第4分段(391)5252÷498的计算过程：
类似的，3915252÷498=7861（商）...474（余）。
注意到第4分段为被除数最末分段，依次拼接各分段商得到最终结果商，末分段余数即是最终结果余数：
34908098898083535252 = 3490809，8898，08353，5252
34908098898083535252÷498=7009，6584，13269，7861（商）...474（余）
34908098898083535252÷498=70096584132697861（商）...474（余）

最后提炼一下，这就是所谓的分治思想(divide-conquer)的实际应用：
当已知技术手段（比如竖式法）对大问题本身看似无能为力的时候，我们把原大问题等价拆分为多个已知技术手段可解的新小问题，然后再整合所有新小问题的解得到原大问题的解。

==========================================================================
引申一下，这个问题转化成：
小明的数学老师要大家完成一道除法题，他先在黑板上完整写出某个数作为除数，如835392，接着就在黑板上不停的写下一串数431343532343...，边写嘴里边说，“同学们别闲着啊，我在写被除数的时候，大家就开始算商，看谁算得最快。” ——怎么破，我们非得等到老师写完被除数再开始算商吗？如果我是小明，我肯定立刻动手，先在我的草稿纸的右上角先列出“小9表”（用加法乘法皆可）：
835392×1=835392
835392×2=1670784
835392×3=2506176
...
835392×9=7518528
然后我就开始从被除数的高位，开始一位数一位数的试商，查“小9表”，定商，求余数，。。。
也许不是班上脑子最敏捷或手脚最麻利的同学，但我相信这个的方法本身还是比较优化的，当然也期待其他同学更加天才的方法。

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作者: 容易吗    时间: 2014-11-22 18:16:14

疯了，你们是在搞数学竞赛吗？

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作者: 容易吗    时间: 2014-11-22 19:55:49

容宝爸爸 发表于 2014-11-22 18:13
今儿天气好，心情也好，也来挑战一下学父布置的作业：34908098898083535252÷498。
直接使用竖式 ...

那么，竖式法到底该不该教，在你看来？

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作者: 明月照我心    时间: 2014-11-22 20:03:37

这些个复杂的横式、改良竖式，打算是教给谁呢？小学生？

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作者: 学父五迁    时间: 2014-11-22 20:28:29

容宝爸爸 发表于 2014-11-22 18:13
今儿天气好，心情也好，也来挑战一下学父布置的作业：34908098898083535252÷498。
直接使用竖式 ...

哇。容爸太牛了。
一眼就看到问题的本质——乘法表。
因为每一步的商只有一位。
那么，乘法表就只有9条。

分段法更是体现了多项式的思想。

实际上，计算机中的并行运算，也是采取了类似的算法。

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作者: 学父五迁    时间: 2014-11-22 20:36:58

容易吗 发表于 2014-11-22 19:55
那么，竖式法到底该不该教，在你看来？

容爸有一句话。

-- 另一方面，我们仍不放弃竖式法，能够看到的意义之一在于，每一步都严格只计算商的一位数，这样依次、规整、机械、重复的有限过程，其实非常有利于计算机器语言来描述，有助于我们理解如何让计算机来协助人类完成这些任务。

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作者: 汐岩    时间: 2014-11-22 20:49:41

我是这么想，如果孩子买个小书架，别人问她：你这书架这么小，以后你有6578997654本书了，该放哪里？我觉得孩子根本不会操这心，现在好用就够了，以后，自然会有以后的办法，不断改进才是人生乐趣所在。你一下给她一个可以放6578997654本书的书架，她觉得很难理解，而且这辈子再也没有机会买真正适合自己的书架了，更悲催的，或许她一辈子只买了50本书，可是仍然要用一个放6578997654本书的书架装这50本书

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作者: 容易吗    时间: 2014-11-22 20:55:11

刚才容爸给我解释了一下竖式算法的本质，他理解的本质，我说我有个感觉，这就像美术里的简笔画有木有。他基本认可我这个比方，但是他认为还是该教过孩子，因为这是提炼过的，精华的东西。

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作者: 容宝爸爸    时间: 2014-11-22 23:08:12



大家太抬举我了，我哪里牛啊，小码农一枚。
偶尔有些小点子，其实也不是原创的，或从这里哪里偷学而来，厚颜的自己竟记不得师出何处了。
今天想到分段被除数这个想法，先是直觉应该行，但起初并没有得到容妈的支持。
（是啊，跟领导说话怎么能够没根没据呀，所以就花了些时间写了个帖子。自我感觉就文章来说，立意不怎么高妙，就只求工笔清秀加点印象分了。）

孩纸教育我本人是外行，但还喜欢像孩纸一样充满好奇心的来探索吧。试着集中回复一下哈，如有不妥，请大家呵呵即可。
@容易妈：“那么，竖式法到底该不该教，在你看来？”
抱歉，我的观点可能让领导失望了。我个人目前认为，可能还是应该交给孩纸们这样一个“古板”而“没有人性”的办法，让他们体会这个计算过程。
这样一个运算过程是除法问题求解的一般抽象过程（抽象后会失去很多形象的元素），孩纸们应该接触这样一个解决问题的一般方法（一般方法对于具体问题的求解往往不是最优的；但是当其他最佳解法都不灵光的时候，还是得退到笨这个办法来。），通过一次次反复逐位求商体会这样一个迭代过程，而这种迭代过程也有所体现今后某些高大上的数学思想（如归纳法）等，还有试商的过程其实还是蛮有挑战性的，经过一些练习后孩纸的数的直觉可能会更好，失败的次数也越来越少，至少让他们形成正确判断当一次试商失败后，到底应该商+1还是商-1，而这些也会体现后来其他学科的某些方法（如算法设计的二分法）。对于方法本身的认识，甚至还可能作为孩纸批评性思维训练的良好素材，不回避“经典”存在的缺陷，大可想想办法可否改进。位数多了不容易对位怎么办？补零吧。试商过程重复计算怎么提升效率呢？维护和利用中间结果啊。（其实这两个办法我也是看了学父的帖子，在恍然大悟，尽管这些思想我在其他地方也常用，可我为什么以前没有想到用来解决这两个问题呢？！）

再说另一方面，我也承认竖式计算法本身就不是除法的全部，更不应该把这个方法交给孩纸后，让孩纸形成错觉这是除法的全部。我直到今天才被科普了学父推荐的链接后才明白，横式法竟然包含以前自己小学时候学的某些速算题涉及的心算或估算，不知道理解得对不对，也许把横式法称为“非竖式计算法”更能让人明白一些。我坚信这种心算（口算）以及其他估算过程与形象思维高度关联，确实很符合孩纸天性，而且可能也符合大部分人的日常的绝大多数思维活动，可谓是一个人的生存必备技能，比如超市白菜0.98元/斤，5斤共4.90元，这可以迅速准确心算；青菜1.58元/斤，3斤白菜和2斤青菜哪个贵，这个可以迅速估算。不知道这些口算估算法可不可以说是泡妈提到的属于自己的那50本书？

让孩纸们学会用斧头，也要会用剪刀，更重要的是要他们明白：什么时候该用剪刀，什么时候该用斧头。

@明月照我心：“这些个复杂的横式、改良竖式，打算是教给谁呢？小学生？”
我承认，这些个算法真没法教给他们，更不忍心让他们扮演计算机的角色去解决某些特定的问题。
不知道现不现实，如果能够抛砖引玉，让某些有兴趣的孩纸体会到这种方法改进背后的原因（为什么要改？为什么留？新的方法和旧的方法有何异同？甚至说我今后可不可以有更好的其他尝试呢？），那么我就很欣慰了。

@学父五迁：“分段法更是体现了多项式的思想。实际上，计算机中的并行运算，也是采取了类似的算法。”
1。您一说，我也觉得我上面的分段法有一点像多项式。
2。另外发现，我上面分段拼接这个算法的并行性不好，因为后一段被除数的计算总要依赖前一段余数进行拼接。
而泡泡用的那个办法，仿佛更体现多项式的精髓（被除数的每位数都要考虑的其对应的权值，如1，10，100，1000等），才能真正并行。例如125÷7，把被除数分拆100+25，（100+25）÷7=（100÷7）+（25÷7）。
先是divide部分：
100÷7=14（商）...2（余数）
25÷7=3（商）...4（余数）
注意到，两个除法运算都独立进行，互不依赖对方的输出作为自己的输入。

再是combine部分：
先是两个商直接相加14+3=17，而后再把余数相加（2+4）后再做一次除法：
（2+4）÷7=0（商）...6（余数），
把商0与17累计得到最终商17，余数6即是最终余数6，即：125÷7=17（商）...6（余数）。

3。好像我那种分段拼接方法，更适合解决无限的随机输入数据流，处理被除数的每一位数的策略总是相同的，也就是说并没有区分这位数所在位置对应的权值是多少，是10，100，1000等。也就是说当老师在黑白写被除数，写了很长很长一大段，但他在写完之前，你并不知道已知的被除数的第一位数到底对应的权值是100，还是1000，还是10000。。。，但是您在已知除数的前提下，仍然可以开始从被除数的第一位开始计算，而且确信这样算最终结果也是正确的。

具体使用我的分段法，来解决同样的问题：125÷7，把被除数分拆两段12，5。
第一步：12÷7=1（商）...5（余数）
第二步：(5)5÷7=7（商）...6（余数）
把商1与7依次拼接得到最终商17，末段余数6即是最终余数6，即：125÷7=17（商）...6（余数）。

注意到，第一步12÷7其实并不是（12×10）÷7，这就是我的方法和泡泡的方法的区别。

4。最后在补充一句，其实我那个所谓的拼接办法，真的会让明眼人呵呵的，或许大家明天早上就一醒来就立刻会心呵呵了。
说了那么多，只不过是把竖式计算法改换了一下记录方法而已。也就是把原来拼在一盘皮萨，分别把其中每一小块摆到圆桌上的每个小朋友面前的盘子里而已，而从吊灯角度俯视，这些皮萨依旧是一个圆饼啊，只不过分得开了些嘛。
这就像小学一年级时，我们写的等式：“2 + 3 = 5”；
到了高年级，却写成：
“2 + 3
= 5”

所以，这也是我没有再厚着脸证明我哪个所谓的“被除数分段法”的原因，真的没有什么技术含量，卖弄了这些文字，大家见谅才是。

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作者: 学父五迁    时间: 2014-11-22 23:20:47

容宝爸爸 发表于 2014-11-22 23:08
大家太抬举我了，我哪里牛啊，小码农一枚。
偶尔有些小点子，其实也不是原创的，或从这里哪里偷学而来，厚 ...

泡泡的算法尽管是并行，但总体运算量增长了。
如果高位段不能整除的情况下，高位段的除法运算量等同于整个竖式的运算量。
所以，泡泡的算法，只适合短除法。

容爸的算法尽管是串行，但总体运算量没有增长，和竖式一样，适合长除法。

看来，除法还挺难并行的。

容爸的构造乘法表和查表法，倒是非常符合计算机的算法。
这个表格可以用于任何相同除数的除法。

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作者: 汐岩    时间: 2014-11-22 23:26:04

容宝爸爸 发表于 2014-11-22 23:08
大家太抬举我了，我哪里牛啊，小码农一枚。
偶尔有些小点子，其实也不是原创的，或从这里哪里偷学而来，厚 ...

《孙子算经》对除法是这样算的，比如340/6,先商50，把300分掉，剩下40，然后再商6，分出一个36，剩下4.答案就是56余4.

这个其实就是除法竖式，但是理解起来要简单得多。我当时就是看到这里明白竖式的含义。

对乘法也一样，23*34，先用23*30=690，再23*4=92，二者相加等于782.
我看完这个，直接就会口算两位数乘法了，上学的时候学竖式，焦点都在谁应该和谁对齐，遇到零怎么换位，进位数写在哪里。。。从来没想过竖式其实就是这么简单一原理。所以我对竖式真的深恶痛绝，至少要让孩子自己去得到这个一般性做法，而不是一开始就教给一模型，什么数往里一套就出得数，思考过程完全被架空了。

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作者: 学父五迁    时间: 2014-11-22 23:36:57



-- 这样一个运算过程是除法问题求解的一般抽象过程（抽象后会失去很多形象的元素），孩纸们应该接触这样一个解决问题的一般方法（一般方法对于具体问题的求解往往不是最优的；但是当其他最近解法都不灵的时候，还是得退到笨这个办法来。）

关于容爸提到的这个一般方法。
这个一般方法，是否一定要是竖式？
这是我考虑的问题。
我感觉，竖式不适合作为一般方法。

短除法，用不着竖式。
长除法，竖式又存在许多缺陷。
有时候，还需要额外弥补，如容爸所做的那样。
其实，容爸的思路中，那些竖式形式完全可以替换成普通乘法算式和减法算式。

更重要的问题是，竖式阻碍了学生对其他方法的探究。

如果是普通算式，学生可以使用"代式"。
容爸给出的竖式例子中，只能使用乘法表中的"代式"。
很难使用其他形式。

比如，除数 9 是一个非常特殊的除数。
因为，
10 = 9 + 1.
100 = 99 + 1
1000 = 999 + 1
这就意味着除数9的除法，可以直接转化为乘法和加法。

模仿明月的例子，给出一个除数9的长除法。

887568432 ÷ 9

76543210
87568432 =
8 X 1111111 X 9 + 8
7 X 111111 X 9 + 7
5 X 11111 X 9 + 5
6 X 1111 X 9 + 6 +
8 X 111 X 9 + 8
4 X 11 X 9 + 4 +
3 X 9 + 3 +
2
= 8 X 10^6  X 9 +
(8 + 7) X 10^5 X 9 +
(8 + 7 + 5) X 10^4 X 9 +
(8 + 7 + 5 + 6) X 10^3 X 9 +
(8 + 7 + 5 + 6 + 8) X 10^2 X 9+
(8 + 7 + 5 + 6 + 8 + 4) X 10 X 9 +
(8 + 7 + 5 + 6 + 8 + 4 + 2)

以上这种算法，完全就可以并行了。
当然，串行的效率也很高。
因为，高位加法的结果，可以直接用于低位中。

能做到这种转化，需要理解除法的本质：
将被除数分成除数的倍数和余数。

竖式的形式局限，对这个本质的理解，只起到负面作用。

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作者: 容易吗    时间: 2014-11-23 08:48:13

早睡的人今早惊恐的发现又多了这么多我理解困难的东西，祝你们玩的开心。

我就表示佩服一下你们的钻研精神。

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作者: 家属    时间: 2014-11-23 09:52:57

我打酱油地飘过

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作者: 明月照我心    时间: 2014-11-23 16:11:55



887568432 ÷ 9这个东西为什么搞得这么复杂啊？有必要吗？

我认为数学的本质是把复杂的东西简单化，而不是把简单的东西复杂化。但简单化一个前提是熟练。不能指望连基本运算都不够熟练的时候就想另僻捷径。

千万别以为没效率都是方法的问题。有时候需要孩子一遍又一遍地练习。技巧建立在勤奋的基础上才能成功。

887568432 ÷ 9
81———————9
  72———————8
    54———————6
      09———————1
        72———————8
           63———————7
              09———————1
                 36———————4
                    余6

---

作者: 学父五迁    时间: 2014-11-23 18:44:50

明月照我心 发表于 2014-11-23 16:11
887568432 ÷ 9这个东西为什么搞得这么复杂啊？有必要吗？

我认为数学的本质不是简单的东西复杂化，而是 ...

嘿嘿。这只是个诱饵。
如果除数是 99 呢？ 999 呢？

887568432 ÷ 99

887568432 ÷ 999

这两个除数都不在乘法表范围内。
不过，乘法也容易构造。不妨试试看。

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作者: 容宝爸爸    时间: 2014-11-23 19:33:49

学父五迁 发表于 2014-11-23 18:44
嘿嘿。这只是个诱饵。
如果除数是 99 呢？ 999 呢？

87568432=99x875684+875684+32=99x875684+875716
875716=99x8757+8757+16=99x8757+8773
8773=99x87+87+73=99x87+160
160=99x1+61
87568432÷99=875684+8757+87+1..61=884529..61

87568432=999x87568+87568+432=999x87568+88000
88000=999x88+88+0=999x88
87568432÷999=87568+88+0..88=87656..88

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作者: 学父五迁    时间: 2014-11-23 19:35:47

容宝爸爸 发表于 2014-11-23 19:33
87568432=99x875684+875684+32=99x875684+875716
875716=99x8757+8757+16=99x8757+8773
8773=99x87+87+ ...

大赞容爸的速度。
只是，容爸的被除数，少了最高位的一个8。
不过，这也无妨，容爸已经把大体思路展示得非常清楚了。

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作者: 学父五迁    时间: 2014-11-23 19:36:40


887568432 ÷ 99

8,87,56,84,32

10^2 = 99 + 1

10^4 = 101 X 99 + 1

10^6 = 10101 X 99 + 1

10^8 = 1010101 X 99 + 1

------------------------

8,87,56,84,32 =

8 X 1010101 X 99 + 8 +

87 X 10101 X 99 + 87 (= 100 - 13 = 99 - 12,  多出一个 99 ) +  

56 X 10101 X 99 + 56 +

84 X 101 X 99 + 84 (=100 - 16 = 99 - 15,  多出一个99) +

32

----------------------
余项部分

多出来2个99的倍数：  2 X 99

剩下的余项部分 = 8 - 12 + 56 - 15 + 32 = 28 + 41 = 69
小于99，这就是余数了。

-----------------------

倍数部分 / 99 =

(6)
8 X 10^6,

(4)
87 + 8 = 95

95 X 10101 = 95 X 10^4 + 95 X 101

(2)
95 + 56 = 151

151 X 101 = 151 X 10^2 + 151 = 10^4 + 52 X 10^2 + 51

(0)
84 + 51 = 137 = 10^2 + 35

在加上最后的99的2倍。
结果如下：

商 = 8965337
余数 = 69

---

作者: 学父五迁    时间: 2014-11-23 19:36:55

887568432 ÷ 999

887,568,432

10^3 = 999 + 1

10^6 = 1001 X 999 + 1

------------------------

887,568,432 =

887 X 1001 X 999 + 887 +

568 X 999 + (568 + 432) (= 1000 = 999 + 1)

----------------------
余项部分

多出来1个99的倍数：  1 X 999

剩下的余项部分 = 888
小于999，这就是余数了。

-----------------------

倍数部分 / 999 =

(3)
887 X 10^3 + 887,

(0)
887 + 568 = 1000 - 113 + 570 - 2 = 1570 - 115 = 1455


在加上最后的999的1倍。
结果如下：

商 = 888456
余数 = 888

---

作者: 明月照我心    时间: 2014-11-23 19:56:14



岀个99，999，9999，99999…当然可以找规律找技巧，但更多是没什么规律的，这有时候需要熟练和记忆的呀。九九表不也是我们一句一句记到背的吗 ？

至于试商那个过程如何更快速与准确，那是要靠练习的。熟练程度高了，自然心下了然。都不熟练，当然效率低了。

另外我认为，在现代这个电子社会，计算机普及的今天，一个人能用几种方法、多快速地计算岀多位数的加减乘除，有多大意义？孩子更不会对研究这些感兴趣。

计算是数学的基础，但学习数学的关键绝不是计算。把时间精力过多地放在这上面，真是浪费。

---

作者: 容宝爸爸    时间: 2014-11-23 20:08:08

明月照我心 发表于 2014-11-23 16:11
887568432 ÷ 9这个东西为什么搞得这么复杂啊？有必要吗？

我认为数学的本质不是简单的东西复杂化，而是 ...

两种方法的计算量统计对比
A。明月的887568432 ÷ 9计算量统计如下：
如果该竖式过程由人来计算，计算量包含有：
8次1位数×1位数的乘法（可背直接99表）；
8次2位数-2位数的减法。

如果以上过程由计算机来模拟，计算量仍然包含有：
8次整数乘法；
8次整数减法。

B。学父的87568432÷ 9计算量统计如下：
先把被除数表达成（这一步假定由经验完成，不包含任何计算量）：
87568432= 8 X 10^6  X 9 +
(8 + 7) X 10^5 X 9 +
(8 + 7 + 5) X 10^4 X 9 +
(8 + 7 + 5 + 6) X 10^3 X 9 +
(8 + 7 + 5 + 6 + 8) X 10^2 X 9+
(8 + 7 + 5 + 6 + 8 + 4) X 10 X 9 +
(8 + 7 + 5 + 6 + 8 + 4 + 3) X 1 X 9 +
(8 + 7 + 5 + 6 + 8 + 4 + 3 +2)

然后87568432÷ 9的计算量等于如下多项式求和的计算量。
8 X 10^6 +
(8 + 7) X 10^5 +
(8 + 7 + 5) X 10^4  +
(8 + 7 + 5 + 6) X 10^3  +
(8 + 7 + 5 + 6 + 8) X 10^2+
(8 + 7 + 5 + 6 + 8 + 4) X 10  +
(8 + 7 + 5 + 6 + 8 + 4 + 3) X 1 +
(8 + 7 + 5 + 6 + 8 + 4 + 3 +2)

如果该多项式由人来计算，一般可以忽略1×10这次乘法的计算量（直接末尾添零），而且保留中间结果进行累加，计算量包含有：
7次1位数+2位数的加法，
7次多位数+多位数的加法。

如果以上过程由计算机来模拟，假定在2进制机器语言条件下不忽略1×10这次乘法的计算量，而且保留中间结果进行累加，计算量仍然包含有：
7次整数加法；
7次整数乘法；
7次整数加法。

C。说明。
明月的被除数是9位数887568432，学父的被除数是8位数87568432。

---

作者: 学父五迁    时间: 2014-11-23 20:17:31



请根据上述结果，计算如下除法。

887568432 ÷ 495

特别邀请容爸和明月。:D

估计容爸很有兴趣。

明月如果不做做过长位数除数的长除法，没有切身体验的话，很多细节就没法探讨。

-------------------

这类题目，主要目的不在于速算，而在于对同余（倍数项、余数项）、进制、位值的深入理解。

十进制数字是什么？不过是一种记录数量的方式而已。

十进制数字便于加减法，便于比较大小。

但是，在乘除法上，十进制数字极为笨拙。

竖式，则进一步加强了这种笨拙。

围绕着十进制数字，用竖式进行乘除法计算，在我看来，负面意义极大，几乎找不到正面意义。

若是使用倍余项，至少还可以训练一下多项式的拆项与合项，为将来的初等数学（中学）做准备。

那么，加减法用竖式，就合适了吗？

比乘除法竖式要好一些，但是，仍然阻碍了学生凑整的整块整体思维。

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作者: 熊熊    时间: 2014-11-23 21:34:22

我只想说神啊。。。。之前无限膜拜过老高，整屏看得我脑子里除了字还字，当时就想出除了字还是字来形容，但“看完”这个贴，唉 ，看都要打引号，我为以前的除了字还是字感到庆幸，因为那个除了字还是字好歹字我还认识。现在是字都不认识了。。。。。。。。。我只奇怪
这么一大堆，论坛回复这个小框框里好打字吗？
87568432= 8 X 10^6  X 9 +
(8 + 7) X 10^5 X 9 +
(8 + 7 + 5) X 10^4 X 9 +
(8 + 7 + 5 + 6) X 10^3 X 9 +
(8 + 7 + 5 + 6 + 8) X 10^2 X 9+
(8 + 7 + 5 + 6 + 8 + 4) X 10 X 9 +
(8 + 7 + 5 + 6 + 8 + 4 + 3) X 1 X 9 +
(8 + 7 + 5 + 6 + 8 + 4 + 3 +2)

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作者: 熊熊    时间: 2014-11-23 21:35:30

我只是来默哀我的智商的，大家继续哈。。。

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作者: 熊熊    时间: 2014-11-23 21:41:39

数学是疗愈作用的，在万分悲伤的心情下打开李网，点进此贴，回复完毕后，发现人缓过气了。。不止治失眠啊。。。。。。。。。。。

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作者: 明月照我心    时间: 2014-11-23 22:19:14

容宝爸爸 发表于 2014-11-23 20:08
两种方法的计算量统计对比
A。明月的887568432 ÷ 9计算量统计如下：
如果该竖式过程由人来计算，计算 ...

B。学父的87568432÷ 9计算量统计如下：
先把被除数表达成（这一步假定由经验完成，不包含任何计算量）：

————
这一步为何不包含计算量？没有足够的计算，经验由何而来？

你们拿一个有足够经验的成人的算法，与一个只会九九表的孩子的算法，去比较优劣，公平吗？有意义吗

而这种有足够经验的算法，在忽略掉一步最重要的复杂过程之后，也并没有简化人工计算量，那么费那么大精力去让孩子掌握这个思维上更复杂的算法，意义何在？目的何在？

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作者: 汐岩    时间: 2014-11-23 22:20:46

现在知道学父为什么每次那么严谨了，被质疑逼出来的，人能看得懂的文字遭到质疑，人看不懂的文字没有回声

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作者: 容宝爸爸    时间: 2014-11-23 22:27:54

明月照我心 发表于 2014-11-23 19:56
岀个99，999，9999，99999…当然可以找规律找技巧，但更多是没什么规律的，这有时候需要熟练和记忆的呀。九 ...

看我下面的计算量统计，单从除数为9这道题，我个人认为，明月的计算过程工作量其实无论是人算还是机器算，都要稍占优势。（比较起做2位数+2位数的加法，至少我更习惯背99表做1位数×1位数的乘法。）

而除数为99时，有如下分析：
对于明月的方法，可以如果花费8次2位数×1位数乘法的计算量，提前构造99×1=99，99×2=198，99×3=297，。。。99×9=981这样一个表，然后查表可避免重复计算，那么仍然还需要做8次3位数-3位数的减法才能算出商和余数。
而学父的计算过程，前提是必须掌握构巧妙造多项式和计算商过程中迭代求和等高难度技巧，并假设由经验构造多项式不需要任何运算，这样还实际需要：3次2位数加法，2次3位数加法，6次2位数加法，1次2位数除法以上的计算量才求出商和余数。

至于除数为999呢，可用类似原理分析两种方法的运算量。

每个人的思维习惯都各不相同，而且任何方法都有学习成本和使用收益，所以至于说哪种方法更好，就智者见智了！人毕竟不是计算机。

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作者: 明月照我心    时间: 2014-11-23 22:29:38

学父五迁 发表于 2014-11-23 20:17
请根据上述结果，计算如下除法。

887568432 ÷ 495

这类题目，主要目的不在于速算，而在于对同余（倍数项、余数项）、进制、位值的深入理解。
————
天哪，如果说对同余（倍数项、余数项）、进制、位值的深入理解，都不能在百以内数的加减乘除中学会，不能在万以内数中应用，还非要用这么复杂的数据和公式去演算才明白的话，我只能说：

那一辈子都不要学数学好了。

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作者: 容宝爸爸    时间: 2014-11-23 22:30:31

学父五迁 发表于 2014-11-23 20:17
请根据上述结果，计算如下除法。

887568432 ÷ 495

哈哈，我不玩了。
我要假装像一个正常人类。

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作者: 容宝爸爸    时间: 2014-11-23 22:39:44

明月照我心 发表于 2014-11-23 22:19
B。学父的87568432÷ 9计算量统计如下：
先把被除数表达成（这一步假定由经验完成，不包含任何计算量） ...

明月的质疑，让人又怕又爱。
发现很多时候从相同或者不同角度出发，其实我也会得到和你相似或相同的结论。
不多说了，领导在催着断网了。

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作者: 容易吗    时间: 2014-11-23 22:48:14

那个，今天的竞赛结束！

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作者: 明月照我心    时间: 2014-11-23 22:54:14

前两天学父问我对奥数看法时，我有了一些对小学数学的思考。我觉得有必要写在这里：

现在的孩子为什么数学不够好？因为他们遇到的问题太少。

数学其实就是一个解决问题的思维：问题是目标，你要选择一条什么样的路到达这个目标。如果不建立这个思维，你教他多少方法，他还是不知道选择哪一条路，因为他看不到目标，也就不清晰通向目标的道路。

而为了让目标和道路清晰可见，需要简单多次的练习，变换各种形式和外表，但目标和道路不变。这样慢慢地会养成一种习惯，即使在重重迷雾掩盖下，你也一眼就能够抓住目标，去寻找到达目标的那条看到最有效的道路。这就是透过现象认出本质的能力。

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作者: 明月照我心    时间: 2014-11-23 23:07:23



他们在小学阶段主要学习的是分析能力。再大一点需要学习归纳和推理能力。这其实也只是个开头。影响孩子们数学学习的方面有很多，对语言文字的理解力，对感觉的精细度，空间想象力，等等。

学习数学的过程对每个孩子是不同的。孩子们在数学上的差别，比在语文上的差别，更早地体现出来。不象是对语言文字的把握力要到更高年龄才能够更加明显。

可能有的孩子一下子就能够反应出一道题的答案，而另一个孩子则需要十倍甚至更多的时间。所以在数学上，要允许孩子们分化，允许分化尽早地出现。但现在的学校都做不到这一点。传统小学如此，华德福学校不过是换了另一个标准的统一而已。

如果没有这个分化，反应慢的孩子基础就不够扎实，他们没有足够的时间去思考、反应、练习，刺激过多会造成思维通道的堵塞。反应快的孩子则失去了挑战，思维得不到更多的刺激，也会减缓发展。

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作者: 明月照我心    时间: 2014-11-23 23:11:40

在我看来，数学的任何方法都是无害的，竖式也好，横式也好，排列组合或枚举都是一样。它们只是数学交通网络里的一条路。你能说某一条路的存在，就影响了你选择另一条路吗？显然不是这样。产生阻碍的是人的评判，是急功近利的思想，是在没有到达收获季节的时候收取果实的行为。

我关注数学，主要是关注学习的目标与意义，然后再依据这些去决定使用什么样的方式与技巧。和学父是不在一个频道上。

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作者: 学父五迁    时间: 2014-11-23 23:11:55

明月照我心 发表于 2014-11-23 22:29
这类题目，主要目的不在于速算，而在于对同余（倍数项、余数项）、进制、位值的深入理解。
————
天 ...

嘿嘿。幸好讨论的是数学问题。随时都有具体实例可以验证。

明月可以随便抽查一个小学生（甚至初中生、高中生、大学生），是否具备下述能力。

(1) 估算乘法乘积、除法商的位数。
这个要求最低。可以多问问三四年级之后的小学生。

(2) 请推导出十进制数字对除数9 的同余原理。
问大家一声（包括明月在内），在我给出这些例子之前，有几个人能推导出这个原理？
甚至，在我给出这个些例子之后，有几个人能推导出这个原理？

(3) 请推导出十进制数字对除数3 的同余原理。

(4) 证明循环小数的循环节的必然存在。
嘿嘿。这个我没有给出任何例子。大家都来试试。特别邀请明月。
因为，我已经知道，明月具备所有必备的知识基础。
虽然，容爸目前应对的题型有限，我没有全面了解容爸的知识基础，但我估计容爸也能证出来。

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作者: 学父五迁    时间: 2014-11-23 23:12:58

明月照我心 发表于 2014-11-23 22:54
前两天学父问我对奥数看法时，我有了一些对小学数学的思考。我觉得有必要写在这里：

现在的孩子为什么数 ...

明月能否列举一下竖式的正面意义？

-- 而为了让目标和道路清晰可见，需要简单多次的练习，变换各种形式和外表，但目标和道路不变。这样慢慢地会养成一种习惯，即使在重重迷雾掩盖下，你也一眼就能够抓住目标，去寻找到达目标的那条看到最有效的道路。这就是透过现象认出本质的能力。

具体来说，这个能力和竖式有关吗？
请举例说明，竖式如何帮助学生获得这种认出本质的能力？

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作者: 明月照我心    时间: 2014-11-23 23:16:12

学父五迁 发表于 2014-11-23 23:11
嘿嘿。幸好讨论的是数学问题。随时都有具体实例可以验证。

明月可以随便抽查一个小学生（甚至初中生 ...

你一定要弄明白：

1、没有做一件事，不等于不具备做那件事的能力。

2、做不做一件事，有时候取决于那件事有多少意义。



我再说下去，就是鸡同鸭讲了……

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作者: 容易吗    时间: 2014-11-23 23:17:11

其实我的想法是，如果一个孩子有数学天赋，竖式不会毁了他，如果是没天赋的，毁了对数学的念想也没啥不好。

我看你们玩的高兴一直忍住没说这话。

补刀成功！碎觉！

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作者: 学父五迁    时间: 2014-11-23 23:19:19

明月照我心 发表于 2014-11-23 23:11
在我看来，数学的任何方法都是无害的，竖式也好，横式也好，排列组合或枚举都是一样。它们只是数学交通网络 ...

时机。

在我看来，四年级之前，引入竖式的话，都算过早，都算有害。
即使四年级之后，竖式也应该只作为一种文化遗迹了解一下。

那么，我是否可以推论出，明月认为小学生一年级就开始学珠心算、珠算，也没有任何害处。是吗？

如果这样，确实不在一个“安全意识”的频道上。

:D

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作者: 学父五迁    时间: 2014-11-23 23:29:09

容易吗 发表于 2014-11-23 23:17
其实我的想法是，如果一个孩子有数学天赋，竖式不会毁了他，如果是没天赋的，毁了对数学的念想也没啥不好。 ...

数学天赋，那是少数人才具有的。

我考虑的是底线。

大多数人本来就没啥数学天赋，再毁一下，不是浪费资源嘛。

如果选拔考试（高考）没有数学，那么，不学也成，毁了也成，都行。

但问题是，数学要考试啊。

本来，每天几分钟的事儿，非要延长到几个小时，影响了其他科目，不值得啊。

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作者: 学父五迁    时间: 2014-11-23 23:31:16

-- 在我看来，数学的任何方法都是无害的，竖式也好，横式也好，排列组合或枚举都是一样。

明月的这句话中的"数学的任何方法"，是否包括珠心算、珠算、速算心算练习等？

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作者: 明月照我心    时间: 2014-11-23 23:37:47

要想弄明白同余原理，那些个冗长枯燥的算式，还真不如这些有趣：

   “今有一些物不知其数量。如果三个三个地去数它，则最后还剩二个；如果五个五个地去数它，则最后还剩三个；如果七个七个地去数它，则最后也剩二个。问：这些物一共有多少？”

两个代表团从甲地乘车到乙地，每辆车可乘35人。两个代表团各坐满若干辆车后，第一代表团剩下的15人与第二代表团剩下的成员正好又坐满一辆车。会后，第一个代表团的每个成员与第二个代表团的每个成员都合拍了一张照片留念。如果每个胶卷可拍35张照片，那么拍完最后一张照片后，相机中的胶卷还可以拍几张照片

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作者: 明月照我心    时间: 2014-11-23 23:38:06

在纽约一个帕特里克节日里，一大群爱尔兰人正准备一年一度的游行，指挥者试图把队伍排成10、9、8、7、6、5、4、3、和2路整齐的队伍前进，但每种情况下最后一排者都少一个人，因此人们认为这个位置大概是给几个月前刚死的卡茜的灵魂留着的。最后，指挥者无可奈何命令队伍排单列纵队前进。假设游行队伍的总人数不超过5000人，那么参加此次游行的共计有多少人?

　　一位挎着一篮鸡蛋的妇女被疾驰而过的马所惊，鸡蛋篮掉在了地上，篮子里的鸡蛋全碎了。当问及篮子里有多少蛋时，她只能记起当她以2、3、4、5为一组数鸡蛋的数目时，每次分别剩余1、2、3、4只鸡蛋。那么她篮子里原来盛有多少鸡蛋呢?

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作者: 明月照我心    时间: 2014-11-23 23:45:50



好了，不再说了。我在说的不去关注，却去胡乱猜测没说过的……

我对这种鸡同鸭讲的交流很抓狂……

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作者: 学父五迁    时间: 2014-11-23 23:58:43



为了避免歧义，界定问题如下。

正方：竖式的意义

为什么在小学初期就引入竖式？意义何在？请列举。

---------------------------

反方：竖式的危害

竖式的几宗罪

(1) 格式局限，与其他数学思维不兼容。限制了其他数学思维的使用。

(2) 不好用。适用场合较少。不值得掌握。

(3) 对于小学生来说，并不能轻易直观掌握，需要一定练习和理解的时间成本。性价比较低。

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对于第(1)条的思维限制危害，其他思维练习，是否有机会，来抵消或平衡？

我一直强调的观点是：看时机。

过早引入竖式，就会形成习惯思维，固化模式。
这就大概是一种印刻效应。
手里拿着锤子，看什么都是钉子。
而且，这把锤子的用法，还特地经过定量的练习来印刻。

正方认为，这种印刻效应是否存在？是否可以忽略？

我认为，竖式作为一种数学算法，具有一定的参考意义。
应该在四年级以后，作为数学文化参考资料引入。
在此之前引入，负面意义超过正面意义。

越早引入，越多练习，弥补起来就越难。

---

作者: 学父五迁    时间: 2014-11-24 00:38:26

明月照我心 发表于 2014-11-23 23:38
在纽约一个帕特里克节日里，一大群爱尔兰人正准备一年一度的游行，指挥者试图把队伍排成10、9、8、7、6、5、 ...

这两道题目，可以算作小学范围内。

(1)
8 X 9 X 5 X 7

2520 - 1

(2)
3 X 4 X 5

60K - 1

---

作者: 学父五迁    时间: 2014-11-24 00:40:34

明月照我心 发表于 2014-11-23 23:37
要想弄明白同余原理，那些个冗长枯燥的算式，还真不如这些有趣：

   “今有一些物不知其数量。如果三个三 ...

第一题，这种不定方程的整数解，我只会用到初中的代数法知识。

第二个题目，可以算作小学范围。


(1)

3a + 2 = 7c + 2

3a + 2 = 5b + 3

----

3a = 7c

a = 7d
c = 3e

3a = 21d

21d - 1 = 5b

d = 10K + 1, 10K + 6

a = 70K + 7, 70K + 42
c = 30K + 3, 30K + 18
b = 42K + 4, 42k + 25

total = 3a + 2 = 210K + 23, 210K + 128

a = 7
b = 4
c = 3

total = 23


a = 42
b = 25
c = 18

total = 128

.....

-----------------------

(2)

a = 35m + 15
b = 35n + 20

300 = 350 - 50 = 350 - 35 - 15

余数：
-15
20

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作者: 学父五迁    时间: 2014-11-24 01:00:58



明月照我心: 我不回应你那冗长枯燥的算式，是因为觉得无聊。这个理由够不够？  

不够。:D

我指的是。
(1) 循环小数的循环节，必然存在的证明。这个特别面向明月和容爸。也面向大家。
(2) 除数9和除数3的同余原理。这个面向大家。

这些都是基础知识。其证明也不需要什么算式。

如果明月说这两个也无聊，那理由就够了。:D

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作者: 汐岩    时间: 2014-11-24 01:15:19



这次认真看了帖子，虽然没有做题目，但是凭直觉同意学父的观点:目前的竖式教学弊远大于利。

任何事物肯定都有其价值，所有的有意义的讨论只是它被用得是否恰当。竖式给我的感觉就是个计算器，在小朋友刚学算数的时候给她个计算器，还要强迫她必须学会极为复杂的使用方式，还要大量去训练用熟了没有，我觉得确实会摧毁大部分孩子真正理解算数的机会，至少我看到的事实就是如此。

我觉得方程也是同理，很多很有趣、很考验脑力的题目一旦引入方程就变成了枯燥无味的力气活，所以那篇"鸡一屁股坐地上了"的小故事里那人说:"你们这些上过学的，不残废了才怪呢。"不是每个上过学的都会残废，决定因素在家长，但是大部分上过学的数学都残废了，这是不是可以说明:数学课本不会摧毁你的人生，但是可以摧毁你的数学。那到底是怎么給摧毁的？我数学比较浅，我觉得公式乘法表竖式方程都有份。学父深入研究后觉得竖式引入歧途的危害最大，我觉得对我是一个参考。

刚好前几天泡泡让我给她买二三年级的数学题书，我发现一套里面有三本，一本口算题，一本竖式，一本应用题，虽然那时候还没看过这帖子，但当时脑海里就浮现出一想法:要不要买回来先把竖式那本扔掉。。后来发现給泡泡解释进退位她很难理解，我才想先不扔拿来看看再说。

在我看来，竖式肯定不适合教给小学生。像我用泡泡做除法的方法没感觉，我觉得就是因为我会乘法表，已经知道答案了，这都会产生这么大的副作用。很多伤害就是客观存在的，有的人选择调整心态释怀，有的人选择主动揪住伤害去研究他的伤害程度伤害机制是什么，关键点是哪一步。用那句经典话，战略上藐视敌人，战术上重视敌人。这帖子应该研究的后者。之前我觉得，关键不是竖式，而是被动学习，但是后来想想瑟谷的孩子主动学习，可是也被引入歧途了啊，从这点看我觉得这帖子研究的这个课题确实是非常有意义的，为较真的人点赞!

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作者: 容易吗    时间: 2014-11-24 06:42:57

明月照我心  握手。我想说的也是，竖式不会毁了数学思维----如果有的话。

我说的是毁不了有天赋的孩子，竖式会不会毁掉数学思维，说实话我不知道，因为我基本就没啥数学思维。

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作者: 容易吗    时间: 2014-11-24 06:49:54

学父五迁 发表于 2014-11-23 23:29
数学天赋，那是少数人才具有的。

我考虑的是底线。

我要跟你抬杠的话我就告诉你我高考数学不及格可是我也考上大学了，哈哈！

嗯，其实我一开始就明白这是个技术探讨帖，恰好我数学又是稀巴烂，这帖子我原本该绕道走开不看才对，看了也是看不懂，不过因为我觉得楼主你很可爱，所以就老在这里插科打诨。

我不是较真的人，所以这些细枝末节的技术我很少在意，即使是孩子有啥被毁了，我最多“喔豁”一声，然后安慰自己说，好歹其他方面有点收获嘛，我是这种人，所以，内什么，咱俩其实不在一个频道上。

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作者: 容易吗    时间: 2014-11-24 06:54:05

这帖子在周末人烟稀少的时候就靠我们几个人就盖了5页，还基本都是烧脑的干货，我也是醉了。。。

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作者: 汐岩    时间: 2014-11-24 07:31:35

容易吗 发表于 2014-11-23 23:17
其实我的想法是，如果一个孩子有数学天赋，竖式不会毁了他，如果是没天赋的，毁了对数学的念想也没啥不好。 ...

其实我的想法是，如果一个孩子有数学天赋，竖式不会毁了他，如果是没天赋的，毁了对数学的念想也没啥不好。

我看你们玩的高兴一直忍住没说这话。

补刀成功！碎觉！

是不是睡觉前说的话都不算数，我通常都是这样

我不同意这个观点。就像我的手长得是不灵巧，又不能做手模特又不能弹钢琴，可是我也不想让它废了，我还想用它洗洗碗挠挠痒痒呢。。。

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作者: 汐岩    时间: 2014-11-24 07:40:40

明月照我心 发表于 2014-11-23 23:11
在我看来，数学的任何方法都是无害的，竖式也好，横式也好，排列组合或枚举都是一样。它们只是数学交通网络 ...

在我看来，数学的任何方法都是无害的，竖式也好，横式也好，排列组合或枚举都是一样。它们只是数学交通网络里的一条路。你能说某一条路的存在，就影响了你选择另一条路吗？显然不是这样。产生阻碍的是人的评判，是急功近利的思想，是在没有到达收获季节的时候收取果实的行为。

我关注数学，主要是关注学习的目标与意义，然后再依据这些去决定使用什么样的方式与技巧。和学父是不在一个频道上。

一条路的存在是不是会影响了选择另一条路，这肯定是看情况的，就像在论坛上写篇很有迷惑性又很有危害的帖子，不会影响多少人，但是如果你把它放进教材里还要求学生每天背几遍还要不断考试检查她背熟了没有背不熟就考不上大学，那它的存在肯定会影响选择另一条路，这是毋庸置疑的。

其实很明显的一个例子，如果带孩子的大人事事包办，那孩子的依赖性就一定很强。能说一个大人的存在就影响了孩子选择自立的道路吗？当然能说，而且绝对是影响巨大！

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作者: 汐岩    时间: 2014-11-24 08:23:33

容宝爸爸 发表于 2014-11-22 23:08
大家太抬举我了，我哪里牛啊，小码农一枚。
偶尔有些小点子，其实也不是原创的，或从这里哪里偷学而来，厚 ...

@容易妈：“那么，竖式法到底该不该教，在你看来？”
抱歉，我的观点可能让领导失望了。我个人目前认为，可能还是应该交给孩纸们这样一个“古板”而“没有人性”的办法，让他们体会这个计算过程。

哈哈你们两口太可爱了，你们这是在表演行为艺术，让大家明白什么是哈尼间的和而不同吗

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作者: 学父五迁    时间: 2014-11-24 09:09:21

容易吗 发表于 2014-11-24 06:49
我要跟你抬杠的话我就告诉你我高考数学不及格可是我也考上大学了，哈哈！

嗯，其实我一开始就 ...

唉。容妈是饱汉子不知饿汉子饥啊。

容妈考上了。不是还有没考上的吗？

不是所有考生都可以藐视数学高考成绩的。

我一直考虑的是底线。
如果没有其他科目的天分怎么办？数学这科就不能放弃。

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作者: 学父五迁    时间: 2014-11-24 09:15:55



竖式危害调查测试题目一

已知

887568432 ÷ 99 = 8965337 ...... 69
495 ÷ 99 = 5

请通过简单变换，得出如下算式的结果。

887568432 ÷ 495

有兴趣可以自己试一下。
可以问问五年级以上的中小学生或大人。
看有几个人会变换。

------------------

以下反对竖式的论证基于两个事实。
(1) 绝大部分上过小学的人，都会竖式。
(2) 这其中，相当一部分人（如果不是绝大部分的话）不知道如何做这个变换，“只”会竖式。

造成这种现象的原因是什么？

由于因果相关性十分明显，我简单归因为：竖式局限了格式，局限了思路。

-------------------

是否可能有其他归因：家庭教育的不足，其他方面安排的思维练习不够。等等？

我只能说，有这个可能。
但是，我没有看透本质的眼光。
根据我的因果逻辑观，我推不出这个因果关系。
这个因果关系，需要进一步的论据和论证。
在我看来，这个归因，需要大型的社会学家组织，经年累月才可能得出其中的相关性（还不一定是因果关系）。

---

作者: 学父五迁    时间: 2014-11-24 09:16:10




竖式危害调查测试题目二


(1) 请把 2/11 转换为循环小数。不用竖式，会不会转？

有兴趣可以自己试一下。
可以问问五年级以上的中小学生或大人。
看有几个人会变换。

(2) 请不用竖式，把 2/11 转换为级数的数列之和。

即，不要使用这种方法：先用竖式求出循环小数，再猜想，再用数学归纳法证明。

有兴趣可以自己试一下。
可以问问高三学生。
看有几个人会变换。

------------------

上述的第(2)题，涉及到的级数和数列，属于高考范围内。
而且，出题频率还相当高，还属于难点。
很多高中生都不能理解其中的概念。
甚至，很多高中生做不出第(2)题。

第(1)题属于小学范围，所有小学生都用竖式做过。
但是，几乎所有小学生都没用过竖式之外的其他方法。

如果用过竖式之外的其他方法，那么，到了高中之后，第(2)题就顺利成章了。

也就是说，如果不用竖式，小学生就已经能够体验级数和数列的形式了。
因为，小学生必须去一步步琢磨，构造出循环节。

由于因果相关性十分明显，我简单归因为：竖式局限了格式，局限了思路，对高考起负面作用。

-------------------

是否可能有其他归因：家庭教育的不足，其他方面安排的思维练习不够。等等？

我只能说，有这个可能。
但是，我没有看透本质的眼光。
根据我的因果逻辑观，我推不出这个因果关系。
这个因果关系，需要进一步的论据和论证。
在我看来，这个归因，需要大型的社会学家组织，经年累月才可能得出其中的相关性（还不一定是因果关系）。

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作者: 明月照我心    时间: 2014-11-24 09:35:55

呵呵，明白了分歧在哪里。分歧在于是在发展还是静止中思考，是看见还是忽略人的作用。

就像我说的，一条道路的存在不会影响另一条路的选择，因为道路是客观存在的。选择道路的是人。同样，毁了地球的也不是塑料袋，而是地球上的人，人的思想和意识。如果不改变人的思想和意识，禁止了塑料袋，还是会有其它物品岀现，造成与塑料袋同样的破坏。所以，塑料袋不是错，错的是滥用塑料袋的人。

如果因为认为一个事物的客观存在影响到另一个事物，就拒绝它的存在，从世界或某个范围内取消或者毁灭它，这是一种什么样的思想呢？它能否接纳不同的存在？如果恰好这个不同存在是一个人、一类生命，那它们是否会被剥夺存在的权利？

所以，否定不能是简单的否定，不能是倒退，不能是回归到问题还没有岀现的发展阶段。而应该是在继续发展中解决问题，是扬弃，去掉那使用不当的部分，加入新的目标和约束。正象我在另一个帖中所说：如果让苹果结果这个目标带来了问题，我们不是把目标改为不让苹果结果，而是加入新的元素，让苹果结岀好吃的果实。

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作者: 爱海    时间: 2014-11-24 09:50:55

小学究竟是几年级学竖式的啊？

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作者: 学父五迁    时间: 2014-11-24 10:04:56



明月照我心:  9*11约等于1,1/9=0.11111111…,1/11=0.0909090909 …这只是个熟练的事嘛。  

明月能否给出具体计算过程？（不用竖式，不用11 X 9 这样的循环小数转成分数的定律）

或者，换个难以心算的例子。(哈哈。其实，也可以心算。只是，不那么容易了)

8/37

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作者: 汐岩    时间: 2014-11-24 10:31:19

明月照我心 发表于 2014-11-24 09:35
呵呵，明白了分歧在哪里。分歧在于是在发展还是静止中思考，是看见还是忽略人的作用。

就像我说的，一条 ...

首先我想说，看到吵架的机会我就嘴痒的毛病又犯了行吗？我今天专门来抬杠

“一条路的存在不会影响另一条路的选择”，我想说有时候就是会影响，大部分时候都会影响，尤其是在一个人还没有能力清醒坚定地做出选择和拒绝的时候。一个主要照顾者的状态就是会影响甚至决定一个孩子的选择，竖式目前在主流教科书里的存在形式就是影响了全世界大部分孩子的选择，这是事实。

“塑料袋不是错，错的是滥用塑料袋的人。”我想说，这个世界上有很多研究塑料袋的降解时间、对土壤影响、与气候变暖的精确关联性数据。。。等等的人，正是他们的研究结果让人们意识到这么好用的东西原来是有副作用的，进而明白了人的思想和意识出现了问题。表里是相互作用的，有人研究塑料袋的解决方案和宣传现有塑料袋产生的副作用数据，有人做改变人的根本意识思想的工作，他们都很重要，没有谁比谁更重要、谁比谁更正确。如果认为前者就是静止中思考后者就是发展中思考。这种大帽子扣得太没点逻辑性了。。。（数学思维被摧残的直观后果）

“如果因为认为一个事物的客观存在影响到另一个事物，就拒绝它的存在，从世界或某个范围内取消或者毁灭它，这是一种什么样的思想呢？”
这就是你骨子里的思想，这帖子的很多人都在探讨技术细节，讨论对竖式该如何应用，反而是你不停地认为只要说竖式放在教科书里做主打有问题就是要把竖式一棍子打死拒绝它的存在了。

这现象太有趣 ，每个人说的话其实都是跟自己说的。就像前面那句话，手里拿个锤子的时候，看什么都是钉子，这话我现在深刻赞同。

“所以，否定不能是简单的否定，不能是倒退，不能是回归到问题还没有岀现的发展阶段。而应该是在继续发展中解决问题，是扬弃，去掉那使用不当的部分，加入新的目标和约束。”
前半句是你的思维方式，“而应该”之后的后半句是学父开这个贴在干的事情。

最开始你坚持竖式练习很好，之后发现有破绽又说，好吧是有问题，但是也不是竖式的错，而是人的错。可是本来就没有人觉得竖式有错啊？我说的有什么问题吗？我知道再下面你还会找到其他理由，这是你的思维方式，我尊重你的思维方式，但是我也表达我很不赞同这种思维方式。

最后澄清，绝没有对你这人有意见，只是对你的思维方式表达我看到的现象，或许你不这么认为，你有权力不这么认为，我只表达我的观点，别人接受到的是啥也不归我去控制了。

我又负能量了，在纯洁的学术贴里面表现得不纯洁了，多多包涵，以后我尽量闭嘴，我去干正事了。

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作者: 明月照我心    时间: 2014-11-24 10:34:47



学父五迁  …我没有否定竖式的存在意义。我否定的是：竖式引入的时间（过早），和练习量（在小学计算中，占有了不该有的地位）。  发表于 24 分钟前
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在我看来，破坏小学生数学思维的罪魁祸首就是“竖式”。
如果可能，尽量避免让小学生学习竖式
我反对的不是学校，是竖式。
竖式的各方面意义都不大。
我感觉，竖式不适合作为一般方法。
更重要的问题是，竖式阻碍了学生对其他方法的探究。
围绕着十进制数字，用竖式进行乘除法计算，在我看来，负面意义极大，几乎找不到正面意义。
竖式的形式局限，对这个本质的理解，只起到负面作用。
这就是我一直在强调的，竖式体系整套看下来，都找不到什么正面意义。  
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看看上面这些，然后楼主说自己“没有否定竖式的存在意义”？

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作者: 汐岩    时间: 2014-11-24 10:37:43

我的帖子是被吞了吗？我想知道为什么？

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作者: 学父五迁    时间: 2014-11-24 10:47:09

明月照我心 发表于 2014-11-24 10:34
学父五迁  嗯。区别在于时机和练习量。或者说，是度的区别吧。我没有否定竖式的存在意义。我否定的是：竖 ...

我前面还反复提到一句话呢：在我看来，竖式只有文化遗产的意义，和珠算一样，可作为一种参考模型。
这是我唯一肯定的竖式的意义。（部分肯定）
请注意我的点评中，意义之前有"存在"两个字。竖式有存在的价值。
但在小学阶段，是否有作为主要计算方法的价值，这是我要否定的。


对于低年级小学生（四年级以下）来说，竖式只有负面意义。
请注意，只有对于这个阶段，我全面绝对否定竖式的意义。


甚至对于高年级小学生（四年级以上）来说，参考意义也不一定能抵消负面意义。（部分否定）

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作者: 爱海    时间: 2014-11-24 10:54:52

我家娃二年级肯定没有学竖式。
而且人教版的数学那个速度叫一个慢！
一年级也不过20以内的加减法，二年级才慢慢学乘法口诀，完全没有压力的说！

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作者: 爱海    时间: 2014-11-24 10:55:45

我们竖式的练习量也少的可怜。

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